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2015届高考数学二轮复习 专题1 第5讲 导数及其应用素能训练(文、理)


2015 届高考数学二轮复习 专题 1 第 5 讲 导数及其应用素能训练 (文、理) 一、选择题 1. (文)(2013·郑州市质检)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(e) +lnx,则 f′(e)=( A.1 C.-e -1 ) B.-1 D.-e [答案] C 1 1 [解析] 依题意得,f′(x)=2f′(e)+ ,取 x=e 得

f′(e)=2f′(e)+ ,由此解得 x e f′(e)=- =-e-1,故选 C. e (理)(2013·云南检测)已知常数 a、b、c 都是实数,f(x)=ax +bx +cx-34 的导函数 为 f′(x),f′(x)≤0 的解集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是 ( ) 81 A.- 22 C.2 [答案] C [解析] 依题意得 f′(x)=3ax +2bx+c≤0 的解集是[-2,3],于是有 3a>0,-2+3 2b c =- ,-2×3= , 3a 3a 3a ∴b=- ,c=-18a,函数 f(x)在 x=3 处取得极小值,于是有 f(3)=27a+9b+3c 2 81 -34=-115,- a=-81,a=2,故选 C. 2 2. (文)(2014·长春市调研)已知函数 f(x)=x 的图象在点 A(x1, f(x1))与点 B(x2, f(x2)) 处的切线互相垂直,并交于点 P,则点 P 的坐标可能是( 3 A.(- ,3) 2 C.(2,3) [答案] D [解析] 由题意知,A(x1,x1),B(x2,x2),f′(x)=2x,则过 A,B 两点的切线斜率 k1 2 2 2 2 3 2 1 B. 1 3 D.5 ) B.(0,-4) 1 D. (1,- ) 4 1 =2x1,k2=2x2,又切线互相垂直,所以 k1k2=-1,即 x1x2=- .两条切线方程分别为 l1∶y 4 =2x1x-x1,l2∶y=2x2x-x2 ,联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0,∵x1≠x2,∴x= 1 代入 l1,解得 y=x1x2=- ,故选 D. 4 π 3 (理)在函数 y=x -9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 ,且横、纵坐标 4 都为整数的点的个数是( A.0 C.2 [答案] A 2 2 2 10 [解析] 依题意得,y′=3x -9,令 0<y′=3x -9<1 得 3<x < ,显然满足该不等式 3 2 2 x1+x2 2 , ) B.1 D.3 π 3 的整数 x 不存在,因此在函数 y=x -9x 的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于 , 4 且横、纵坐标都为整数的点的个数是 0,选 A. 3.(文)(2014·太原五中月考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,抛 1 2 物线 y= x +1 与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为( 16 A. - =1 8 2 C. -y =1 4 [答案] C 1 2 1 1 [解析] ∵y= x +1,∴y′= x,设切点(x0,y0),则切线方程 y-y0= x0(x-x0), 16 8 8 1 2 ∵切线过原点,∴y0= x0 8 ①,又切点在抛物线上,∴y0= 1 2 x0+1 16 ②,由(1)(2)得 x0= 2 x2 y2 a b ) x2 y2 x2 B. - =1 2 8 D. x - =1 4 2 x2 y2 2 y2 b

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