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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:2-2-1椭 圆(Word有详解答案)


2.2 2.2.1





椭圆及其标准方程

双基达标

?限时 20 分钟? ( ).

x2 y2 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于 25 16 A.4 C.8 B.5 D.

10

解析 由椭圆的标准方程得 a2=25,a=5.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案 D 2. 已知 F1, F2 是定点, |F1F2|=8, 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹是 A.椭圆 C.圆 解析 ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2,故选 D. 答案 D x2 y2 3. 如果方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a 的取值范围是 a a+6 A.a>3 B.a<-2 C.a>3 或 a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 解析 由于椭圆焦点在 x 轴上,
2 ? ?a >a+6, ? ?(a+2)(a-3)>0, ? ∴ 即? ?a+6>0, ?a>-6. ? ?

(

).

B.直线 D.线段

(

).

?a>3 或-6<a<-2.故选 D. 答案 D 4.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15,则

此椭圆的标准方程为________. 解析 由已知 2a=8,2c=2 15, ∴a=4,c= 15, ∴b2=a2-c2=16-15=1, y2 ∴椭圆标准方程为 +x2=1. 16 答案 y2 +x2=1 16

x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 20 k 解析 由已知 2c=6, ∴c=3,而 c2=9, ∴20-k=9 或 k-20=9, ∴k=11 或 k=29. 答案 11 或 29 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)焦距是 10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 解 (1)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2). 由椭圆的定义知 2a= 32+(2+2)2+ 32+(2-2)2=8, 所以 a=4,所以 b2=a2-c2=16-4=12. y2 x2 又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 (2)由题意知 2c=10,2a=26,所以 c=5,a=13,所以 b2=a2-c2=132-52=144,因为 x2 y2 y2 x2 焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 169 144 169 144

综合提高(限时 25 分钟)
7.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是 A.圆 C.双曲线的一支 B.椭圆 D.抛物线 ( ).

解析 如图,依题意: |PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数). 又∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a. ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆,故选 A. 答案 A x2 y2 8. 设 F1, F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点, 且|PF1|∶|PF2|=2∶1, 则△F1PF2 9 4 的面积等于 A.5 C.3 解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6, 又|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, 1 1 由 22+42=(2 5)2 可知△F1PF2 是直角三角形,故△F1PF2 的面积为 |PF1|·|PF2|= ×2 2 2 ×4=4,故选 B. 答案 B π 9.若 α∈(0, ),方程 x2sin α +y2cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围 2 是________. 解析 方程 x2sin α+y2cos α=1 可化为 x2 y2 + =1. 1 1 sin α cos α B.4 D.1 ( ).

∵椭圆的焦点在 y 轴上, 1 1 ∴ > >0. cos α sin α π 又∵α∈(0, ), 2 ∴sin α>cos α>0, π π ∴ <α< . 4 2 答案 π π ( , ) 4 2

x2 y2 10.椭圆 + =1 的两个焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3 么|PF1|是|PF2|的________倍. 解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F1(-3,0),F2(3,0),设 P 点的坐 x1-3 标为(x1,y1),由线段 PF1 的中点的横坐标为 0,知 =0,∴x1=3.把 x1=3 代入椭圆 2 x2 y2 3 3 方程 + =1,得 y1=± ,即 P 点的坐标为(3,± ), 12 3 2 2 ∴|PF2|=|y1|= 3 . 2

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=4 3, ∴|PF1|=4 3-|PF2|=4 3- 即|PF1|=7|PF2|. 答案 7 11.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A⊥F2A, 求椭圆的标准方程. x2 y2 解 设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 设焦点 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A, 3 7 3 = , 2 2

→ →



∴F1A·F2A=0, 而F1A=(-4+c,3),


F2A=(-4-c,3), ∴(-4+c)· (-4-c)+32=0, ∴c2=25,即 c=5. ∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = (-4+5)2+32+ (-4-5)2+32 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b2=a2-c2=(2 10)2-52=15.

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 40 15 12.(创新拓展)如图,在圆 C:(x+1)2+y2=25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点,AQ 的 垂直平分线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.

解 由题意知点 M 在线段 CQ 上, 从而有|CQ|=|MQ|+|MC|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|, ∴|MA|+|MC|=|CQ|=5. ∵A(1,0),C(-1,0), 5 ∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且 2a=5,故 a= ,c=1,b2=a2 2 25 21 -c2= -1= . 4 4 x2 y2 故点 M 的轨迹方程为 + =1. 25 21 4 4


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