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2014年高三一模客观压轴题汇编(3)(黄浦、杨浦、浦东、虹口、崇明、奉贤)


2014 年高三一模客观压轴题汇编(3) (黄浦、杨浦、浦东、虹口、崇明、奉贤) 填空题
1. ( 2014 年黄浦一模理 13 )设向量 ?

? ?a, b ? , ? ? ?m, n ? ,其中 a, b, m, n ? R ,由不等式
2

? ?? ? ? ? ?
即 an

恒成立, 可以证明 (柯西) 不等式 ?am ? bn?

(当且仅当 ?‖ ?, ? ?a 2 ? b 2 ??m 2 ? n 2 ?

? bm 时等号成立)恒成立.己知 x, y ? R ? ,且不等式 西不等式,可求得实数 k 的取值范围是
答案:

x ? 3 y ? k ? x ? y 恒成立,利用柯

?

10 , ??

?
3 y x ? 恒 x? y x? y

+ 详解: 因为 x, y ? R , ? x ? y ? 0 ,由 x ? 3 y ? k ? x ? y 恒成立,得, k ?

?=? 成立,令 ? = ?1, 3? ,
3?

? ?

?? ?

? ? ?? ? ? ?? y ? x , ? , w ? ? ? ? ?| ? | ? | ? |? 10 当且仅当 x? y ? ? x? y
,

y x = ,即y ? 9 x 时等号成立,此时 wmax ? 10 ,于是 k ? wmax ? 10 x? y x? y

所以,实数 k 的取值范围是

?

10, +? .

?

教法指导:本题是新定义题型,运用类比思想,学会化归,不等式恒成立问题,参变分离转化成函数 求最值问题,注意等号成立的条件即可. 变式练习: ( 2014 年黄浦区一模文科 13 )设向量 ?

? ?a, b ? , ? ? ?m, n ? ,其中 a, b, m, n ? R ,由不等式
2

? ?? ? ? ? ?
即 an

恒成立, 可以证明 (柯西) 不等式 ?am ? bn?

(当且仅当 ?‖ ?, ? ?a 2 ? b 2 ??m 2 ? n 2 ?

? bm 时等号成立)恒成立.己知 x, y ? R ? ,若 k ?

3 y x ? 恒成立,利用柯西不等式, x?y x ?y

可求得实数 k 的取值范围是 答案:

?

10 , ??

?

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1

BSC SH

2.(2014年黄浦一模理14)用己知数列

?a ?满足 a
n

n ?1

? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?a n ?的
n

前2016项的和 S 2016 的值是___________. 答案:1017072 详解:当 n ? 2k ? 1 (k ? N ) 时, a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 1
*

① ② ③

当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k +1 +a2 k ? 2k
*

当 n ? 2k ? 1 (k ? N ) 时, a2 k ?2 ? a2 k ?1 ? 2k ? 1
*

由①②得 a2 k ?1 +a2 k ?1 ? 1 ,即任意两个连续奇数项之和为定值 1, 所以 ? a1 ? a3 ? + ? a5 ? a7 ? + ?+ ? a2013 ? a2015 ? =504. 由②③得 a2 k +a2 k ?2 ? 4k ? 1 k ? N ,即任意两个连续偶数项之和是等差数列,
*

? a2 ? a4 ? + ? a6 ? a8 ? + ? + ? a2014 ? a2016 ? = ? 4 ? 1+1? + ? 4 ? 3+1? + ? + ? 4 ? 1007+1?
=1016568.
所以,数列 ?a n ? 的前 2016 项的和 S2016 =1016568+504=1017072 . 教法指导:本题的切入点是 ? ?1? ,所以分奇偶讨论,然后利用分组求和,最终转化为等差数列求和问题,
n

使问题得以解决,注意分类思想的扑捉. 变式练习: (2014年黄浦区一模文科14)己知数列 数列

?a ?满足 a
n

1

? ?42 , an?1 ? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则
n

?a ?的前2013项的和 s
n

2013

的值是___________.

答案:1013000

3.(2014年杨浦一模理13) 用设 a , b 随机取自集合 {1, 2,3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率是
2 2



答案:

5 9

详解:这是道古典概型,事件A:直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,

d?
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3 a ?b
2 2

? 1, 即b2 ? 9 ? a 2,a, b ? ?1, 2,3? ,
2 BSC SH

下面分类讨论: 当 a ? 1 时, b2 ? 9 ? 1=8 ? b ? 3 ,共1种情况符合题意; 当 a ? 2 时, b2 ? 9 ? 4=5 ? b ? 3 ,共1种情况符合题意; 当 a ? 3 时, b2 ? 9 ? 9=0 ? b ? 1,2, 3. ,共3种情况符合题意. 由加法原理,该事件A共5种情况,总事件共 3 ? 3=9 种情况. 所以,直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点的概率是 . 教法指导:本题考察直线与圆的位置关系,古典概率问题.注意审题,加法原理使问题得到解决. 变式练习: (2014年杨浦区一模文科13)在100件产品中有90件一等品,10件二等品,从中随机取出4件产品.则恰含 1件二等品的概率是 答案:0.30 .(结果精确到0.01)

5 9

4.(2014 年杨浦一模理 14)用已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, ?? f ( x), x ? 0.

给出下列命题:① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是 答案:②、③ 详解:对于①: F ?1? =f ?1? ? 2a ? 1 ,但是, |f ?1? | ? |2a ? 1| ,而当 2a ? 1 ? 0 时, .

F ?1? ? |f ?1? |= ? 2a ? 1 ①错误;
?a ? 2 x ? 1, x ? 0, ? x 对于②: f ( x ) ? a ? 2 x ? 1(a ? 0)= ? , f ? ? x ? ? ? f ? x ? 是偶函数, ?1? a ? ? 1, x ? 0. ? ? ? ? ?2?

? f ( x ), x ? 0, F ( x) ? ? 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , F ? ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? ? F ? x ? , ? ? f ( x ), x ? 0.
所以,函数 F ( x ) 是奇函数,②正确;

+? ? 分别单调递减函数, m?n ?0, 对于③: 当 a ? 0 时,F ? x ? 在 ? ??, 0 ? 上和 ? 0, 若 mn ? 0 , 则 m ? ?n,
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且 m 与 ?n 同号,所以 F ? m ? ? F ? ?n ? ? ? F ? n ? , F (m) ? F (n) ? 0 成立, ③正确. 教法指导:本题考察分段函数的奇偶性,单调性,利用数形结合,本题解决更直观,快些,注意画图时, 注意对 a 进行分类讨论. 变式练习: ( 2014 年杨浦区一模文科 14 )函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数, g ? x ? 是 R 上的周期为 4 的周期函数,已知

f ?? 2? ? g ?? 2? ? 6 ,且
答案:2.

f ? f ?2? ? g ?2?? ? g ? f ?? 2? ? g ?? 2??

?g ?20 f ?2???

2

?

1 ,则 g ?0 ? 的值为 2



5.(2014 年浦东一模理 13) 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 为有序三元组.如果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1 ,且 A I B I C ? ? ,则称有序三元组 ( A, B, C ) 为最小相交.由集合

{1, 2,3, 4} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序三元组的个数为
答案:96. 详解:设A,B,C为 ?1, 2,3, 4? 的三个子集,如图所示,因为 A I B I C ? ? 所以 S ? ? 不含任何元素,因为 A I B ? B I C ? C I A ? 1 ,所以
3 3 P3 ? P43 种 M 1 , M 2 , M 3 中各有一个元素,将 ?1, 2,3, 4? 中的元素排入,有 C4



方法,由题意知,还剩下的一个元素,可以安排在 P, Q, R ,也可以不排入, 共有 1+P3 =4 种方法,由分步原理得 4 P4 =96 . 教法指导:本题要注意分步原理与分类原理的综合运用,抽象出解题模型,从而使问题得到解决,当然也 可以用列举法, ?1, 2,3, 4? 有15个非空子集,显然A,B,C中A为含有1个或者4个元素的子集不符合题意, A为含有2个或者3个元素的子集,列举即可求解.对于新定义题型,要善于讲陌生问题化归为熟悉模型, 注重基本原理的运用. 变式练习: (2014年杨浦区一模文科13)
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1 3

用 | S | 表示集合S中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 为有序三元组.如果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1 ,且 A I B I C ? ? ,则称有序三元组 ( A, B, C ) 为最小相交. 由集合 {1, 2,3} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序三元组的个数为 答案:6. .

6.(2014年杨浦一模文理14) 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N , 对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n , 且 f ( x) 是增函数, 则 f (3) ?
* *



答案:6. 详解: ? f

? f ? n ? ? ? 3n

? f ? f ?1? ? ? 3 ,? f ?1? ? N * ?设f ?1? ? k ? N * ,

由 f ( x ) 单调增函数知, 3=f i) 当 f ?1? =1 时, 3=f ii) 当 f ?1? =2 时, 3=f

? f ?1? ? ? f ? k ? ? f ?1? =k ,

所以 f ?1? 只可能取1,2,3.

? f ?1? ? ? f ?1? =1, 矛盾,舍去; ? f ?1? ? ? f ? 2 ? ? f ?1? =2, 符合单调递增条件,

? f [ f (n )] ? 3n f (n ) ? N *,将n换成f (n )得,f ? f [ f (n )]? ? 3 f ? n ? ;
所以 f (3n )=3 f ? n ? , 于是f ? 3? ? 3 f (1) ? 6 , f (1) ? f (2) ? f (3) 符合单调性,? f (3)=6 ; iii)当 f ?1? =3 时, 3=f 综上所述, f (3)=6 . 教法指导:本题主要考察抽象函数的单调性,注意定义域和值域都是正整数,通过复合运算使问题得到 解决,给学生做适当的拓展,注意探究更一般的结论. 7.(2014 年虹口一模文理 12)已知函数 f ( x) ? 10 ,对于实数 m 、n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,
x

? f ?1? ? ? f ? 3? =f ?1? , 与单调性矛盾,舍去,

f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值等于
答案: 2lg 2 ? lg 3 . 详解: 由 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 得, 10
m?n



? 10m ? 10n ,从而 1 ?

1 1 1 ? n ?2 , m 10 10 10m?n

即 10m?n ? 4 ,当且仅当 m ? n 时等号成立.由 f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,
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得 10 p ? 1 ?

1 10
m?n

?1

, 由1 0

m?n

4 ? 4 得 1 ? 10 p ? , ? 0 ? p ? 2lg 2 ? lg 3 ,p 的最大值等于 2lg 2 ? lg 3 . 3

教法指导:本题主要考察函数与不等式的综合应用,注意不等式中“一正二定三相等”的条件,通过等价 变形,分离变量,转化成函数求最值问题,化归思想,将二元函数两个变元看做一个整体考虑解决问题.

8.(2014 年虹口一模文理 13)

已知函数 f (n) ? n 2 sin
答案: ?4032

n? ,且 a n ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2014 ? 2



详解: 易知当 n ? 2k , k ? N 为偶数时, f (n) ? 4 k sin k? ? 0 ,所以
*
2

S2 0 1 ? a ?? 4 a ? 1 a ?2 3 ?a
2 2 2 ? 12 ? 2? ? 3 ? 5 ? 7 ?

? 2 0 f1 ? 41? ? 2? ?f ? 92? ?
2 2 0? 1 ? 3

??? f ? ?3 ? ? f ? ?5? f ? ?7 2 02 1 5
2

20 ?? ?1?3 f

?

?2 0 1 5

? 1 ? 2? 3 ? 5 ?7 ? ? 9 ? ? ? ? 2 ? ?4032

2?0 13 ? ??

2015

教法指导:本题是一道数列与三角比结合的题目,利用三角函数周期性,化繁为简,转化成等差数列求和, 使问题得到解决,注意项数计算个别学生需要给予指导,更进一步的,数列与三角比结合的题目给予拓展. 变式练习 1: (2012 年上海高考理科 18)设 an ? 正数的个数是 答案: 100 变式练习 2: (2012 年上海高考文科 18)若 Sn ? sin 正数的个数是 答案: 86

1 n? , Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ( n ? N ? ) ,在 S1 , S2 ,..., S100 中, sin n 25



?
7

? sin

2? n? ( n? N? ) ,则在 S1 , S2 ,..., S100 中, ? ... ? sin 7 7



9.(2014 年崇明一模文理 14) 已知 t ? ?1, 当 x ? ?? t , t ? 2? 时,函数 y ? 答案: [0, 2 2 ? 2]
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x |x| 4 |x|

的最小值为 ?4 ,则 t 的取值范围是

详解:函数图像如下图所示, x 的区间是关于 x ? 1 对称的,当 t 从-1 渐渐变大时,x 的范围从 x=1 开始, 慢慢向两边扩大,如下图,第三幅图向第四幅图变化的时候,函数的最小值为-4,第三幅图是 t=0 的时候,
2 第四幅图是 ? x ? 4 x ? ?4 的时候,解得 x ? 2 ? 2 2 ? ?t ,所以 t ? [0, 2 2 ? 2]

教法指导:本题图像是固定的,要注意区间是如何变化的,并且区间是关于 x=1 对称的,结合图像帮助 理解,需要动态的思考

选择题
1.(2014 年黄浦高三一模文理 18)己知 z1 , z 2 , z3 ? C ,下列结论正确的是( ).
2 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ( A) 若 z12 ? z 2 2 2 2 2 2 ? ? z3 ( B) 若 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ,则 z12 ? z 2
2 2 2 2 ,则 2 (C ) 若 z12 ? z 2 z1 ? z 2 ? z3 ?0 ? ? z3

,则 z1 纯虚数. ( D) 若 z1 ? ? z1 ( z 为复数 z 的共轭复数) 答案:C
2 2 2 详解:对于 ( A) 举反例: z1 ? 3i, z2 ? 4i, z3 ? 5 时, z1 ? z2 ? z3 ? 0 成立,但是 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 不成立,

( A) 错误;
2 对于 ( B) 举反例: z1 ? z2 ? z3 ? 0 成立,有大小关系,说明 z1 ? z2 ? z3 是实数,但是 z1 ? z2 和 ? z3 2 2 2 2 2 2 2 2

不一定为实数, 比如,z1 ? z2 =6+i, z3 ? 1 ? i, z1 ? z2 ? z3 ? 7 ? 0 , 但是, 虚数不能比较大小,6+i ? ?1+i
2 2 2 2 2 2

表达错误,所以, ( B) 错误;
2 2 2 对于 (C ) 若 z1 ? z2 ? ? z3 ,说明不等式左右都是实数,当然可以移项, z1 ? z2 ? z3 ? 0 成立,(C ) 正确; 2 2 2

对于 ( D) 举反例: z1 =0 时, z1 = ? z1 成立,但 z1 是实数,不是纯虚数, ( D) 错误.综上,选:C 教法指导:本题的关键在于区别实数与虚数数的区别和联系,实数可以比较大小,虚数不能比较大小; 指导学生用类比的思想方法, 比较实数与复数的区别和联系,相同之处与不同之处.
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2. (2014 年杨浦高三一模理 18) 定义一种新运算:a ? b ? ?

?b, (a ? b) 4 , 已知函数 f ( x) ? (1 ? ) ? log 2 x , x ? a, ( a ? b)
).

若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范围为(

( A)
答案:B

?1, 2?



( B)

(1, 2) .

(C ) (0, 2)

. ( D)

(0,1) .

4? ? 4 ? 1? , ? log 2 x ? 1 ? ? ?1 ? 4 , ? ? x ? 4? x? ? 4 ? x ? =? x 详解: f ( x ) ? (1 ? ) ? log 2 x = ? ,如图所示, x 4 ? ?log x,0 ? x ? 4 ? ?log x, ? 2 ? log 2 x ? 1 ? ? ? 2 ? ? x? ? ?

令 g ( x ) ? f ( x ) ? k =0 ,问题转化为函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? k 有两个交点,则 k ? (1, 2) ,选:B. 教法指导:本题考查分段函数表达式求法,函数零点问题转化成两函数交点问题,数形结合很容易求解 ; 可以作适当的延伸,比如,有一个零点,求 k 的取值范围等. 变式练习: (2014 年虹口一模文理 14)

函数 f ( x) ? 2 sin ?x 与函数 g ( x) ? 3 x ? 1 的图像所有交点的橫坐标之和为
答案:17. 如图所示



3.(2014 年杨浦一模文 18) 若式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称式. 给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ;
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② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ;
2 2 2

8

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③ ? ( A, B, C ) ? cosC ? cos(A ? B) ? cos C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .
2

其中,为轮换对称式的个数是

???(

).

( A) 0

.

( B) 1 .

(C ) 2 .

( D) 3

.

答案:C. 详解:① ? (a, b, c) ? abc 显然是轮换式; ② ? ( a, b, c) ? a ? b ? c 不是,举个反例即可,
2 2 2

比如, ? (2,1,0)=3,? (0,2,1)= ? 3 ? ? (2,1,0) ,不符合轮换式定义. ③ ? ( A, B, C ) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .
2 2 由 A+B+C =?, 得 C =? ? ? A+B ? ,代入 ? ( A, B, C ) ? cos C ? cos( A ? B) ? cos C

化简得 ? ( A, B, C ) ? 2cos A cos B cos C 是轮换式. 所以①③正确,选 C. 教法指导:本题是新定义题型,培养学生阅读理解能力,审题能力,此题还是比较容易的 .

4.(2014 年浦东一模文理 18)如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点, 若 OC ? mOA ? nOB ,则( (A) 0 ? m ? n ? 1 (C) m ? n ? ?1 答案:B. 详解:取特殊情况,在单位圆中,当 OA ? OB 时,取点C是弧 AB 中点时, 有 OC ?

uuu r

uur

uu u r



(B) m ? n ? 1 (D) ?1 ? m ? n ? 0

uur

uur

uuu r

2 uur 2 uur 2 2 OA ? OB ,则 m ? n ? ? ? 2 ? 1 ,选B. 2 2 2 2
uuur uur uur

教法指导:本题考察向量分解定理,是选择题,当然可以采用一般问题特殊化方法.然而,亦可以采用 向量的平行四边形法则,设AB与OC交于点M,因为三点共线,所以 OM ? m1OA ? n1OB, m1 ? n1 ? 1,

uuu r uuur | OC |?| OM | ,所以 m ? n ? 1 .用这种一般化的方法也可以解决此题,但是相比之下,特殊值法优解,
培养学生一题多解,对比思想方法解决问题.

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9

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5.(2014 年虹口一模文理 18)如图 1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块, 容器内盛有 a 升水.平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点 P ,若将容器倒置如图 2,水面也恰过点 P . 以下命题正确的是( ).

1 A. 圆锥的高等于圆柱高的 ; 2 2 B. 圆锥的高等于圆柱高的 ; 3

P

P

C. 将容器一条母线贴地,水面也恰过点 P ; D. 将容器任意摆放,当水面静止时都过点 P .
答案:C 详解:根据题意,设圆柱底面积为 S ,则圆锥的体积 V锥 =
图1

图2

1 a ? Sh锥 , 2 3a h 1 5 3 圆柱的体积 V柱 = a ? a ? a ? a ? Sh柱 ,所以 锥 = 2 ? ,A和B错误. 2 2 h柱 5a 5 2 5 1 将容器一条母线贴地,可求得 V半圆柱 = a , V半圆锥 = a , V半圆柱 ? V半圆锥 =a 等于水的体积, 4 4
所以水面也恰过点 P ,C正确;因为

h锥 3 ? ,在图2中取下底面圆周上一点M,与点 P 连线, h柱 5

延长交母线于N,N为母线五等分点,以点N、P、M所在截面是个椭圆面,及下底面构成的 几何体是伪圆锥,是所在圆柱体积的一半,其体积 V伪斜锥 =

1 4 S ? h ? a ,以椭圆面水平, 2 5 柱

恰好水面过点P,再将圆锥向母线着地方向旋转,水面会下降,不过点P,所以D错误. 综上,选:C. 教法指导:本题考点是圆柱与圆锥体积的计算,认识圆柱与圆锥的基本特征,体积的等量关系, 让学生进一步认识数学与实际的联系,建立数学模型解决问题.

6(2014 年崇明一模文理 18)已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值等于( A. ? 4 ? 2 答案:D 详解:如图所示,根据题意,设单位圆的两切线长为 l , |PO | =d ? 1, ?BPA ? ? ,在直角三角形 BPO 中,
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) C .?4?2 2 D. ? 3 ? 2 2

B. ? 3 ? 2

有 sin

?
2

?

1 ? 2 , cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? 1 ? 2 , d 2 d

??? ? ??? ? 2 ? 2 ? PA ? PB =l 2 cos ? ? ? d 2 ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? ?3 ? d 2 ? 2 ? ?3 ? 2 2. d ? d ?
当且仅当 d 2 =

2 即 d = 4 2 ? 1 时等号成立,选:D. 2 d

教法指导:本题考查圆与直线相切关系,运用基本不等式求最值,注意数量关系的转化,通过设元法, 建立数学模型,使问题得到解决.

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高考冲刺模拟汇编——集合不等式

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上海高三一模数学(文科)分类汇编4:数列

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