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3.1.5空间向量运算的坐标表示


3.1.5 空间向量运算的坐标表示

教学目标
重点: 空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示. 难点:如何建立适当的坐标系及空间向量的坐标的确定和运算. 知识点:掌握空间向量坐标运算的规律. 能力点:通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题,进一步培养学生 的观察能力和探索能力,总结一般性方法 .提高学生运用坐标法解决

几何问题的能力懂得欣赏数 学的“简洁美” ,并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法. 教育点:通过必修 4 平面向量的坐标运算,用类比的方法研究空间向量问题,教会学生准确的建立坐标系, 用空间向量坐标解决空间几何的线面关系. 自主探究点:通过平面向量运算的有关方法,引出空间向量的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系. 如何建立坐标系,求解坐标才更简单. 考试点:证明线线、线面的平行与垂直,求角和距离(模)等问题. 易错易混点:借助与向量夹角求解异面直线的夹角最后有的学生不会转化. 拓展点:借助于向量求解线线、线面、面面的平行、垂直、夹角、距离等问题.

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、引入新课
复习平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 (1) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , (2) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , (3) ? a ? (? x, ? y )
王新敞
奎屯 新疆

(4) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 (5) a // b (b ? 0)的充要条件是 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (6) a ? b (7) | a |?

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
x12 ? y12

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB ? OB ? OA ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

1

(8) cos ? a , b ??

x1 y1 ? x2 y2
2 x ? x2 2 1 2 y12 ? y2

若设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) , 【设计意图】通过回顾平面向量的坐标运算,可以自然的引出本节课课题,进一步让学生体会二维空间与三 维空间的关系. 思考:你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗?它们是否成立?为什么? 【设计意图】带着思考去学习,更能体现学习的目标性,提高学生的注意力.

二、探究新知
设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 则(1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )
a ? b ? a1b2 ? a2 b2 ? a3b3

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)

教师可以选择某一个坐标运算向学生证明它的正确性,加深学生对运算的理解: 如证明向量的数量积运算 设 i , j , k 为单位正交基底,则 a ? a1 i + a2 j + a3 k , b ? b1 i + b2 j + b3 k . 所以 a ? b ? ( a1 i + a2 j + a3 k ) ? ( b1 i + b2 j + b3 k ) 利用向量运算的分配律以及 i ? i ? j ? j ? k ? k ? 1, i ? j ? j ? k ? i ? k ? 0, 即可得出 a ? b ? a1b2 ? a2 b2 ? a3b3 【设计意图】通过向学生展示向量的数量积运算求解过程,让学生进一步明确结论的正确性,加深了对空间 向量坐标运算的理解. 类似平面向量运算的坐标表示,我们还可以得到: (2) a // b ? a ? λ b (b ? 0)即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 ( λ ? R)

a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
(3) | a | ? a ? a ?
2 2 a12 ? a2 ? a3

在空间坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1, z2 ? z1 ) 即 A, B 两点间的距离 d AB ?| AB |?

( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 ) 2

cos ? a, b ??

a1b1 ? a2 b2 ? a3 b3
2 3 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

【设计意图】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅可以解决线面的平行、垂直、夹角、 距离(模)等问题 ,而且为下进一步解决立体几何问题提供了方便.
2

三、理解新知
1.与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已,即由 ( x, y ) 变成了 ( x, y, z ) .以下两个充要条件在解题 中 经 常 使 用 , 要 熟 练 掌 握 . 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 a // b ?

a ? λ b (b ? 0) 即

a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 ( λ ? R) ; a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .
思考:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则“

a1 a2 a3 ? ? ”是“ a // b ”的什么条件? b1 b2 b3

分析 : 当

a a1 a2 a3 a a 成立时 , a // b 一定成立 ; 但 a // b 成立 1 ? 2 ? 3 不一定成立 , 原因是 ? ? b1 b2 b3 b1 b2 b3

b1 , b2 , b3 有为零的情况.
2. 对利用向量处理平行和垂直问题的考查, 主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题. 对 于垂直,主要利用 a ? b ? a ? b ? 0 进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证 明.二是对利用向量处理角度问题的考查,利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角),其一般方法 是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式 cos θ ?

a?b 进行计算. | a || b |

3.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置,建立适当、正确的空间坐标系,难点是在已建 好的坐标系中表示出已知点的坐标,只有正确表示出已知点的坐标,才能通过向量的坐标运算,实现几何问 题的代数化解法. 【设计意图】培养学生总结归纳的能力,让学生知道利用空间向量所要解决的问题,及解决问题的一般性 方法.

四、运用新知
题型一:空间向量的坐标运算 例 1.设 a ? (2,1, 6) , b ? (?8, ?3, 2) ,计算: (1) 2a ? 3b ;(2) 3a ? 4b ;(3)

1 b ? a ;(4)若 λ a ? ? b 与 y 轴垂直,求 λ, μ 所满足的关系式. 2

分析: (1) (2) (3)直接利用向量的坐标运算解决即可, (4)需要找一下 λ a ? ? b 与 y 轴方向向量的关 系. 教师板书例题求解过程: (1) 2a ? 3b ? 2(2,1,6) ? 3(?8, ?3, 2) ? (4, 2,12) ? (?24, ?9,6) ? (?20, ?7,18) . (2) 3a ? 4b ? 3(2,1,6) ? 4(?8, ?3, 2) ? (6,3,18) ? (?32, ?12,8) ? (38,15,10) (3)

1 3 3 7 b ? a ? (?4, ? ,1) ? (2,1, 6) ? ?4 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? 6 ? ? . 2 2 2 2

(4) λ a ? ? b ? (2? ? 8? , ? ? 3? ,6? ? 2? ) ,取 y 轴的方向向量为 (0,1, 0) . 所以 ? ? 3? ? 0 ,即 λ, μ 所满足的关系式为 ? ? 3? ? 0 .
3

【设计意图】通过本题可以让学生先熟悉一下空间向量运算的坐标表示,可以为下面的题目做好知识、运 算的铺垫. 题型二:空间向量平行与垂直的判断 例 2. 已知空间三点 A(?2,0, 2), B(?1,1, 2), C(?3,0, 4) ,设 a = AB , b = AC . (1)设 | c |? 3 , c // BC 求 c ; (2)若 k a ? b 与 k a ? 2b 互相垂直,求 k . 分析: 通过 A(?2,0, 2), B(?1,1, 2), C(?3,0, 4) 及 a = AB , b = AC ,首先把 a , b 表示出来. ( 1 )由 c // BC 则借助共线向量基本定理 , 可设 c ? λ BC 这样 c 的坐标中只含有一个参数 ? , 再利用

| c |? 3 把 ? 求出即可.这种做法比直接设 c ? ( x, y, z ) 要简便的多.
(2)首先把 k a ? b 与 k a ? 2b 的坐标表示出来,再利用两向量垂直时的坐标关系求出参数 k 即可. 教师板书例题求解过程: (1)因为 BC ? (?2, ?1, 2) ,且 c // BC ,设 c ? λ BC ? (?2λ, ? λ, 2λ)( λ ? R) . 所以 | c |?

(?2 λ) 2 ? ( ? λ) 2 ? (2 λ) 2 ? 3 | λ |? 3 .

解得 λ ? ?1 ,所以 | c |? (?2, ?1, 2) 或 | c |? (2,1, ?2) . (2)因为 a = AB ? (1,1,0) , b = AC ? (?1,0, 2) .所以 k a ? b ? (k ? 1, k , 2) 与 k a ? 2b ? (k ? 2, k , ?4) , 由 k a ? b 与 k a ? 2b 互相垂直,所以 (k a ? b) ? (k a ? 2b) ? 0 ,
2 即 (k ? 1, k , 2) ? (k ? 2, k , ?4) ? 2k ? k ? 10 ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? ?

5 . 2

方法小结:解决空间向量平行与垂直的思路: (1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设 a ? ( x, y, z ) ; (2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知 a // b ,则引入参数 λ ,有 a ? ? b ,再转化为方程 组求解; (3)选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的. 【设计意图】通过本例一是让学生进一步熟悉向量坐标的运算,二是体会坐标运算在解决空间平行垂直问 题中的作用,并提炼利用向量坐标解决空间平行、垂直问题的一般性方法. 变式训练 1: 已知向量 a ? (1, 2, ?2), b ? (?2, ?4, 4) , c ? (2, x, ?4) . (1)判断 a 与 b 的位置关系; (2)若 a // c ,求 | c |; (3)若 b ? c ,求 c 在 a 方向上的投影. 教师板书求解过程: (1) b ? (?2, ?4, 4) ? ?2(1, 2, ?2) ? ?2a ,所以, a // b ;

4

(2) (3)

a // c,

1 2 ?2 2 2 2 ? ? ,得 x ? 4, ? c ? (2, 4, ?4),?| c |? 2 ? 4 ? ( ?4) ? 6; 2 x ?4

b ? c,? b ? c ? 0 ,得 x ? ?5 ,? c ? (2, ?5, ?4) ,所以 c 在 a 方向上的投影为

| c | cos ? a, c ??| c | ?

a ?c 2 ? 10 ? 8 ? ?0. | a |?| c | 3

【设计意图】通过此变式训练可以让学生进一步熟练两个空间向量平行与垂直的向量坐标表示,及向量的 投影问题. 题型三:利用坐标运算解决夹角、距离问题 例 3. 如图在直三棱柱(侧棱与底面垂直) ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB ? 1 , ?BCA ? 90 ,棱 AA 1 ? 2, N 为

AA1 的中点.
(1)求 BN 的长; (2)求 A 1B 与 B 1C 所成角的余弦值; 分析:首先结合直三棱柱的几何特征选择 C 点作为直角顶点建立 空间直角坐标系根据各个棱长写出相应点的坐标,借助与向量的 坐标运算可求解模(长度)及夹角等问题;同样本题也可借助几 何的方法解决. 教师板书例题求解过程: 如图建立空间直角坐标系 C ? xyz ,由 CA ? CB ? 1 , ?BCA ? 90 , 棱 AA 1 ? 2, N 为 AA 1 的中点.则
2 2 2 (1) B(0,1,0), N (1,0,1) ,所以 BN ? (1, ?1,1) , | BN |? 1 ? ( ?1) ? 1 ?

z

C1 A1 N

B1

C
B

x

A

y

3 ,即:线段 BN 的长为 3 .

(2)依题意得 A 1 (1,0, 2), C(0,0,0), B 1 (0,1, 2) ,所以 BA 1 ? (1, ?1,2), CB 1 ? (0,1,2) , 且 BA 1 ? CB 1 ? (1, ?1,2) ? (0,1,2) ? 3 , | BA 1 |? 6,| CB 1 |? 5 , 所以 cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 | BA1 || CB1 |

?

30 . 10

故A 1B 与 B 1C 所成角的余弦值为

30 . 10

注意:异面直线夹角的范围 (0, ] 与向量夹角的范围 [0, π ] 不同,所以再利用向量方法求解异面直线夹角的 最后需要转化,即异面直线的夹角的余弦值只能是零或正数. 方法小结:利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤: (1)建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标.(建系求点) (2)将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.(构造向量并坐标化) (3)经过向量运算确定几何关系,解决几何问题.(向量运算、几何结论) 【设计意图】通过此例题可以让学生明确在特殊几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的
5

π 2

特点,以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简 单.

G 在棱 CD 上,且 变式训练 2:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中 , E , F 分别为 D 1 D, BD 的中点 ,

CG ?

1 CD , H 为 C1G 的中点. 4

z
D1
E

(1)求证: EF ? B1C ; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求 FH 的长; 分析:本题很好找到直角顶点建系,但是在正方体中求出 G , H 的坐标是关键,三问分别是线线垂直、线线角、及空间中直线 的长度均较常规. 教师板书求解过程: 解:(1)证明:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

C1 B1
H

A1
D

G
F A
B

C

y

x

1 1 1 3 7 1 D 为坐标原点,则有 E (0, 0, ), F ( , , 0), C (0,1, 0), C1 (0,1,1), B1 (1,1,1), G (0, , 0), H (0, , ) 2 2 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 则 EF ? ( , , ? ), B1C ? (?1, 0, ?1) ,所以 EF ? B1C ? ( , , ? ) ? (?1,0, ?1) ? 0 2 2 2 2 2 2
所以 EF ? B1C ,即 EF ? B1C . (2)

1 17 , C1G ? (0, ? , ?1) ? | C1G |? 4 4 3 1 1 1 ? 1? 3 , ? 0 ? ? (? ) ? ? ? ? ? (?1) ? ,且 | EF |? 2 2 2 4 ? 2? 8

又由 C1G ? EF ?

所以 cos ? EF , C1G ??

EF ? C1G | EF || C1G |

?

51 17
51 . 17
1 3 1 , , ), 2 8 2

即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为

(3) F ( , , 0), H (0, , ) ,所以 FH ? (? 即 | FH |?

1 1 2 2

7 1 8 2

1 3 1 41 . (? ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 8 2 8
41 . 8

所以 FH 的长为

小结:求空间中点的坐标方法: (1)把所求点分别向 xoy, xoz , yoz 平面做投影,先找投影点的坐标;
6

(2) 可借助于中点坐标公式求解,如题目中的点 F , H ; 也可借助与向量关系如:已知 A, B 两点坐标求 P 点 坐标,可以用 AP ?

3 AB 的坐标关系. 4

【设计意图】通过题型三,一是加强学生熟悉空间向量解决立体几何问题 ,二是进一步明确求解空间中点 的坐标的一般方法.

五、课堂小结
1.知识: (1)空间向量的坐标运算; (2)利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. (3)利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤: ①建立适当的空间直角坐标系,并求出相关点的坐标.(建系求点); ②将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.(构造向量并坐标化); ③经过向量运算确定几何关系,解决几何问题.(向量运算、几何结论). 2. 思想方法:(1)类比思想;(2)数形结合思想 【设计意图】通过课堂小结,深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认 识能力.同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.

六、布置作业
必做题: 1.根据条件求值:(1)已知 A(4,1,3), B(2, ?5,1) , C 为线段 AB 上一点,且

AC 1 ? ,求点 C 的坐标; AB 3

(2)已知向量 a ? (1,1, 0) 与 b ? (?1, 0, 2) 且 k a ? b 与 2 a ? b 互相垂直,求 k 的值; (3)已知向量 a ? (1 ? t , 2t ? 1, 0) 与 b ? (2, t , t ) ,则求 | b ? a | 的最小值. 2.已知空间三点 A(0, 2,3), B(?2,1, 6), C (1, ?1,5) . (1)求以 AB, AC 为边的平行四边形的面积; (2)若向量 a 分别与 AB, AC 垂直,且 | a |? 3 ,求 a 的坐标. 3.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱都相等,

A1

B1

P 为 BA1 上的点, A1 P ? λ A1 B ,且 PC ? AB .求:
(1)求 λ 的值; (2)求异面直线 C1 A 与 PC 所成角的余弦值;

p

C1

A
C

B

必做题答案: 1. (1) C (

10 7 7 , ?1, ) (2) k ? (3) 2 3 3 5

2. (1) 7 3 (2) a ? (1,1,1) 或 a ? (?1, ?1, ?1)

7

3. (1) λ ? 选做题:

1 2 (2) 2 2

1. 已知三个力 f1 ? (1, 2,3) , f2 ? (?1,3, ?1) , f3 ? (3, ?4,5) ,若 f1 , f 2 , f3 , 共同作用于一物体上,使物 体从点 M1 (1, ?2,1) 移动到点 M 2 (3,1, 2) ,求 f 合力所做的功 W . 2. 已知向量 a ? (5,3,1) 与 b ? ( ?2, t , ? ) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 3.正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 , E 是 SA 的中点, O 为底面 ABCD 的中心. (1)求 CE 的长; (2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值; 选做题答案:1. 16 2. ( ??, ? ) ? (? ,

2 5

6 5

6 52 1 14 ) . 3. (1) (2) . 5 15 2 2

【设计意图】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用空间向量的坐标解决一些平行、垂直、夹 角、距离(模)等问题;二是让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.

七、教后反思
1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者,引导学生借助于平面向量运算的坐标表示去 引导探究空间向量运算的坐标表示,在此基础上进一步探讨空间向量的平行、垂直、夹角、距离(向量的模) 等问题,以及空间直角坐标系的建立和空间点坐标的求法等问题.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强, 作业的巩固大部分同学基本上掌握空间向量运算的坐标表示等相关问题. 2. 本节课在设计和教学过程中,留下了一些遗憾:一是对于求解空间终点的坐标学生仍是个难点;二是 求解异面直线的夹角与向量的夹角的转化上有的同学一是不理解二是容易忘在下一步的教学中应多进行 加强.

八、板书设计
3.1.5 空间向量运算的坐标表示 一、引入新课 二、探究新知 (1) (2) (3) 三、理解新知: 1. 2. 3. 四、运用新知 例 1: 例 2: 变式训练 1: 例 3: 变式训练 2: 五、课堂小结 1.知识: 2.思想: 六、布置作业 必做题: 1. 2. 3. 选做题: 1. 2. 3.

8


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