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2004年上海市高中数学竞赛(CASl0杯)


2004 年上海市高中数学竞赛(CASl0 杯)
说明:解答本试题不得使用计算器. 一,填空题 1.若 a,b,c∈Z+,且 a=(b+ci) -47i,则 a 的值是
2 2 3

.
2

2.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边依次为 a,b,c.若 a +b =tc ,且 cot C=2004(cot A+cotB),那么,常数 t 的值是 . 个. . . 3.三边长是三个连续的正整数,且它的周长小于或等于 l00 的锐角三角形有 的前 k 个质数.若 s,t 是两个正整数,t>s,使 Mt-Ms=510300,则 t+s 的值是 5.n 为已知正整数,0≤r≤n,r∈Z.则当 r!(n-r)!取最小值时,r= 6.已知集合 A= {( x , y ) |ax + y = 1, x,y∈ R }, B = {( x , y ) x + ay = 1, x, y ∈ R } ,

4.设 Mk=P1P2……Rk,其中 P1,P2,…,Rk 是从小到大排列的质数:2,3,5,…中

C= x, y) x 2 + y 2 = 1, x,y ∈ R | ,若(A∪B)∩C 是由两个元素构成的集合,则实数 a 的值是 ( |

{

}

.
2 2 2 2 7.已知集合 M = {( a, b) | ( y + 4) a 2( xy + by + 8) a + x + 2bx + 2b + 12 是关

于 x,y 一次式的平方}.当(a,b)取遍集合 M 中的所有元素时,点(a,b)到原点 O 的最大距 离是 . 8.如图 1,三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球面的碗中, 小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一个水平面.则这个碗的半径 是
0

cm. 9.如图 2,AB 为抛物线过焦点 F 的弦,且与该抛物线的对称轴成 (用反三角函

45 角,O 为该抛物线的顶点.则∠AOB 的大小是 数式表示).

10.已知集合 A = {3k + 2 0 ≤ k ≤ 667, k ∈ Z } ,若在 A 中任取 n 个 数,都能从中找出 2 个不同的数 a,b,使得 a+b=2104,则 n 的最小值是 .

n 二,已知 f ( x) = x + mx + nx + 5, m, ∈ Z ,求:
3 2

(1)使 f(x)=0 有 3 个整数根(包括重根)的所有数组(m,n);

'

(2)使 f(x)=0 至少有 1 个整数根,且 0≤m≤5,O≤n≤5 的所有的数组(m,n). 三,数列{an}满足 (n 1) an +1 = ( n + 1) an 2( n 1), n=1,2,…,且 a100=10098.求数列{an} 的通项公式. 四,在各位数码各不相同的 l0 位数中,是 111ll 的倍数的有多少个?证明你的结论.

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