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常州2015-2016高一数学第二学期期末试卷(含答案)


常州市教育学会学生学业水平监测

高一数学试题
应的位置上)
1.不等式错误!未找到引用源。的解集为 ▲ . ▲ .

2016.6

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相

2.在 ?ABC 中, a ? 2 , A ? 30?

, C ? 120? ,则边 c 的长度为 3.若直线 l1: x ? my ?

6 ? 0 与 l2: ? m ? 6? x ? 2 y ? 2m ? 0 垂直,则 m 的值为 5
4 的最小值是 x ?1
▲ . ▲





4.已知 x ? 1 ,则函数 y ? x ?

5.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3a7 =4a42 , a2 ? 2 ,则 a1 ?



?x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知点 P(x,y)满足不等式组 ? x ? 0 ,则 x ? 2 y 的取值范围是 ?x ? y ? 0 ?
7.已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,给出下列四个命题: ① 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? ;





② 若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? ; .

③ 若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? ;④ 若 ? ? ? , ? // ? ,则 ? ? ? . 其中正确命题的序号是 ▲

8.两条直线 ax ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围 是 ▲ . ▲ .

9.在锐角 △ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是

10.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , AB ? 2 ,若该四棱锥 的所有顶点都在体积为

125? 的同一球面上,则 PA 的长度为 6



. ▲ .

11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 10 , Sn ? 187 ,Sn ? 4 ? 61 ,则 n ?

12.已知点 A(1,1) ,B(1,3) ,圆 C :( x+a)2 ? ( y ? a ? 2)2 ? 16 上存在点 P ,使 PB 2 ? PA2 ? 12 , 则实数 a 的取值范围为 ▲ .

高一数学

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共(9 页)

13.已知正实数 a , b 满足

1 2 ? ? 1 ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值是 a b

.

14.已知数列 {an } 满足 an +2 =an +1 ? an , n ? N * ,若此数列的前 100 项的和是 8,前 200 项的和 是 10,则 a2016 的值为 .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)
15. (本题满分 14 分) 已知一条直线 l 经过点 P ? 3,2 ? , ⑴ 若直线 l 的倾斜角是直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的倾斜角的 2 倍,求直线 l 方程; ⑵ 若直线 l 与 x、 y 轴的正半轴交于 A、 B 两点, 且△AOB 的面积最小 (O 为坐标原点) , 求直线 l 方程.

16. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. ⑴ 求证:AE⊥BE; ⑵ 设点 M 在线段 AB 上,且满足 2AM ? MB ,试在线段 CE 上确定一点 N, 使得 MN∥平面 DAE.
D F A M B
C

E

高一数学

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17. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? x ,当 x ?[n ? 1, n](n ? N *) 时 f ( x) 的所有整数值的个数为 g(n) . ⑴ 求 g(n)的表达式; 2n 3 ? n 2 ⑵ 设 an ? (n ? N *) ,若 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? ? (?1)n?1 an ,求 Sn . g ( n)

18. (本题满分 16 分) 如图,摄影爱好者在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一高度为 2.7 米的立柱 BO,且 AB 的距离为 3 米,摄影爱好者的眼睛 S 距地面的距离 SA 为 1.7 米,SA 与 BO 均与地 面垂直.立柱的顶端有一长度为 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内 旋转. ⑴ 设 SM =a , SN =b ,求 a 2 ? b 2 的值; ⑵ 若在 S 处有一视角范围为

? 的镜头, 在彩杆转动的任意时刻, 镜头是否都可以将彩 3

杆全部摄入画面?说明理由.

M
O N

S

B

A

高一数学

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共(9 页)

19. (本题满分 16 分) 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 是直线 l 上一动点,
2

过点 P 作圆的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . ⑴ 当∠ APB =60°时,求点 P 的坐标; ⑵ 求证:经过 B、P、M 三点的圆 N 必过异于 M 点的定点,并求出定点的坐标; ⑶ 求线段 AB 长度的最小值.

20. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , nan?1 ? ? n ? 2? Sn 对任意 n ? N * 恒成立. ⑴ 求证:数列 {

Sn } 为等比数列; n

⑵ 求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ; ⑶ 若数列 {bn } 满足: an ? bn ? 2n?2 ,且关于 n 的不等式: 1 7 bn ? bn?1 ? ? ? b2n ? logm ? m ? 1? ? 对于一切大于 1 的自然数 n 恒成立,求实数 m 6 10 的取值范围.

高一数学

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共(9 页)

武进区教育学会 2015~2016 学年度第二学期期末

高一数学试题评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.

? ??,

?1? ? ? 2, ? ??
7.①④ 12. [ ?7,1]

2. 2 3 8. ? ?1,2? 13. 8+4 3

3.2 9.

4. 5

5.1

6. ?0,2? 11. 11

?

7, 5

?

10.

17

14. ?2

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分) 15. (本小题满分 14 分)
解:⑴设所求直线倾斜角为 θ,已知直线的倾斜角为 α,则 θ=2α,且 tanα=

2tan ? 4 ? ,??????4 分 2 1 ? tan ? 3 从而方程为 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 .??????7 分 y x ⑵设直线方程为 + =1,a>0,b>0, a b 6 2 3 代入 P(3,2),得 + =1≥2 ,得 ab≥24,??????10 分 ab a b ? 3 2 ? ? ?a ? 6 ? a b 当且仅当 ? 即? 时取“=”,??????12 分 b ? 4 3 2 ? ? ? ?1 ? ?a b 1 x y 从而 S△AOB= ab≥12,?l : ? ? 1 即 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 , 2 6 4 ∴方程为 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ??????14 分
tanθ=tan2α=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

1 , 2

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

16. (本题满分 14 分)

解: ⑴因为 AD ? 平面 ABE ,AD ? BC , 所以 BC ? 平面 ABE , 又 AE ? 平面 ABE ,则 AE ? BC . ??????2 分 又因为 BF ? 平面 ACE , AE ? 平面 ABE ,所以 AE ? BF ,??????4 分

D F M N E G

C

A

B

高一数学

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共(9 页)

又? BF ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCE . 又因为 BE ? 平面 BCE ,所以 AE ? BE .
2 3

??????6 分 ??????7 分

C E 中, ⑵在 ?ABE 中, 过点 M 作 MG ? AE 交 BE 于点 G , 在 ?B 过点 G 作 GN ? BC 交 EC

于点 N ,连结 MN ,则由比例关系易得 CN ? CE .??????9 分
? MG / / AE , MG ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE ,

所以 MG / / 平面 ADE ,??????11 分 同理 GN / / 平面 ADE , 又 MG ? GN ? G ,所以平面 MGN / / 平面 ADE .??????13 分 又因为 MN ? 平面 MNG , 所以 MN / / 平面 ADE , 所以 N 点为线段 CE 上靠近 E 点 的一个三等分点. ??????14 分

D F M N E

C

D F M H E N

C

A K

B

A

B

17. (本题满分 14 分) 解:⑴当 x ?[n ? 1, n](n ? N *) 时, 函数 f ( x) ? x ? x 单调递增,
2
2 2

??????2 分

∴ f ( x) 的值域为 [n ? n, n ? n](n ? N *) ,??????4 分 ∴ g (n) ? 2n ? 1(n ? N *) . ??????6 分

2n 3 ? n 2 ? n2 . g ( n) ① n 为偶数时,
⑵ an ?

??????8 分

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ??? an?1 ? an ? (12 ? 2 2 ) ? (32 ? 4 2 ) ? ??? [(n ?1) 2 ? n 2 ]
= ? ?1+2? ? ? 3+4??? ? (n ? 1 ? n)= ?
②当 n 为奇数时,

n(n ? 1) ;??????10 分 2 n(n ? 1) ,?????? 12 2

Sn ? a1 +(a3 ? a2 ) ? ?? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? ? 2+3? +?? ? (n ? 1 ? n) ?

高一数学 第6页 共(9 页)

? n(n ? 1) (n为奇数) ? n(n ? 1) ? 2 ? (?1) n ?1 ∴ Sn ? ? . 2 ?? n(n ? 1) (n为偶数) ? 2 ?
18. (本题满分 16 分)
解:(1) 作 SC 垂直 OB 于 C,则四边形 SABC 为矩形,

??????14 分

? BC ? 1.7 , SC ? AB ? 3 , ? OC ? OB ? BC ? 1
??????2 分 ?SO ? OC ? SC ? 2 , 2 2 2 在 ?SOM 中, SM ? OM ? OS ? 2OM ? OS ? cos ?SOM , 2 即 a ? 5 ? 4cos ?SOM , 2 2 2 在 ?SON 中, SN ? ON ? OS ? 2OM ? OS ? cos ?SON ,
2 2

M O



N C S

即 2 b ? 5 ? 4cos ?SON ,

B

A

? ?SOM ? ?SON ? ? ,? cos ?SOM ? cos ?SON ? 0 , ? a 2 ? b2 ? 10 . ??????8 分 2 2 a ?b ?4 6 ? (2) 在 ?SOM 中, cos ?MSN = , ??????10 分 2ab 2ab

??????6 分

?cos ?MSN ?

6 3 1 ? ? , 2 a ?b 5 2
2

??????13 分

又? ?MSN ? ? 0, ? ? ,??MSN ?

?
3



??????15 分 ??????16 分

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.

19. (本题满分 16 分) 解:⑴由题可知,圆 M 的半径 r=2,设 P(2b,b) , 因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠MAP=90°, ? ?APB ? 60? ,??APM ? 30? ,? MP ? 2 MA ? 4 , ??????2 分

8 ? 4 =2r,解得 b ? 0 或 , ??????4 分 5 ? 16 8 ? 故点 P 的坐标为 ? 0, 0 ? 或 ? , ? ; ??????5 分 ? 5 5? ⑵因为∠ MAP = 90 °,所以经过 B 、 P 、 M 三点的圆 N 以 MP 为直径,其方程为:
又因 MP=

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4? ? , x ? b ? y ? ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 2
2 2 即 (2 x ? y ? 4)b ? x ? y ? 4 y ? 0 ,

??????7 分

?

?

由?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0



??????9 分

高一数学

第7页

共(9 页)

8 ? x? ? ?x ? 0 ? ?8 4? 5 解得 ? (舍)或 ? ,所以圆过定点 ? , ? ;??????10 分 ?5 5? ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4? ? ⑶因圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? 即 ? ? 2 ? 4 ? x2 ? y 2 ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0 2 2 2
2 圆 M : x ? ? y ? 4 ? ? 4 即 x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 2

??① ??② ??????12 分 ??????13 分

②-①得圆 M 方程与圆 N 相交弦所在直线 m 方程为 2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0 , 点 M 到直线 m 的距离 d ?

4 5b2 ? 8b ? 16
2



相交弦长即 AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 , ?????15 分 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?

当b ?

4 时,AB 有最小值 11 .??????16 分 5

20. (本题满分 16 分) 解:⑴证明 将 an+1=Sn+1-Sn 代入已知 nan+1=(n+2)Sn;
S n?1 S =2× n (n∈N*). n n ?1 S1 又由已知 =1, 1

整理得

??????2 分

所以数列 {

Sn } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. n
Sn =2n-1,∴Sn=n·2n-1, n

??????4 分

⑵解 由⑴的结论可得

当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n·2n-1-(n-1) ·2n-2=2n-2(n+1). 由已知,a1=1 符合上式, ∴an=(n+1)2n-2(n∈N*). (3)?? n ? 1? 2n?2 ? bn ? 2n?2 , ,?bn ?

??????6 分 ??????8 分

1 , n ?1 1 1 1 设 Tn ? bn ? bn?1 ? ? ? b2n ? , ??????10 分 ? ??? n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 则 Tn?1 ? , ? ??? ? ? n?2 n?3 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 3 1 1 1 1 1 ?Tn?1 ? Tn ? ? ? ? ? ?0, 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2n ? 3 2n ? 2 ?Tn?1 ? Tn , ??????12 分
高一数学 第8页 共(9 页)

? n ? 1 ,??Tn ?max ? T2 ?

1 1 1 47 ? ? ? , 3 4 5 60
??????14 分

47 1 7 1 ? logm ? m ? 1? ? ,即 logm ? m ? 1? ? , 60 6 10 2 m ? 1 ? m ?1 ? 3? 5 ? 即? 2 ,解得 m ? , ?? 2 ? ?m ? 1 ? m ?m ? 3m ? 1 ? 0 ?3 ? 5 ? 故实数 m 的取值范围为 ? . , ?? ? ? ? 2 ? ?

??????16 分

高一数学

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