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2010年整理17坐标系与参数方程


年整理—— ——选考之坐标系与参 2010 年整理——选考之坐标系与参 数方程
选择题: 选择题:
1、 10 北京)极坐标方程 ( ρ ? 1)(θ ? π ) = 0( ρ ≥ 0) 表示的图形是 ( 北京) (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 2、 10 湖南)极坐标方程 ρ = cos θ 和参数方程 ? ( 湖南) 是 A、圆、直线 C、圆、圆 (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

? x = ?1 ? t ( t 为参数)所表示的图形分别 ? y = 2 + 3t

B、直线、圆 D、直线、直线

3、 10 上海)直线 l 的参数方程是 ? ( 上海) ( ) (A)(1,2) (B)(2,1)

? x=1+2t (t ∈ R) ,则 l 的方向向量是 d ? y=2-t
(D)(1,-2)

可以是 【答】

(C)(-2,1)

填空题: 填空题:
1、 10 广东) 坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ) ( 广东) 坐标系与参数方程选做题) ( ( 0 ≤ θ<2π )中,曲线 ρ = 2 sin θ 与 ρ cos θ = ?1 的交点 的极坐标为______________. 2、 10 陕西)(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程 ? ( 陕西) 坐标系与参数方程选做题)

? x = cos α ( α 为参数), ? y = 1 + sin α

以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ = 1 ,则直线

l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ____________ .

解答题: 解答题:
1、 10 广东) A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点, ( 广东) 设 现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 ρ ( A, B ) 为

ρ ( A, B) =| x2 ? x1 | + | y2 ? y1 |
对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , (1)若点 C ( x, y ) 是平面 xOy 上的点,试证明 ρ ( A, C ) + ρ (C , B ) ≥ (2)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x, y ) ,同时满足 ① ρ ( A, C ) + ρ (C , B ) = ρ ( A, B ) ②

ρ ( A, B);

ρ ( A, C ) = ρ (C , B)

若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明。 2、 10 福建)选修 4-4:坐标系与参数方程 ( 福建)

? 2 t, ?x = 3 ? ? 2 (t 为参数) 。在极坐标系(与 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y = 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ = 2 5 sin θ 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 3、 10 江苏)坐标系与参数方程 、 ( 江苏) 在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的值。 4、 10 江苏)选修 4-4:坐标系与参数方程 、 ( 江苏) 已知 P 为半圆 C: ( θ 为参数, 0 ≤ θ ≤ π )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , 的长度均为

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

π
3



(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 5、 10 宁夏、海南)选修 4-4:坐标系与参数方程 、 ( 宁夏、海南)

已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 α =

? x = 1 + t cos α ? x = cos θ (t 为参数) 2 ? ,C ( θ 为参数) , ? y = t sin α ? y = sin θ

π
3

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

分析: 分析: 选择题: 选择题:
1、C. 解析:原方程等价于 ρ = 1 或 θ = π ,前者是半径为 1 的圆,后者是一条射线。
2、

3、C

解析:直线 l 的一般方程是 x + 2 y ? 5 = 0 , k = ?

1 ,所以 C 正确 2

填空题: 填空题:
1、 ( 2,

? x = ?1, 3π ) . 解法 1】两条曲线的普通方程分别为 x 2 + y 2 = 2 y, x = ?1 .解得 ? 【解法 4 ? y = 1.

由?

? x = ρ cos θ , 3π 得点 (?1,1) 的极坐标为 ( 2, ). 4 ? y = ρ sin θ ? ρ = 2 sin θ 1 得 sin 2θ = ? , Q 0 ≤ θ <2π ∴ 0 ≤ 2θ<4π , 2 ? ρ cos θ = ?1

【解法 2】由 ? 解法

∴ 2θ =

3π 3π 3π 7π 3π 或 2θ = + 2π , θ = ∴ 或 (舍) 从而 ρ = 2 , , 交点坐标为 ( 2, )。 2 2 4 4 4

2、 【答案】 (? 1,1), (1,1)

【解析】 由题设知, 在直角坐标系下, 直线 l 的方程为 y = 1 , C 的方程为 x + ( y ? 1) = 1 . 圆
2 2

? x 2 + ( y ? 1)2 = 1 ? x = ?1 ? x = 1 又解方程组 ? ,得 ? 或? . y =1 ? y = 1 ?y = 1 ?
故所求交点的直角坐标为 (? 1,1), (1,1) .

解答题: 解答题:
1、 (1)证明:由绝对值不等式知,

ρ ( A, C ) + ρ (C , B) =| x ? x1 | + | x2 ? x | + | y ? y1 | + | y2 ? y
≥| ( x ? x1 ) + ( x2 ? x) | + | ( y ? y1 ) + ( y2 ? y ) | = | x2 ? x1 | + | y2 ? y1 | =ρ ( A, B)
当且仅当 ( x ? x1 ) ? ( x2 ? x) ≥ 0 且 ( y ? y1 ) ? ( y2 ? y ) ≥ 0 时等号成立。 (2)解:由 ρ ( A, C ) + ρ (C , B ) = ρ ( A, B ) 得

( x ? x1 ) ? ( x2 ? x) ≥ 0 且 ( y ? y1 ) ? ( y2 ? y ) ≥ 0
由 ρ ( A, C ) = ρ (C , B ) 得

(Ⅰ) (Ⅱ)

| x ? x1 | + | y ? y1 |=| x2 ? x | + | y2 ? y |

因为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是不同的两点,则:



若 x1 = x2 且 y1 ≠ y2 ,不妨设 y1 < y2 , 由(Ⅰ)得 由(Ⅱ)得

x = x1 = x2 且 y1 ≤ y ≤ y2 ,
y= y1 + y2 , 2

x1 + x2 y1 + y2 , ) 满足条件; 2 2 x + x y + y2 2° 若 x1 ≠ x2 且 y1 = y2 ,同理可得:只有 AB 的中点 C ( 1 2 , 1 ) 满足条件; 2 2
此时,点 C 是线段 AB 的中点,即只有点 C (



若 x1 ≠ x2 且 y1 ≠ y2 ,不妨设 x1 < x2 且 y1 < y2 , 由(Ⅰ)得 x1 ≤ x ≤ x2 且 y1 ≤ y ≤ y2 , 由(Ⅱ)得 x + y =

x1 + x2 y1 + y2 + , 2 2 此 时 , 所 有 符 合 条 件 的 点 C 的 轨 迹 是 一 条 线 段 , 即 : 过 AB 的 中 点

(

x1 + x2 y1 + y2 x +x y + y2 , ) ,斜率为 ?1 的直线 x + y = 1 2 + 1 夹在矩形 AA1 BB1 之间 2 2 2 2

的部分,其中 A( x1 , y1 ) , A1 ( x2 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , B1 ( x1 , y2 ) 。 2、 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等 基础知识,考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 ρ = 2 5 sin θ 得 x 2 + y 2 ? 2 5 y = 0, 即 x 2 + ( y ? 5) 2 = 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) + ( t) = 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t + 4 = 0, 由于 ? = (3 2) 2 ? 4 × 4 = 2 > 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

?t + t2 = 3 2 ? ?t1t2 = 4 ?

, 又直线l过点P (3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得:

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 3、[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分 10 分。 解: ρ 2 = 2ρ cosθ ,圆ρ=2cosθ的普通方程为: x 2 + y 2 = 2x, ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 , 直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为: 3 x + 4 y + a = 0 , 又圆与直线相切,所以 4、解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为(

| 3 ?1 + 4 ? 0 + a | 32 + 42

= 1, 解得: a = 2 ,或 a = ?8 。

π
3

,且 M 点的极径等于

π
3



π
3



π
3

).

……5 分

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

π
6

,

3π ) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为 6

π ? ? x = 1 + ( 6 ? 1)t ? (t 为参数) ? ? y = 3π t ? 6 ?
5、解:

……10 分

(Ⅰ)当

α=

π
3 时, C1 的普通方程为 y = 3( x ? 1) , C2 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 。联立

方程组 ?

? ? y = 3( x ? 1)
2 2 ?x + y = 1 ?

,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? , ?

?1 ?2 ?

3? ?。 ? 2 ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin α ? y cos α ? sin α = 0 。 A 点坐标为 sin 2 α ? cos α sin α , 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

(

)

1 ? x = sin 2 α ? ? 2 (α为参数 ) ? 1 ? y = ? sin α cos α ? ? 2
1? 1 ? 2 ?x? ? + y = 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?
故 P 点轨迹是圆心为 ? ,? ,半径为 0
2

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4


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