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(课堂设计)2014-2015高中数学 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4


3.2

简单的三角恒等变换
自主学习

知识梳理 1.半角公式 α α α α (1)S :sin =__________;(2)C :cos =________; 2 2 2 2 α α (3)T :tan =________________=________________=__________(有理形式). 2 2 2.辅

助角公式: asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),cos φ =__________,sin φ =______________ 其中 φ 称为辅助角,它的终边所在象限由________决定. 自主探究 2α 2α 2α 1.试用 cos α 表示 sin 、cos 、tan . 2 2 2

2.证明:tan

α sin α 1-cos α = = . 2 1+cos α sin α

对点讲练 知识点一 半角公式的应用 例1 4 5π θ θ 已知 sin θ = ,且 <θ <3π ,求 cos 和 tan 的值. 5 2 2 2

回顾归纳 在运用半角公式时,要注意根号前符号的选取,不能确定时,根号前应保持 正、负两个符号. 4 12 α -β 变式训练 1 已知 α 为钝角,β 为锐角,且 sin α = ,sin β = ,求 cos . 5 13 2

知识点二 利用辅助角公式研究函数性质
1

π? π? ? 2? 已知函数 f(x)= 3sin?2x- ?+2sin ?x- ? (x∈R). 6? ? ? 12? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. 例2

回顾归纳 研究形如 f(x)=asin ω x+bsin ω xcos ω x+ccos ω x 的性质时,先化成 f(x)=Asin(ω ′x+φ )+B 的形式后,再解答.这是一个基本题型,许多题目化简后都化归 为该题型. π ? π? 变式训练 2 已知函数 f(x)=sin(x+ )+sin?x- ?+cos x+a(a∈R). 6? 6 ? (1)求函数 y=f(x)的单调增区间; ? π π? (2)若函数 f(x)在?- , ?上的最大值与最小值的和为 3,求实数 a 的值. ? 2 2?

2

2

知识点三 三角函数在实际问题中的应用 π 如图所示,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 3 是扇形的内接矩形.记∠COP=α ,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个 最大面积. 例3

回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题,关键是目标函数的构建,自变量常常选取 一个恰当的角度,要注意结合实际问题确定自变量的范围. 变式训练 3 某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接 长方形桌面,若扇形的半径长为 1 m,求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示).
2

1.学习三角恒等变换,不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要立足于在 推导过程中记忆和运用公式. 2.形如 f(x)=asin x+bcos x,运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形 式,即 f(x)= a +b sin(x+φ ) (φ 由 sin φ = 函数 f(x)性质.
2 2

b a +b
2

2

,cos φ =

a a +b2
2

确定)进而研究

? π? 如 f(x)=sin x±cos x= 2sin?x± ?, 4? ? ? π? f(x)=sin x± 3cos x=2sin?x± ?等. 3? ?
课时作业 一、选择题 1.已知 180°<α <360°,则 cos A.- C.- 1-cos α 2 1+cos α 2 B. D. α 的值等于( 2 1-cos α 2 )

1+cos α 2 1 5π θ 2.如果|cos θ |= , <θ <3π ,那么 sin 的值为( 5 2 2 A.- C.- 10 5 15 5 B. D. 10 5 15 5

)

1 3 1-cos 50° 3. 设 a= cos 6°- sin 6°, b=2sin 13°cos 13°, c= , 则有( 2 2 2 A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 4.函数 f(x)=sin x- 3cos x(x∈[-π ,0])的单调递增区间是( ) 5π ? π? ? ? 5π A.?-π ,- ? B.?- ,- ? 6 ? 6? ? ? 6 ? π ? ? π ? C.?- ,0? D.?- ,0? ? 3 ? ? 6 ? 5.函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)的最小正周期为( ) π π A.2π B.π C. D. 2 4 二、填空题

)

3

? π? 6.函数 y=cos x+cos?x+ ?的最大值是________. 3? ?
7.若 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ 的值是________. 8.已知函数 f(x)= asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大值为 2,则 f(x)的最小正周 期为________. 三、解答题 π 9.已知向量 a=(sin( +x), 3cos x),b=(sin x,cos x),f(x)=a?b. 2 (1)求 f(x)的最小正周期和单调增区间; 3 (2)如果三角形 ABC 中,满足 f(A)= ,求角 A 的值. 2

? π ? 值域为[- 2 10. 已知函数 f(x)=2asin x-2 3asin xcos x+b (a>0)的定义域为?0, ?, 2? ? 5,4],求常数 a,b 的值.

§3.2

简单的三角恒等变换 答案

知识梳理 1.(1)± (3)± 2. 1-cos α 2 1-cos α 1+cos α (2)± 1+cos α 2 1-cos α sin α

sin α 1+cos α 点(a,b)

a a +b
2 2

b a +b2
2

自主探究 α 2α 2α -sin =1-2sin 2 2 2 α α 1 - cos α 2 2 ∴2sin =1-cos α ,sin = . 2 2 2 1+cos α 2α 2α ∵cos α =2cos -1,∴cos = 2 2 2 ① α 1 - cos α 2 由 得:tan = . ② 2 1+cos α α α 2sin cos 2 2 sin α α 2.证明 ∵ = =tan . 1+cos α 2 2α 2cos 2 1.解 ∵cos α =cos
2

① ②

4

α sin α α 1-cos α = ,同理可证:tan = . 2 1+cos α 2 sin α α sin α 1-cos α ∴tan = = . 2 1+cos α sin α 对点讲练 4 5π 例 1 解 ∵sin θ = , <θ <3π . 5 2 3 2 ∴cos θ =- 1-sin θ =- . 5 5π θ 3π 又 < < . 4 2 2 ∴tan θ =- 2 1+cos θ =- 2 3 1- 5 5 =- . 2 5

∴cos

? 3? 1-?- ? ? 5? =2. 3? ? 1+?- ? ? 5? 变式训练 1 解 ∵α 为钝角,β 为锐角, 4 12 sin α = ,sin β = . 5 13 3 5 ∴cos α =- ,cos β = . 5 13 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 3 5 4 12 33 =- ? + ? = . 5 13 5 13 65 π π 又∵ <α <π ,0<β < , 2 2 α -β π ∴0<α -β <π .0< < . 2 2
θ tan = 2 1-cos θ = 1+cos θ α -β ∴cos = 2 1+cos?α -β ? = 2 π? ? 例 2 解 (1)∵f(x)= 3sin?2x- ? 6? ? π ? 2? +2sin ?x- ? ? 12? ? π? ? π? = 3sin2?x- ?+1-cos2?x- ? ? 12? ? 12? π? 1 ? 3 ? π ?? =2? sin2? ?x-12?-2cos2?x-12??+1 2 ? ? ? ?? ? π π ? ? ? ? =2sin?2?x- ?- ?+1 ? ? 12? 6 ? π? 2π ? =2sin?2x- ?+1,∴T= =π . 3? 2 ? π? ? (2)当 f(x)取得最大值时,sin?2x- ?=1, 3? ? 33 1+ 65 7 65 = . 2 65

5

π π 有 2x- =2kπ + , 3 2 5π 即 x=kπ + (k∈Z), 12 5π ∴所求 x 的集合为{x|x=kπ + ,k∈Z}. 12 ? π? 变式训练 2 解 (1)f(x)=sin?x+ ?+ 6? ? π ? ? sin?x- ?+cos x+a= 3sin x+cos x+a 6? ? ? π? =2sin?x+ ?+a, 6? ? π π π 解不等式 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 得 y=f(x)的单调增区间是 ?2kπ -2π ,2kπ +π ?(k∈Z). ? ? 3 3? ? π π 2π 3 ? ? π π? ? π? ? (2)当 x∈?- , ?时,- ≤x+ ≤ ,sin?x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 3 6 3 ? 2 2? ? ? ∴f(x)的值域是[- 3+a,2+a]. 故(- 3+a)+(2+a)= 3,即 a= 3-1. 例 3 解 在直角三角形 OBC 中, OB=cos α ,BC=sin α . 在直角三角形 OAD 中, =tan 60°= 3. ∴OA= 3 3 3 DA= BC= sin α , 3 3 3 α

DA OA

3 sin 3 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 3 ? S=AB?BC=?cos α - sin α 3 ? ∴AB=OB-OA=cos α - =sin α cos α - 3 2 sin α 3

? ?sin α ?

1 3 = sin 2α - (1-cos 2α ) 2 6 1 3 3 = sin 2α + cos 2α - 2 6 6 1? 3 3 1 ? ? sin 2α + cos 2α ?- 6 2 ? 3? 2 π? 1 3 ? = sin?2α + ?- . 6 ? 6 3 ? = π π π 5π 由于 0<α < ,所以 <2α + < , 3 6 6 6 π π 所以当 2α + = , 6 2

6

π 1 3 3 即 α = 时,S 最大= - = . 6 6 6 3 π 3 因此,当 α = 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6 变式训练 3 解

如图所示,连 OC, π 设∠COB=θ ,则 0<θ < ,OC=1. 4 ∵AB=OB-OA=cos θ -AD =cos θ -sin θ , ∴S 矩形 ABCD=AB?BC =(cos θ -sin θ )?sin θ 2 =-sin θ +sin θ cos θ 1 1 =- (1-cos 2θ )+ sin 2θ 2 2 1 1 = (sin 2θ +cos 2θ )- 2 2 π? 1 2 ? = cos?2θ - ?- 4? 2 2 ? π π 2-1 2 ∴当 2θ - =0,即 θ = 时,Smax= (m ), 4 8 2 ∴割出的长方形桌面的最大面积为 2-1 2 (m ). 2

课时作业 1.C 2.C 3.C [由题可得 a=sin 24°,b=sin 26°,c=sin 25°,所以 a<c<b.] ? π? 4.D [f(x)=2sin?x- ?,f(x)的单调递增区间为 3? ? ?2kπ -π ,2kπ +5π ? (k∈Z), ? 6 6 ? ? ? ? π 5π ? 令 k=0 得增区间为?- , ?.] 6 ? ? 6 1 1+cos 2x 2 5.B [f(x)=sin xcos x+cos x= sin 2x+ 2 2 1 1 1 = sin 2x+ cos 2x+ 2 2 2 π? 1 2 ? = sin?2x+ ?+ .∴T=π .] 4? 2 2 ? 6. 3

? π? 解析 (1)y=cos x+cos?x+ ? 3? ? π π =cos x+cos xcos -sin xsin 3 3

7

3 3 = cos x- sin x 2 2 1 ? 3 ? cos x- sin x? 2 ?2 ? π ? ? = 3cos?x+ ?. 6? ? ? π? 当 cos?x+ ?=1 时,y 有最大值 3. 6? ? = 3? π 7.- 6 解析 3sin x- 3cos x=2 3? π ? π? =2 3sin?x- ?.∴φ =- . 6 6 ? ? 8.π 解析 由 a+1=2,∴a=3, 5π ? ∴f(x)=- 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ 6 ? 9.解 (1)由题意知, 3 3 f(x)=sin xcos x+ + cos 2x 2 2 π 3 =sin(2x+ )+ 3 2 π π π 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π π 即 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z 12 12 最小正周期为 π ,单调增区间为 5π π [kπ - ,kπ + ],k∈Z. 12 12 π? 3 ? (2)由(1)知,f(x)=sin?2x+ ?+ . 3 2 ? ? 3 π ,∴sin(2A+ )=0, 2 3 π π 7π 又∵A∈(0,π ),∴ <2A+ < , 3 3 3 π ∴2A+ =π 或 2π , 3 π 5π ∴A= 或 . 3 6 ∵f(A)= 10.解 f(x)=2asin x-2 3asin xcos x+b 1-cos 2x =2a? - 3asin 2x+b 2 =-( 3asin 2x+acos 2x)+a+b π? ? =-2asin?2x+ ?+a+b 6? ? π π π 7 ∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π . 2 6 6 6
8
2

1 ? 3 ? sin x- cos x? 2 2 ? ?

?,∴T=π . ? ?

π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1. 6? 2 ? ∵a>0,∴f(x)max=2a+b=4,f(x)min=b-a=-5.
? ?2a+b=4 由? ?b-a=-5 ?

,得?

? ?a=3 ?b=-2 ?

.

9


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