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2012年韩国数学奥林匹克(第二轮)


1. △ABC 是一个钝角三角形,其中∠ > 90°,⊙O 是△ABC 2012 年韩国数学奥林匹克 的外接圆,D 为线段 AB 上的一点,使得 = 。令 AK 为 = ? ?.
∠ 2

2. 有个学生1 , 2 , ? , ,它们中的一些人互相握过手( 与 ,记 握手次数为 ,假设1 + 2 + ? + 能握手多于 1 次) (1)

学生 , 互相握过手; (2) 且2 2 + 1 = 5 。
(1 +2 +?+ )2 2

O 交于(≠ ),已知 = 2, ∠ = ∠ = 10°,证明:

⊙O 的直径,直线 AK 与 CD 相交于 L,△DKL 的外接圆与⊙

3. 找出所有的三元数组(, , ),其中为正整数,, 为质数 ( ? 2)( ? 2)( ? 2)的最大值。

> 0,证明:存在1 ≤ < ≤ ,使得, 满足下列两条件: ≤ .

4. , , 为 正 数 , 满 足 2 + 2 + 2 = 2 + 1 , 找 出

5. (> 3) 为 质 数 , 满 足 : |2?1 ? 1 且 ? 2 ? 1 , 对 任 意 = 1,2, ? , ? 2成立, 令 = 2 + 3, 现定义数列{ }如下: 1 ≤ < ≤ 2有+ ? + ( )。 中 存 在 相 邻 的 2 项 : +1 , +2 , ? , +2 满 足 对 任 意 = + = 2 (1 ≤ ≤ ),+2 = + ( ≥ 1)证明:数列

6. 令⊙O 为△ABC 的内切圆, 线段 AC, 与⊙O 切于 D, CA E;

过 B 且平行于 DE 的直线交⊙O 于 F,G(F 更靠近 B);直

线 CG 交⊙O 于(≠ ); G 且平行于 EH 的直线交直线 AC 过 为过 K 且平行于 JD 的直线,证明:, , 共点。

8. 令 ≡ 3 ( 4)为质数,定义 = ?(, )|{0,1, ? , ? 1}? ? {(0,0)},对任意非空子集 ? ,证明:存在 S 的子集 A,满 ? 1 + 2 + 3 ;(2) 8() > (). 足下列条件: ? , ? ∈ (1 ≤ ≤ 3), ? 1 + 2 ? 3 或 (1) 则

7. 令 {1 , 2 , ? , } = {1,2, ? ,10} , 找 出 下 式 的 最 大 值 :
2 ∑10 ( ? 2 ) =1

于 I;直线 IF 交⊙O 于(≠ );直线 CJ 与 EG 交于 K。令 l


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