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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-5-1第一讲 随率 随机变量及其分布列


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1-5-1 第一讲

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随率 随机变量及其分布列

一、选择题 1.(2012 年南昌师大附中月考)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机 想听电台整点报时,则他等待的时间少于 30 分钟的概率为( 1 A.6 2 C.3 1 B.2 1 D.12 )

析:整点报时的时间间隔是 60 分钟,故等待时间少于 30 分钟的概率 P= 30 1 60=2. 答案:B 1 2.(2012 年太原模拟)某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是2,构造数列 ?1(第n次抛掷时出现正面) {an},使得 an=? ,记 Sn=a1+a2+…+an(n∈N*), ?-1(第n次抛掷时出现反面) 则 S4=2 的概率为( 1 A.16 1 C.4 ) 1 B.8 1 D.2

解析:依题意得知,“S4=2”表示在连续四次抛掷中,恰有三次出现正面, 1 1 1 因此“S4=2”的概率为 C3(2)3·=4.选 C. 4 2 答案:C π π 3 3. (2012 年保定摸底)在区间(-2, )上随机取一个数 x, 则使得 tan x∈[- 3 , 2 3 ]的概率为( 1 A.3 1 C.2
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) 2 B.π 2 D.3

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π π 3 解析:区间(-2,2)的长度为 π,当 tan x∈[- 3 , 3 ]时,x 的取值范围是 π π π 1 [-6,3],区间长度为2,故由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为2. 答案:C 4. 投掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各 1 次, 事件 A 表示“硬 币正面向上”,事件 B 表示“骰子向上的点数是 2”,则事件 A,B 中至少有一个发 生的概率为( 5 A.12 7 C.12 ) 1 B.2 3 D.4

1 解析:由题知,事件 A 发生的概率为 P(A)=2,则事件 A 不发生的概率为 1 1 5 P(-)=2,事件 B 发生的概率为 P(B)=6,事件 B 不发生的概率为 P(-)=6,事 A B 1 5 5 件 A,B 都不发生的概率为 P(--)=P(-)· -)=2× =12,故事件 A,B 中至 AB A P( B 6 7 少有一个发生的概率为 1-P(--)=12. AB 答案:C 5.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有 一个是女孩,问这时另一个小孩是男孩的概率是( 1 A.3 2 C.3 解析:解法一 1 B.2 3 D.4 基本事件全体 Ω={男男,男女,女男,女女},记事件 A )

3 为“有一个女孩”,则 P(A)=4,记事件 B 为“另一个是男孩”,则 AB 就是事件“一 1 个男孩一个女孩”,P(AB)=2,故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下,另一 1 P(AB) 2 2 个是男孩的概率 P(B|A)= = = . P(A) 3 3 4
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解法二

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记“有一个女孩”的基本事件的全体 Ω′={男女, 女男, 女女}, 则“另

2 一个是男孩”的基本事件为 2 个,故这个概率是3. 答案:C 二、填空题 S 6.向面积为 S 的△ ABC 内任投一点 P,则△ PBC 的面积小于3的概率是 ________. DE 2 解析:作 DE∥BC 分别交直线 AB,AC 于点 D,E,使得 BC =3,则 P 取四 S四边形BCED 5 边形 BCED 中任意一点即可满足题意,所以所求的概率为 S =9. △ ABC 5 答案:9 7.(2012 年武汉调研)已知集合 A={1,2,3,4},B={a1,a2,a3,a4}, 且 B=A, 定义 A 与 B 的距离 d(A, B)= ?|ai-i|, d(A, 则 B)=2 的概率为______.
i=1 4 解析:依题意,对 a1,a2,a3,a4 进行全排列一共有 A4=24 种不同的情况, 4

其中满足 d(A,B)=2 的排列有:1,2,4,3;2,1,3,4;1,3,2,4.因此, 3 1 所求事件的概率 P=24=8. 1 答案:8 8. 在某市 2012 年 1 月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从 正态分布 N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约 9 450 人.某学生在 这次考试中的数学成绩是 108 分,那么他的数学成绩大约排在全市前________ 名左右. 1 解析:因为学生的数学成绩 X~N(98,100),所以 P(X≥108)=2[1-P(88<X< 1 1 108)]=2[1-P(μ-σ <X<μ+σ)]=2(1-0.682 6)=0.158 7,故该学生的数学成绩大 约排在全市前 0.158 7× 450≈1 500 名. 9 答案:1 500
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三、解答题

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9.甲袋中有大小相同的 3 个白球、5 个红球,乙袋中有大小相同的 4 个白 球、8 个黑球,从两个袋中各摸出 2 个球,求: (1)从甲袋中摸出的 2 个球都是红球的概率; (2)这 4 个球中恰有 2 个白球的概率.
2 C5 5 解析:(1)从甲袋中摸出的 2 个球都是红球的概率为 P=C2=14. 8

(2)记“两个袋中摸出的 4 个球中恰有 2 个白球”为事件 D,包括事件 A、事件 B、事件 C 三种情形. C2 C 2 3 8 事件 A: 从甲袋中摸出 2 个白球且从乙袋中摸出 2 个黑球, P(A)=C2· 2 = 则 C
8 12

1 22. 事件 B:从甲、乙两个袋中各摸出 1 个白球,则 P(B) C1C1 C1C1 20 3 5 4 8 = C2 ·C2 =77. 8 12 C 2 C2 5 4 事件 C:从甲袋中摸出 2 个红球且从乙袋中摸出 2 个白球,则 P(C)=C2· 2 C
8 12

5 =154. 1 20 5 因为事件 A、B、C 彼此互斥,所以 P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=22+77+154 26 =77. 10.(2012 年高考江西卷)如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0), B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个 点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选 取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

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(1)求 V=0 的概率;

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(2)求 V 的分布列及数学期望 EV.
3 解析: (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C6=20(种)取法, 选取的 3 个点

12 与原点在同一个平面内的取法有 C1C3=12(种), 因此 V=0 的概率为 P(V=0)=20 3 4 3 =5. 1 1 2 4 (2)V 的所有可能取值为 0,6,3,3,3,因此 V 的分布列为
V

0
3

1 6 1 20

1 3 3 20

2 3 3 20

4 3 1 20

P

5

由 V 的分布列可得 3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 EV=0× +6× +3× +3× +3× =40. 5 20 20 20 20 11.(2012 年高考广东卷)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100].

(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 2 人中成绩在 90 分以上(含 该 90 分)的人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. 解析:(1)由频率分布直方图知(0.006× 3+0.01+x+0.054)× 10=1, 解得 x=0.018. (2) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 成 绩 不 低 于 80 分 的 学 生 人 数 为 (0.018 + 0.006)× 50=12,成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 0.006× 50=3. 10× 10×
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因此 ξ 可能取 0,1,2 三个值.
2 1 1 C9 6 C9· 3 9 C P(ξ=0)=C2 =11,P(ξ=1)= C2 =22, 12 12 2 C3 1 P(ξ=2)=C2 =22. 12

ξ 的分布列为
?

0
6

1
9 22

2
1 22

P

11

6 9 1 1 故 E(ξ)=0× +1× +2× =2. 11 22 22

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