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1-1 集合习题


1-1 集合
1 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y= x,x∈A},则 A∩B=( 2 A.{1,2,3,4} B.{1,2} C.{1,3} D.{2,4}
2

)

2.(文)(2011·北京石景山测试)设 M={x|x<4},N={x|x <4},则( A.M N C.M? ?RN B.N M D.N? ?RM

)

3. (理)(2011·福建龙岩质检)已知集合 M={x| x+1≥0},集合 N={x|x +x-2<0}, 则 M∩N=( ) B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.{x|-1≤x<1}

2

A.{x|x≥-1}

4. (理)(2011·北京宣武模拟)设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集 合?U(A∩B)的元素个数为( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

5.(2010·重庆市南开中学)设集合 A={a,b},则满足 A∪B={a,b,c,d}的所有集合

B 的个数是(
A.1

) B.4 C.8 D.16

6.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则集合 M∩N=________.

7.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是________.

-1-

[答案] a≤1 [解析] 因为 A∪B=R,画数轴可知,实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边,所以 a≤1.

(理)已知集合 A={x|llog1 x≥3},B={x|x≥a},若 A? B,则实数 a 的取值范围是(- 2 ∞,c],其中的 c=______. [答案] 0 1 [解析] A={x|0<x≤ },∵A? B, 8 ∴a≤0,∴c=0. 9.(文)(2011·台州模拟)设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b},若 A∩B={2}, 则 A∪B=________. [答案] {1,2,5} [解析] ∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2, ∴a=1,∴b=2,∴B={1,2}, ∴A∪B={1,2,5}.
[来源:Ks5u.com]

(理)已知集合 A={x|x -x≤0,x∈R},设函数 f(x)=2 +a(x∈A)的值域为 B,若 B? A, 则实数 a 的取值范围是________. 1 [答案] [- ,0] 2 1 x 1 [解析] A={x|0≤x≤1},∵y=( ) 为减函数,0≤x≤1,∴ ≤y≤1, 2 2 1 -x ∴f(x)=2 +a 的值域为 B=[ +a,a+1], 2 1 ? ? +a≥0 ∵B? A,∴?2 ? ?a+1≤1 1 ,∴- ≤a≤0. 2

2

-x

-2-

10.(文)已知全集 U=R,集合 A={x|log2(3-x)≤2},集合 B={x| (1)求 A、B; (2)求(?UA)∩B.
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

5 ≥1}. x+2

[来源:Ks5u.com]

[解析] (1)由已知得 log2(3-x)≤log24,
?3-x≤4, ? ∴? ?3-x>0, ?

解得-1≤x<3,

∴A={x|-1≤x<3}. 由 5

x+2

≥1,得(x+2)(x-3)≤0,且 x+2≠0,

解得-2<x≤3. ∴B={x|-2<x≤3}. (2)由(1)可得?UA={x|x<-1 或 x≥3}. 故(?UA)∩B={x|-2<x<-1 或 x=3}. (理)设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N },B={(x,y)|y=ax -ax+a,x∈N },问是 否存在非零整数 a,使 A∩B≠??若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由. [解析] 假设 A∩B≠?,则方程组
?y=2x-1 ? ? 2 ? ?y=ax -ax+a
* 2 *

有正整数解,消去 y 得,

ax2-(a+2)x+a+1=0(*)
由 Δ ≥0,有(a+2) -4a(a+1)≥0, 2 3 2 3 解得- ≤a≤ . 3 3 因 a 为非零整数,∴a=±1, 当 a=-1 时,代入(*),解得 x=0 或 x=-1, 而 x∈N .故 a≠-1. 当 a=1 时,代入(*),解得 x=1 或 x=2,符合题意. 故存在 a=1,使得 A∩B≠?, 此时 A∩B={(1,1),(2,3)}.
* 2

11.定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中 x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},

B={1,2},则 A*B 中所有元素之和为(
A.9 B.14 C.18

) D.21
-3-

[答案] B [解析] A*B 中所有元素为 2,3,4,5.∴和为 14. 12.(文)(2011·北京理,1)已知集合 P={x|x ≤1},M={a},若 P∪M=P,则 a 的取值 范围是( ) B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
2

A.(-∞,-1] C.[-1,1] [答案] C

[解析] P={x|-1≤x≤1},∵P∪M=P,∴M? P,即 a∈{x|-1≤x≤1},∴-1≤a≤1, 故选 C. (理)已知集合 S={3,a},T={x|x -3x<0,x∈Z},S∩T={1},P=S∪T,那么集合 P 的子集个数是( A.32 C.8 B.16 D. 4
[来源:高&考%资(源#网 wxc]

2

)

[答案] C [解析] 因为 T={x|0<x<3,x∈Z}={1,2},又 S∩T={1},所以 a=1, ∴S={1,3},则 P=S∪T={1,2,3}, ∴集合 P 的子集有 2 =8 个,故选 C. 1 13.在集合 M={0, ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该集合恰满足条件“对 2 1 ? x∈A,有 ∈A”的概率是________.
3

x

[答案]

3 31

1 5 [解析] 集合 M 的非空子集有 2 -1=31 个,而满足条件“对? x∈A,有 ∈A”的集合 A

x

1 1 1 1 中的元素为 1 或 、2,且 、2 要同时出现,故这样的集合有 3 个:{1},{ ,2},{1, ,2}.因 2 2 2 2 3 此,所求的概率为 . 31 14.已知集合 A={x|(x +ax+b)(x-1)=0},集合 B 满足条件:A∩B={1,2},A∩(?UB) ={3},U=R,则 a+b 等于________. [答案] 1 [解析] 依题意得 1∈A,2∈A,3∈A,因此,2 和 3 是方程 x +ax+b=0 的两个根, 所以 2+3=-a,2×3=b, ∴a=-5,b=6. ∴a+b=1.
-42 2

15.已知集合 A={x∈R|ax -3x+2=0,a∈R}. (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. [解析] 集合 A 是方程 ax -3x+2=0 在实数范围内的解组成的集合.
? ?a≠0, 2 (1)A 是空集,即方程 ax -3x+2=0 无解,得? ?Δ = - ?
2

2

2

-8a<0,

9 ∴a> , 8

9 即实数 a 的取值范围是( ,+∞). 8 2 (2)当 a=0 时,方程只有一解,方程的解为 x= ; 3 当 a≠0 时,应有 Δ =0, 9 4 ∴a= ,此时方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素 , 8 3 9 2 4 ∴当 a=0 或 a= 时,A 中只有一个元素,分别是 和 . 8 3 3 (3)A 中至多有一个元素,包括 A 是空集和 A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的 9 9 结果,得 a=0 或 a≥ ,即 a 的取值范围是{a|a=0 或 a≥ }. 8 8 16.已知集合 A={x||x-a|=4},集合 B={1,2,b}, (1)问是否存在实数 a,使得对于任意实数 b 都有 A 是 B 的子集?若存在,求 a;若不存 在,说明理由. (2)若 A 是 B 的子集成立,求出对应的实数对(a,b)? [解析] (1)A={4+a,a-4},要使得对任意实数 b,都有 A? B,只能是 A? {1,2},但 A 中两元素之差(4+a)-(a-4)=8≠2-1,故这样的实数 a 不存在. (2)若 A 是 B 的子集成立, 则必有|b-1|=8 或|b-2|=8, 解得 b=-7,9,-6,10. 当 b=-7 时,a=-3; 当 b=9 时,a=5; 当 b=-6 时,a=-2; 当 b=10 时,a=6. 即对应的实数对(a,b)为(-3,-7),(5,9),(-2,-6),(6,10).

-5-

1.全集 U={1,2,3,4},集合 M={1,2},N={2,4},则下面结论错误的是( A.M∩N={2} B.?UM={3,4} D.M∩?UN={1,2,3}

)

C.M∪N={1,2,4} [答案] D

[解析] ∵?UN={1,3},∴M∩?UN={1},故 D 错,由交、并、补运算的定义知 A、B、C 均正确. 2.(2011·马鞍山期末)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 M={2,3,5},N={4,5},则 ?U(M∪N)等于( A.{1,3,5} C.{1,5} [答案] D [解析] 由已知得 M∪N={2,3,4,5},则?U(M∪N)={1,6}.故选 D. 3.由实数 a,-a,|a|所组成的集合里,所含元素最多为( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 当 a=0 时,a、-a、|a|代表一个数 0, B.1 个 D.3 个 ) ) B.{2,4,6} D.{1,6}

a a ? ? a= ∵|a|=? ? a ?-a
素最多为两个.

,∴当 a>0 或 a<0 时,a、-a、|a|仅代表两个数,故所含元

4.(2011·山东文,1)设集合 M={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = ( ) A.[1,2) C.(2,3] [答案] A [解析] 由(x+3)(x-2)<0 知-3<x<2,所以 M∩N=[1,2),解答此题要特别注意区间端 点能否取到. 5.(2010·烟台二中)已知集合 M={y|y=x },N={y|y =x,x≥0},则 M∩N=( A.{(0,0),(1,1)} C.[0,+∞) B.{0,1}
2 2

B.[1,2] D.[2,3]

)

D.[0,1]
-6-

[答案] C [解析] M={y|y≥0},N=R,则 M∩N=[0,+∞),选 C. [点评] 本题极易出现的错误是: 误以为 M∩N 中的元素是两抛物线 y =x 与 y=x 的交点, 错选 A.避免此类错误的关键是,先看集合 M,N 的代表元素是什么以确定集合 M∩N 中元素的 属性.若代表元素为 (x,y),则应选 A. 6.(2010·黑龙江哈三中)设集合 A={x|y= 3x-x },B={y|y=2 ,x>1},则 A∩B 为 ( ) A.[0,3] B.(2,3] D.[1,3]
2 2 2

x

C.[3,+∞) [答案] B

[解析] 由 3x-x ≥0 得,0≤x≤3, ∴A=[0,3], ∵x>1,∴y=2 >2,∴B=(2,+∞), ∴A∩B=(2,3]. 7.已知集合 M={a、b、c}中的三个元素为某一三角形的三边长,那么此三角形一定不是 ( ) A.直角三角形 C.钝角三角形 [答案] D [解析] 由于 a、b、c 三个元素不相同,故由它组成的三角形一定不是等腰三角形. 8.已知集合 M={(x,y)|y-1=k(x-1),x,y∈R},集合 N={(x,y)|x +y -2y=0,
2 2

2

x

B.锐角三角形 D.等腰三角形

x,y∈R},那么 M∩N 中(
A.有两个元素 B.有一个元素 C.一个元素也没有 D.必含无数个元素 [答案] A

)

[解析] y-1=k(x-1)表示经过定点(1,1),斜率为 k 的直线,不包括通过(1,1)与 x 轴 垂直的直线即 x=1.

x2+y2-2y=0,可化为 x2+(y-1)2=1,表示圆心在(0,1)半径等于 1 的圆,又(1,1)是圆
上的点, ∴直线与圆有两个交点,故选 A. 9.(2010·天津十二区)设集合 A={-1,0,1}, 集合 B={0,1,2,3},定义 A*B={(x,y)|x ∈A∩B,y∈A∪B},则 A*B 中元素的个数为(
-7-

)

A.7 C.2
5

B.10 D.25

[答案] B [解析] 由题知,A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以满足题意的实数对有(0,

-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),共 10 个, 即 A*B 中的元素有 10 个,故选 B. 10.(2011·江苏省苏北四市高三调研)已知集合 A=(-∞,0],B={1,3,a},若 A∩B≠ ?,则实数 a 的取值范围是________. [答案] a≤0 [解析] ∵A=(-∞,0],B={1,3,a},A∩B≠?, ∴a≤0. 11. 已知集合 A={0,2, a },B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4}, 则实数 a 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4 或 a =4,若 a=4,则 a =16,但 16?A∪B, ∴a =4,∴a=±2,又-2?A∪B,∴a=2. 考虑到教师工作繁忙,备课批改作业辅导学生占用大量时间,为节省教师找题选题的时 间,也考虑到不同地区用题难易的差别,本书教师用书中提供了部分备选题,供教师在备课 时,根据自己所教班的实际情况选用.
2 2 2 2

-8-


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