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第六讲 不等式


第六讲 不等式
1.不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ?

b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

(异向不等式相除)

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

3 b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

极值定理:若 x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; ○ 2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. a?b?c 3 (4)若a、b、c ? R ? , 则 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号)

(6)a ? 0时, | x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a;

| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么

2 a?b a 2 ? b 2 (当仅当 ? ab ? ? . 1 1 2 2 ? a b

a=b 时取等号)即:平方

平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) : 2 2 a ? b 2 a ?b a ? b 2 a 2 ?b 2 特别地, ab ? ( (当 a = b 时, ( ) ? ) ? ? ab ) 2 2 2 2 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n 2 2 2 2 2 注:例如: (ac ? bd ) ? (a ?b )(c ?d ) .
2 2 ? ... ? a n ? ?幂平均不等式: a12 ? a 2

(2)柯西不等式: 若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则

2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) an a1 a2 a3 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn

5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法
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(1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0 (3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? 定义域 ○ ? ?
? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ?

2 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ○ ?

? f ( x) ? 0

f ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 2 ? ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

3 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 2 ? ? f ( x) ? [ g ( x)]

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值; 2 应用数形思想; ○ ○ 3 应用化归思想等价转化 ○ g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? ? ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? g ( x) ? 0 | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

1.(2014 上海)设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的( ) 【答案】B (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.(2014 四川)若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( A、 ) 【答案】D D、

a b ? c d

B、

a b ? c d

C、
2

a b ? d c
2

a b ? d c

3.(2014 上海)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x + 2 y 的最小值为______________.【答案】 4.(2014 新课标 I).不等式组 ?

2 2

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: 【答案】 :C ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

? y?x ? 5. (2014 广东)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 M 和 m,则 M-m= ? y ? ?1 ?
A.8 【答案】C B.7 C.6 D.5

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6.(2014 天津)设 a, b ? R ,则|“ a > b ”是“ a a > b b ”的( (A)充要不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件

) 【答案】C (D)既不充要也不必要条件

7.(2014 江西) (1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值( ) A. 1 【答案】B B. 2
2

C. 3

D. 4

8.(2014 重庆)若不等式 | 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? a ? 【答案】 [ ?1, ]

1 a ? 2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____. 2

1 2

2 2 9. (2014 辽宁)对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, ?

3 a

4 5 ? b c

的最小值为 【答案】-2

.

10.(2014 湖南) x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ? 【答案】-3

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 a ? ________. 3 3?

11.(2014 陕西) (不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最小值为 【答案】 5 12. (2014 新课标 I)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab .(Ⅰ) 求 a 3 ? b3 的最小值; a b

【答案】 4 2

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

13. (2014 新课标 II)(本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0) (Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

a 1 ? 5 5 ? 21 【答案】 ( , ) 2 2

14. (2014 辽宁) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 设函数 f ( x) ? 2 | x ?1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N.

(1)求 M; (2)当 x ? M 【答案】 (1) [ 0, ]

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

4 3

(2)

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15.(2014 福建) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选将 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值; 【答案】(1)a=3.

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,

16.(2013 福建理科) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1 的解集为 M.,(I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 【答案】 M ? ?x | 0 ? x ? 1?? ab ? 1 ? a ? b 。

17.(2013 辽宁理、文)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | 。 (1)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (2)求不等式 f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15 的解集。 【答案】(1)由(1) x | 5 ? 3 ? x ? 6

?

?

18.(2013 全国课标卷)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 .(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

【答案】 (Ⅰ) x | x ? 3或x ? ?1 .( Ⅱ) a ? 2 .

?

?

? ,求 a 的值.

19.(2013 江苏)解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3 . 解: ? x | ?2 ? x ?

? ?

4? ?。 3?

2 20. (2013·重庆高考文科·T15)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,

则 a 的取值范围为 【答案】 [0,



?
6

] [

5? ,? ] 6

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