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浙江省2015届高三上学期期中考试数学试题(文)


京翰高考网:http://gaokao.zgjhjy.com/

2013 学年度

余姚中学

第 一 学 期

高三(文科)数学期中试卷

京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分

.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? ?? 1,1,2,3,4 A. ?4?

?,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) ? B 为(
C.



B. ?2,3,4?

?? 1,2,4?

D. ?? 1,2,3,4? )

2. 设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi ,若

z2 为纯虚数,则实数 b ? ( z1

A. 2 B. C. ?1 D. ?2 3.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1>a2”是“数列{an}为递减数列”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

)

4.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m // ? , n ? B.若 m // ? , n ? C.若 m // ? , n ? D.若 m // ? , n ?

? , m ? n, 则? ? ?
? , m / / n, 则? ? ? ? , m ? n, 则? / / ?

? , m / / n, 则? / / ?

5. 如某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图的上半部分均为边长为 2 的等边三角形, 则该几何体的体积为( )

开始
i ? 1, sum ? 0, S ? 0

否 是 输出S 结束

i ? i ?1

sum ? sum ? 1
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S ? S ?1/ ? sum ? i ?

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A、 ? ?

4 3 3 2 3 3

B、 2? ?

4 3 3 2 3 3
4 ,则判断框中应填入的条件是( ) 5

C、 ? ?

D、 2? ?

6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 A. i ? 5 C. i ? 7 B. i ? 6 D. i ? 8

? x?0 ? y?0 ? 7.已知 x, y 满足不等式 ? ,且目标函数 z ? 9 x ? 6 y 最大值的变化范围为 ? 20, 22? , ? x ? 2y ? t ? ?2 x ? y ? 4
则 t 的取值范围是( A. ) B. ? 4,6? C. ?5,8? D. ? 6,7 ?

? 2, 4?

8. 若△ ABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆, 且 OA ? AB ? OC ? 0 , 且 OA ? AB ,则 CA ? CB ? ( ) A. 3 B.

3

C.

3 2

D. 2 3

9.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a , b, c ,边 BC 上的高 AD ? BC ? 1 ,则 b 2 ? c 2 的最小值 为 ( ) 3 5 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 2 2 10.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ?
2

,则函数

? ?1? | x ? 3 |, x ? [1,??)

a

F ( x) ? f ( x) ? a (0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
a ?a ?a

A. 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分.将答案直接答在答题卷上的指定位置) 11.函数 f ( x) ? sin x(sin x ? cos x) 的最小正周期为 . 12. f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2在区间(?2,2)上是减函数 , 则a取值范围是 13. 若任意 x ? A ,则 _ .

1 ? 1 ? ? A ,就称 A 是“和谐”集合,则在集合 M ? ?0, ,1, 2 ? 的所有非空子 x ? 2 ?


集中, “和谐”集合的概率是

14、 数列 ?a n ? 中,a1 ? 5, a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1(n ? N ? , n ? 2) , 若存在实数 ? , 使得数列 ? 为等差数列,则 ? = ;

? an ? ? ? ? n ? 2 ?

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? x2 ? 1 x ? 0 2 15.已知函数 f ( x ) = ? ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_ x?0 ?1
16.设函数 y ? f ( x), x ? R 的导函数为 f ?( x), 且 f ( x) ? f ( ? x), f ?( x) ? f ( x) ,则下列三个数:

ef (2), f (3), e 2 f (?1) 从小到大依次排列为

(e 为自然对数的底数)

17.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 , P 为线段 AB 上的点, 且 CP ? x ?

CA | CA |

? y?

CB | CB |

,则 xy 的最大值为



三、解答题(本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分 15 分)设 f ( x) ? log 1 (
2

1 ? ax ) 为奇函数,a 为常数。 x ?1

(1)求 a 的值;

, ? ?) 内单调递增; (2)证明: f ( x) 在 (1
1 2
x

(3)若对于 ?3, 4? 上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

19. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量 p = (1, 3 cos
2 2

? ? ? A A ) , q =(2sin , 1-cos2A) ,且 p ∥ q . 2 2
2

(1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大时边 b,c 的大小.

20. (本小题满分 14 分)
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已知 {a n } 为等比数列,前 n 项的和为 S n ,且 a 7 ? (Ⅰ)求 {a n } 的通项公式及前 n 项的和为 S n ;

1 1 , a2 ? . 64 2

(Ⅱ)若 bn ? log 2 (2 ? S n ) ,数列 {bn } 前 n 项的和为 Tn ,求数列 {

1 } (n ? 2) 的前 n 项和. Tn

21. (本题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 是直角梯形,AB ? AD , 且 AD 与 BC 平行, AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , ?PAD 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形,且二面角 P ? AD ? C 为直二面角. (1)求证: PD ? 平面 PAB ; (2)求 AD 与平面 PCD 所成角大小. P P

A

D B

A
C

D

B

C

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 1) x (a ? R ) . (Ⅰ) 若函数 y ? f ( x ) 在 x ? ?1 处的切线方程为 4 x ? y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值. (Ⅱ)当 x ? [0,3] 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2013 学年度

余姚中学

第 一 学 期

高三(文科)数学期中试卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? ?? 1,1,2,3,4 A. ?4?

?,集合 A ? ?1,2,3?, B ? ?2,4? ,则 (CU A) ? B 为(
C.

C



B. ?2,3,4?

?? 1,2,4?

D. ?? 1,2,3,4?

2. 设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi ,若

z2 为纯虚数,则实数 b ? ( D ) z1

A. 2 B. C. ?1 D. ?2 3.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1>a2”是“数列{an}为递减数列”的( B ) (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( B ) A.若 m // ? , n ? B.若 m // ? , n ? C.若 m // ? , n ? D.若 m // ? , n ?

? , m ? n, 则? ? ?
? , m / / n, 则? ? ? ? , m ? n, 则? / / ?

? , m / / n, 则? / / ?
开始

5. 如某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图的上半部分均为边 长为 2 的等边三角形,则该几何体的体积为( A ) A、 ? ?

4 3 3

B、 2? ?

4 3 3

i ? 1, sum ? 0, S ? 0

否 是 输出S 结束

i ? i ?1
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sum ? sum ? 1
S ? S ?1/ ? sum ? i ?

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C、 ? ?

2 3 3

D、 2? ?

2 3 3
4 ,则判断框中应填入的条件是(A ) 5

6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 A. i ? 5 C. i ? 7 B. i ? 6 D. i ? 8

? x?0 ? y?0 ? 7.已知 x, y 满足不等式 ? ,且目标函数 z ? 9 x ? 6 y 最大值的变化范围为 ? 20, 22? , x ? 2 y ? t ? ? ?2 x ? y ? 4
则 t 的取值范围是( A. B ) B. ? 4,6? C. ?5,8? D. ? 6,7 ?

? 2, 4?

8. 若△ ABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆, 且 OA ? AB ? OC ? 0 , 且 OA ? AB ,则 CA ? CB ? ( A ) A. 3 B.

3

C.

3 2

D. 2 3

9.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a , b, c ,边 BC 上的高 AD ? BC ? 1 ,则 b 2 ? c 2 的最小值 为 ( D ) 3 5 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 2 2

?log 1 ( x ? 1), x ? [0,1) ? 2 10.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,则函数 ? 1 ? | x ? 3 |, x ? [ 1 , ?? ) ? F ( x) ? f ( x) ? a (0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( D ) a ?a ?a a A. 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分.将答案直接答在答题卷上的指定位置)
11.函数 f ( x) ? sin x(sin x ? cos x) 的最小正周期为

?

. _▲ a ? 4 .

12. f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2在区间(?2,2)上是减函数 , 则a取值范围是

13. 若任意 x ? A ,则

1 ? 1 ? ? A ,就称 A 是“和谐”集合,则在集合 M ? ?0, ,1, 2 ? 的所有非空子 x ? 2 ?
1 ▲ 5


集中, “和谐”集合的概率是

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14、 数列 ?a n ? 中,a1 ? 5, a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1(n ? N ? , n ? 2) , 若存在实数 ? , 使得数列 ? 为等差数列,则 ? =

? an ? ? ? ? n ? 2 ?

?1



15. 已 知 函 数

f ( x)

=

? x2 ? 1 x ? 0 ? x?0 ?1

,则满足不等式

f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x

的范围是_

(? 1 , 2 ? 1 )_____.
16.设函数 y ? f ( x), x ? R 的导函数为 f ?( x), 且 f ( x) ? f ( ? x), f ?( x) ? f ( x) ,则下列三个数:

ef (2), f (3), e 2 f (?1) 从小到大依次排列为 f (3), ef (2), e 2 f (?1) (e 为自然对数的底数)
17.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C , S ?ABC ? 6 , P 为线段 AB 上的点, 且 CP ? x ?

CA | CA |

? y?

CB | CB |

,则 xy 的最大值为

3



三、解答题(本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分 15 分)设 f ( x) ? log 1 (
2

1 ? ax ) 为奇函数,a 为常数。 x ?1

(1)求 a 的值;

, ? ?) 内单调递增; (2)证明: f ( x) 在 (1
(3)若对于 ?3, 4? 上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

1 2

18. ⑴∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) . ∴ log 1 (
2

1 ? ax 1 ? ax ) ? ? log 1 ( ) ? x ?1 x ?1
2

?

1 ? ax x ?1 ? ? 0 ? 1 ? a 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? a ? ?1 . ? x ? 1 1 ? ax 检验 a ? 1 (舍) ,∴ a ? ?1 .

⑵由⑴知 f ( x) ? log 1 (
2

x ?1 ) x ?1

证明:任取 1 ? x2 ? x1 ,∴ x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 0 ∴0 ?

2 2 2 2 ? ?1? ? 1? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

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?0?

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

? log 1 (
2

x1 ? 1 x ?1 ) ? log 1 ( 2 ) x1 ? 1 x2 ? 1
2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ f ( x) 在 (1 , ? ?) 内单调递增. ⑶对 ?3, 4? 于上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) ? ( ) ? m 恒成立,即 f ( x) ? ( ) ? m 恒成立。
x x

1 2

1 2

令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ) .只需 g ( x) min ? m , 又易知 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ) 在 ?3, 4? 上是增函数, ∴ g ( x ) m in ∴m ? ?

1 2

x

1 x 2 9 ? g (3) ? ? . 8

9 时原式恒成立. 8
?

19. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量 p = (1, 3 cos
2 2

? ? ? A A ) , q =(2sin , 1-cos2A) ,且 p ∥ q . 2 2
2

(1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大时边 b,c 的大小. 19.解: (Ⅰ)由 p // q 得 1 ? cos 2 A ? 又角 A 为锐角,? sin A ?

3 sin A ,所以 2 sin 2 A ? 3 sin A ??2 分
??4 分

3 1 , cos A ? 2 2

而 a 2 ? c 2 ? b 2 ? mbc 可变形为 即 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

??5 分

m 1 ? ?m ?1 2 2

??6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 1 3 ? ,又 , sin A ? 2bc 2 2 2

??7 分

? bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 即 bc ? a 2
故 S ?ABC ?

??9 分

1 1 3 3 3 bc sin A ? a 2 ? 2 2 2 4

??11 分

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当且仅当 b ? c ?

3 时 ?ABC 的面积有最大值

3 3 4

??14 分

20. (本小题满分 14 分) 已知 {a n } 为等比数列,前 n 项的和为 S n ,且 a 7 ? (Ⅰ)求 {a n } 的通项公式及前 n 项的和为 S n ; (Ⅱ)若 bn ? log 2 (2 ? S n ) ,数列 {bn } 前 n 项的和为 Tn ,求数列 {
1 } (n ? 2) 的前 n 项和. Tn
1 1 , a2 ? . 64 2

21. (本题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 是直角梯形,AB ? AD , 且 AD 与 BC 平行, AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , ?PAD 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形,且二面角 P ? AD ? C 为直二面角. (1)求证: PD ? 平面 PAB ; (2)求 AD 与平面 PCD 所成角大小.

P

P

A

D B

A
C

D

B

C

21.解:(Ⅰ)由 AB ? AD ,且 P ? AD ? C 为直二面角, 所以 AB ? 平面 PAD ,又 PD ? 平面 PAD , 所以 AB ? PD ,而 PD ? PA , 因此 PD 与平面 PAB 内的两条相交直线垂直,
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从而 PD ? 平面 PAB . (Ⅱ)延长 DC 与 AB 交于点 M ,则由题意知, B, C 分别为 AM 与 DM 的中点, 且平面 PCD 平面 PAB ? PM ,由(Ⅰ)知 PD ? 平面 PAB ,且 PD ? 平面 PDM , 所以平面 PDM ? 平面 PAB ,过 A 作 PM 的垂线 AN ,则 AN ? 平面 PMD , 从而 ?ADN 就为 AD 与平面 PCD 所成的角, 由(Ⅰ)知 PAM 为直角三角形, 从而由 PA ? 2, AM ? 2 得 PM ? 6 , 所以在直角三角形 PAM 中,

2 3 2 3 AN ? 3 ,于是在直角三角形 AND 中, tan ?ADN ? 3 ,所以 ?ADN ? 30 ,即 AD 与 ? 3 2 3
平面 PCD 所成角为 30 . 22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 1) x (a ? R ) . (Ⅰ) 若函数 y ? f ( x ) 在 x ? ?1 处的切线方程为 4 x ? y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值. (Ⅱ)当 x ? [0,3] 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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