tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

24.2012年全国高中数学联赛模拟卷(十二)答案


2012 年全国高中数学联赛模拟卷 十二 第一试 年全国高中数学联赛模拟卷(十二 十二)第一试
(考试时间:80 分钟 考试时间: 满分: 考试时间 满分:120 分) 姓名: 考试号: 得分: 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 考试号 得分
小题, 把答案填在横线上. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 填空题: 把答案填在横线上 1.方程 log π x + sin x = 2 在区间 (0,
2

π

2

] 上的实根个数为_________________.

解析:设 f ( x) = log π x + sin x ? 2 ,则 f ′( x ) =
2

1 x ln

π
2

+ cos x ,∵ 0 < x ≤

π


2

∴ 0 ≤ cos x < 1 ,又 0 < ln

π

< 1 ,∴ f ′( x) > 0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增, 2 2

π

故方程 log π x + sin x = 2 在区间 (0,
2

π

2

] 上有且只有一个实根.

2. 设 数 列 ?8 × ( ? ) n?1 ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 满 足 不 等 式 | S n ? 6 |< _________________. 解析:易知数列 ?8 × ( ? )

? ?

1 3

? ?

1 的最小整数 n 是 125

? ?

1 3

n ?1

1 ? ? 是首项是 8 ,公比是 ? 的等比数列, 3 ?

1 8[1 ? (? ) n ] 3 = 6 ? 6(? 1 ) n ,于是 | S ? 6 |< 1 ? 2 < 1 ? 3n ?1 > 250 , ∴ Sn = n 1 3 125 3n ?1 125 1 ? (? ) 3 5 6 ∵ 3 = 243 < 250 , 3 = 729 > 250 ,故最小整数 n 是 7.
3.如果: (1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}; (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a; (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数。 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 解析:46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 2 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数字 4 时,能组成 C 3 C 2 C 2 + C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 4
1 1 1 1 1

个不同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一 共有_________________个交点. 解析:圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的个 数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 =
4

10 × 9 × 8 × 7 = 210 个交点. 1× 2 × 3 × 4

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬 行后恰好回到起始点的概率为_________________. 解析:

2n + 2(?1)n , 设第 k 次到达点 A、点 B、点 C 分别为事件 Ak、Bk、Ck, k=1,2,3,...,n, 从点 B 3 ? 2n

到点 A 为事件 D, 从点 C 到点 A 为事件 E, 则 An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则(顺便说明一下:A 是 出发点)

1

6.设 O 是平面上一个定点, A , B , C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

uuur uuu r uuu r r AC uuu AB r OP ? λ uuur = OA + λ uuu ,其中 λ ∈ [0, +∞) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AC | | AB | uuur uuu r uuu r uuur uuu r r uuu uuu r r AC uuu AB AB AC r r 解析:∵ OP ? λ uuur = OA + λ uuu ,∴ OP ? OA = +λ ( uuu + uuur ) , | AC | | AB | | AB | | AC | uuu r uuur uuu r uuur uuu r AB AC AB AC r r 即 AP = λ ( uuu + uuur ) ,又 uuu , uuur 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, | AB | | AC | | AB | | AC | 知点 P 的轨迹为 ∠BAC 的平分线. 7. 对 给 定 的 整 数 m , 符 号 ? ( m) 表 示 {1, 2,3} 中 使 m + ? ( m) 能 被 3 整 除 的 唯 一 值 , 那 么

? (22010 ? 1) + ? (22010 ? 2) + ? (22010 ? 3) = _________________.
解析:由二项式定理知, 22010 = 41005 = (3 + 1)1005 = 3 p + 1 ,即 22010 被 3 除余 1, ∴ ? (22010 ? 1) = 3 , ? (22010 ? 2) = 1 ? (22010 ? 3) = 2 , 故 ? (22010 ? 1) + ? (2 2010 ? 2) + ? (2 2010 ? 3) = 6 . 8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积 依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va + Vb 与 (2Vc ) 的大小关系是_________________.
2 2 2

解析:∵ Va + Vb = (
2 2

b 2 a ) 2 + ( a 2b ) 2 = a 2b 2 ( a 2 + b 2 ) = a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 2 2 4 4 π 4π ab 4 2 4π a b (2Vc ) 2 = (2 ? h 2 (a′ + b′)) 2 = ( ) c = ? 2 , 3 9 c 9 c 2 2 4 2 2 2 2 V + Vb c (a + b ) (2ab) ∴作商,有 a = 2 2 = ≥ = 1 ,故 Va 2 + Vb 2 ≥ (2Vc ) 2 . 2 2 2 2 2 (2Vc ) 4a b 4a b 4a b

π

π

π2

π2

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 1.(本小题满分 16 分)是否存在实数 a ,使直线 y = ax + 1 和双曲线 3 x 2 ? y 2 = 1 相交于两点 A 、

B ,且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点?
解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,由 ?

? y = ax + 1

2 2 ?3x ? y = 1

消去 y ,得

(3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 = 0 ,
2

由韦达定理,得 x1 + x2 =

?2 , ② 3 ? a2 uuu uuu r r ∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ⊥ OB ,∴ x1 x2 + y1 y2 = 0 , x1 x2 =
即 x1 x2 + ( ax1 + 1)( ax2 + 1) = 0 ,整理,得 ( a + 1) x1 x2 + a ( x1 + x2 ) + 1 = 0
2

2a , ① 3 ? a2



1 ? a2 = 0 ,∴ a = ±1 , 3 ? a2 经检验, a = ±1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 2.(本小题满分 20 分)求证:不存在这样的函数 f : Z → {1, 2,3} ,满足对任意的整数 x , y ,若
将①②代入③,并化简得 证明: 假设存在这样的函数 f , 则对任意的整数 n , f ( n) = a ,f ( n + 5) = b , 设 其中 a, b ∈ {1, 2,3} , 由条件知 a ≠ b . 由于 | ( n + 5) ? ( n + 2) |= 3 , | n ? ( n + 2) |= 2 ,∴ f (n + 2) ≠ a 且 f ( n + 2) ≠ b , 即 f ( n + 2) 是 {1, 2,3} 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f ( n + 2) = c 又由于 | ( n + 5) ? ( n + 3) |= 2 , | n ? ( n + 3) |= 3 ,∴ f ( n + 3) = f ( n + 2) . 以 n + 1 代替 n ,得 f ( n + 4) = f ( n + 3) = f ( n + 2) , 但这与 | ( n + 4) ? ( n + 2) |= 2 矛盾! 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.(本小题满分 20 分)设函数 f(x)的定义域为 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x, y∈R,有 f(x+y)=f(x)f(y) (Ⅰ)求 f(0) ,判断并证明函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)数列{an}满足 a1=f(0) ,且 ①求{an}通项公式。 ②当 a>1 时, 不等式

| x ? y |∈ {2,3,5} ,则 f ( x) ≠ f ( y ) .

1 a n +1

+

1 an+2

+ ... +

1 12 > (log a +1 x ? log a x + 1) 对不小于 2 的正整数 a 2 n 35

恒成立,求 x 的取值范围。 解: (Ⅰ) x, y ∈ R, f ( x + y ) = f ( x ) ? f ( y ), x < 0 时,f(x)>1 令 x=-1,y=0 则 f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1 ∴f(0)=1 若 x>0,则 f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故 f ( x ) =

1 ∈ (0,1) f (? x)

故 x∈R f(x)>0 任取 x1<x2 f ( x 2 ) = f ( x1 + x 2 ? x1 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ? x1 )

Q x 2 ? x1 > 0 ∴ 0 < f ( x 2 ? x1 ) < 1∴ f ( x 2 ) < f ( x1 )
故 f(x)在 R 上减函数

1 = f (2 + a n ) f ( ?2 ? a n ) 由 f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列 ∴ a n = 2n ? 1
(Ⅱ)① a1 = f (0) = 1, f ( a n +1 ) =

3

② bn =

1 a n +1

+

1

a2n+2 1 = > 0, {bn } 是递增数列 (4n + 1)(4n + 3)(2n + 1) 1 1 1 1 12 当 n≥2 时, (bn ) min = b2 = + = + = a 3 a 4 5 7 35 12 12 ∴ > (log a +1 x ? log a x + 1) 35 35 即 log a +1 x ? log a x + 1 < 1 ? log a +1 x < log a x ,而 a>1,∴x>1
故 x 的取值范围(1,+∞) 。

bn +1 ? bn =

a 2 n +1

a n+ 2 1 +

+ ... + 1

1 1 1 1 , 则bn +1 = + + ... + a2n a n+ 2 a n+3 a2n+2 1 1 1 1 ? = + ? a n +1 4n + 1 4n + 3 2n + 1

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(十二 加试 年全国高中数学联赛模拟 十二 模拟卷 十二)加
(考试时间:150 分钟 考试时间: 考试时间 满分: 满分:180 分)
1.(本题 40 分)如图,已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径的圆分别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 (2006 浙江集训) E 证明:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD, ∠EAC=∠ABC+∠ACB,则∠EAC=∠DBC+∠DCB, A D 即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC, 则:∠OBC=∠DCB;故△DBC 为等腰三角形, Q 1 因 OP⊥BC,则 CP= BC。在圆内接四边形 ABCD 中,

2

由托勒密定理得:AC·BD=BC·AD+AB·CD,

BC ? AD 2 BP ? AD = , BD BD AQ AD 又 DQ⊥AC,则△ADQ∽△BDP,所以 = , BP BD BP ? AD AC ? AB 即:AQ= 。故 AC-AB=2AQ,即 AQ= 。 BD 2 1 从而:CQ+CP=(AC-AQ)+ BC 2 AC ? AB 1 1 =(AC) + BC= (AB+BC+CA)。 2 2 2
因 BD=CD,则:AC-AB=

B

P

C

A Q

D

B

P

C

2. 本题 40 分) ( 将正奇数集合{1, 5, 3, …}从小到大按第 n 组有(2n-1)奇数进行分组: {1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … (第 1 组) (第 2 组) (第 3 组)问 2011 位于第几组中? 解:因为 1+3+5+…+(2n-1)=n2 所以前 n 组共含有奇数 n2 个,第 n 组最后一个数即第 n2 个奇数为 2n2-1,第 n 组第一个数即 第 n-1 组最后一个数后面的奇数为[2(n-1)2-1]+2=2(n-1)2+1.由题意,有不等式 2(n-1)2+1≤2011≤2n2-1. 解得(n-1)2≤1005 且 n2≥1006,从而 n≤32 且 n≥32, 故 n=32,即 2011 位于第 32 组中. 3.(本题 50 分)设有数列 {a n } : a1 = 1, a 2 = 2 ,且当 n ≥ 1 时,
4

?5a n +1 ? 3a n a n +1 = ? ?a n +1 ? a n
求证:对一切 n ∈ N , a n ≠ 0 .

若a n ? a n+1为偶数, 若a n ? a n +1为奇数,

证明: 证明:直接写出 {a n }的前几项,依次为 1,2,7,29,22,23,49,26,-17,……,发现它们都 不是 3 的倍数,进而构造 {a n }关于 3 的模数列 {b n } : 1,2,1,2,1,2, L ,则呈现明显的规律.因 而只要证明: a 2 n ?1 ≡ 1(mod 3), a 2 n ≡ 2(mod 3) .

(1) n = 1 时,结论显然成立; (2)设上面两式对 n 成立,则 (i)若 a 2 n ?1 a 2 n 为偶数,则 a 2 n +1 = 5a 2 n ? 3a 2 n ?1 ≡ (5 × 2 ? 3 × 1)(mod 3) ≡ 1(mod 3) . 若 a 2 n ?1 a 2 n 为奇数,则 a 2 n +1 = a 2 n ? a 2 n ?1 ≡ ( 2 ? 1)(mod 3) ≡ 1(mod 3) . 即 a 2 n +1 ≡ 1(mod 3) 总成立. (ii)同理可证 a 2 n + 2 ≡ 2(mod 3) . 本题若取模 m = 4 ,则 {bn } : 1,2,3,1,2,3, L ,仍然可证明相同的结论. 4.(本题 50 分)一群科学家在一个研究所工作.在某天的 8 小时工作时间内,每个科学家都至少去 过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家,恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为 x( x > 4) 小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于 x ) . 解:设研究所中有 n 个科学家. tij 表示在第 i 个和第 j 个科学家中恰有一个在咖啡厅的时间.令 由此可知,对一切 n ∈ N + ,有 a n ≡ 0(mod 3) ,故 a n ≠ 0 .

S=

1≤i < j ≤ n



ti 则 S ≥ Cn2 x. 另一方面,我们将 8 小时工作时间分成有限段 t1 , t2 , ??? , tm ,使得在每

.

段时间中都没有科学家进出咖啡厅.设在时间段 ti 中有 ki 个科学家在咖啡厅,则有
m m ?n? ?n? ?n? ?n? S = ∑ ti ki (n ? ki ) ≤ ∑ ti ? ? ( n ? ? ? ) = 8 ? ? ( n ? ? ? ) . ?2? ?2? ?2? ?2? i =1 i =1 n(n ? 1) ?n? ?n? 于是有 x. 8? ?( n ? ? ? ) ≥ 2 ?2? ?2? x ? x ? 如果 n = 2l ,则得到 8l 2 ≥ l (2l ? 1) x ,即 n ≤ 2? l≤ 2 x ? 8, ? 2 x ? 8 ?. ? 如果 n = 2l + 1 ,则得到 8l (l + 1) ≥ l (2l + 1) x , 8? x ? 8? x ? ? x ? ? x ? 即l ≤ n ≤ 2? ? + 1 = 2 ? 2 x ? 8 ? ? 1. 总之都有 n ≤ 2 ? 2 x ? 8 ? 2 x ? 8, ? 2x ? 8 ? ? ? ? ?.

下面举例说明上述不等式可以取到等号. 令 k = Cn .将 8 小时工作时间 k 等分, 每段时间对应 n 个科学家中的 l 设 n = 2l = 2 ? ? 2 x ? 8 ?. ?
l

?

x

?

个人,不同的时间段对应的人不完全相同.由对称性,对于任意两个科学家,恰有他们中的一个出 现在咖啡厅中的时间总和全相等,设为 y .则有

8l (2l ? l ) = S =
由此, y =

2l (2l ? 1) y. 2

8l x ≥ x (等价于 l = ). 故满足条件. 2l ? 1 2x ? 8
5


赞助商链接
推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com