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任意角三角函数的概念教学设计


“任意角三角函数的概念”教学设计
陶维林 (江苏南京师范大学附属中学,210003)

一.内容和内容解析
三角函数是一个重要的基本初等函数, 它是描述周期现象的重要数学模型. 它的基础主 要是几何中的相似形和圆, 研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形, 三角函数的研究 已经初步把几何与代数联系起来.它在物理学、天文学、测量学等学科中都

有重要的应用, 它是解决实际问题的重要工具,它是学习数学中其他学科的基础. 角的概念已经由锐角扩展到 0°~360°内的角,再扩充到任意角,相应地,锐角三角函 数概念也必须有所扩充.任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果. 比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念,共同点是,它们都是“比值” ,不同 点是锐角三角函数是“线段长度的比值” ,而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度 的比值,或者是坐标的比值” .正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的 特点,因此,可以用角的终边与单位圆的交点的坐标(或坐标的比值)来表示任意角的三角 函数,这是概念的核心.这样定义,不仅简化了任意角三角函数的表示,也为后续研究它的 性质带来了方便. 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程, 产生了 “符号问 题” .因此,学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比,借助锐角三角函数的概念建 立起任意角三角函数的概念. 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义.它们是本节,乃至 本章的基本概念,是学习其他与三角函数有关内容的基础,具有根本的重要的作用.解决这 一重点的关键,是学会用直角坐标系中,角的终边上的点的坐标来表示三角函数.因为正切 函数并不独立,最主要的是正弦函数与余弦函数. 任意角三角函数自然具有函数的一切特征,有它的定义域,对应法则以及值域.任意 角三角函数的定义域是实数集(或它的子集) ,这是因为,在建立弧度制以后,角的集合与

从这个意义上说, “角是 实数” ,三角函数是定义在实数集上的函 数.各种不同的三角函数定义了不同的对应法则,因而可能有不同的定义域与值域.
实数集合间建立了一一对应关系, 任意角三角函数概念是核心概念, 它是解决一切三角函数问题的基点. 无论是研究三角 函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值,还是同角三角函数间的关系,以及三角函数 的性质,等等,都具有基本的重要的意义. 在建立任意角三角函数这个定义的过程中,学生可以感受到数与形结合,以及类比、运 动、变化、对应等数学思想方法.

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二.目标和目标解析
本节课的目标是,理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 学生已经学习过锐角三角函数 sinα ,cosα ,tanα ,了解三角函数是直角三角形中边长 的比值,这个比值仅与锐角的大小有关,是随着锐角取值的变化而变化的,其值是惟一确定 的,等函数的要素.这是任意角三角函数概念的“生长点” . 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度 的比值扩展为点的坐标或坐标的比值.因此,对锐角三角函数理解得怎样,对理解任意角三 角函数有决定意义,复习锐角三角函数,加深对锐角三角函数的理解是必要的. 要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标,莫过于让学生参与任意角三角 函数定义的过程.让学生感受到因角的概念的扩展,锐角三角函数概念扩展的必要性,任意 角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸.反过来,既然锐角集合是任意角集合的子集, 那么,锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况,是一个包含关系.让学生参与定 义,可以感受到这样定义的合理性,感受到这个定义是自然的.

三.教学问题诊断分析
从锐角三角函数到任意角三角函数的学习,从认知结构发展的角度来说,是属于“下、 上位关系学习” ,是一个从特殊到一般的过程, “先行组织者”是锐角三角函数的概念.教学 策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念,然后让学生“再创造”抽 象程度高的上位概念(参与定义) ,并形成新的认知结构,让原有的锐角三角函数的概念类 属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中. 学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数, 这对研究任意角三角函数在认识上会有 一定的局限性,所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困 难. 可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上, 尝试让学生建立用终边上的 点的坐标定义任意角三角函数, 或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数, 然后再定 义任意角的三角函数. 教学的另一个难点是,任意角三角函数的定义域是实数集(或它的子集) .因为学生刚 刚接触弧度制,未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么.可以在 π 复习锐角三角函数时,把锐角说成区间(0, )内的角,以便分散这个难点. 2

四.教学支持条件分析
利用几何画板软件, 可以动态改变角的终边位置, 从而改变角的终边上点的坐标大小的 特点,便于学生认识任意角的位置的改变,所对应的三角函数值也改变的特点,感受函数的 本质; 感受终边相同的角具有相同的三角函数值; 也便于观察各三角函数在各象限中符号的 变化情况,加深对任意角三角函数概念的理解,增强教学效果.

五.教学过程设计
1.理解锐角三角函数
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要理解任意角三角函数首先要理解锐 角三角函数.锐角三角函数是任意角三角函 数的先行组织者.
问题 1 任意画一个锐角α ,借助三角板,找出 sinα ,cosα ,tanα 的近似值. 教师用几何画板任意画一个锐角. 要求学生自己任意也画一个锐角, 利用手中的三角板 画直角三角形,度量角α 的对边长、斜边长,计算比值. 意图:复习初中所学习过的锐角三角函数,加深对锐角三角函数概念的理解,它是学习 任意角三角函数的基础.突出: (1)与点的位置的选取无关; (2)是直角三角形中线段长度的比值. 问题 2 能否把某条线段画成单位长,有些三角函数值不用计算就可以得到? 意图:学生根据自己实际画图操作,以及计算比值的体验,会很快认为把斜边画成单位 长比较方便,为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫.

问题 3 锐角三角函数 sinα 作为一个函 数,自变量以及与之对应的函数值分别是什 么?
意图:以便与后面的任意角三角函数的自变量是角(的弧度,对应一个实数) ,对应的 函数值是α 的终边与单位圆交点的纵坐标比较. 锐角三角函数 sinα 作为一个函数,自变量是锐角.由于角的弧度值与实数可以一一对 π 应,所以,α 是(0, )上的实数.而与之对应的函数值 sinα 是线段长度的比值,是区间 2 (0,1)上的实数. 问题 4 你产生过这个疑问吗: “三角函数只有这三个?” 意图:这个问题具有元认知提示的特点,引导学生勤于思考,逐步学会发现问题、提 出问题、研究问题. 三条边相互比,可以产生六个比.还有哪三个呢?再把已知的三个倒过来. 2.任意角三角函数定义的“再创造” 教师利用几何画板,把角α 的顶点定义为原点,一边与 x 轴的正半轴重合,转动另一条 边,表现任意角.

问题 5 现在, 角的范围扩大了. 在直角 坐标系中,使得角的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合. 在这样的环境下, 你认为, 对于任意角α ,sinα ,cosα ,tanα 怎样来
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定义好呢?
意图:可以打破知识结构的平衡,感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了, 锐角三角函数也应该“与时俱进” ,并不显得突然.把定义的主动权交给学生,引导学生参 与定义过程,发展思维. 有两种可能的回答. 可能一:在α 的终边上任意画一点 P(x,y) ,|OP|=r. y x y sinα = ,cosα = ,tanα = . r r x 可能二:设角α 的终边与单位圆的交点为 P(x,y) . y sinα =y,cosα =x,tanα = . x 不论出现可能一还是可能二,都再问: “都是这样的吗?” 引导学生议论,以确认两种定义方法的一致性、各自特点.再问“你赞成哪一种?” , 统一认识,建立任意角三角函数的定义. (板书) 因为前面已经有引导,学生可能很快接受“可能二” . 3.任意角三角函数的认识(对定义的体验) 问题 6(1)求下列三角函数值: 7π sin270°,cosπ ,tan . 6 问题 6(2) 说出几个使得 cosα =1 的α 的值. 意图:通过定义的简单应用,把握定义的内涵. 逐题给出,对于每一个答案,都要求学生说出“你是怎样得到的. ”突出“画终边,找 交点坐标,算比值(对正切函数) ”的步骤. 问题 6(3) 指出下列函数值: sin π ; 6 13π sin ; 6 11π sin(- ) . 6

意图:角的终边位置决定了三角函数值的大小.终边位置相同的角同一三角函数值相 等.于是有 sin(α +2kπ )=sinα , cos(α +2kπ )=cosα , tan(α +2kπ )=tanα . (其中 k∈Z) 问题 6(4) ①确定下列三角函数的符号: cos250°; sin1650°; π sin(- ) ; 4 tan(-1030°) ;

9π 11π tan(- ) ; cos( ) . 4 4

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?cosθ <0, ②? θ 在哪个象限?请说明理由.反过来呢? ?tanθ <0,

③角α 的哪些三角函数值在第二、三象限都是负数?为什么? ④tanα 在哪些象限中取正数?为什么? 意图:认识三角函数在各象限中的符号. 问题 7 做了这么多题,要反思.你是否发现了任意角三角函数的一些性质?还有些什 么体会? 意图:体验以后的概括,阶段小结. (1)抓住各三角函数的定义不放; (2)各象限中 三角函数的符号特点,等. 教师板书学生获得的成果、感受. 4.任意角三角函数的定义域 问题 8 α 是任意角,作为函数的 sinα ,cosα ,tanα ,它们的定义域分别是什么? 意图:三角函数也是函数,自然应该关心它的定义域. 建立了角的弧度制,角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系,因此,sinα ,cos π y α 的定义域是 R; tanα = 中, x≠0, 于是 tanα 的定义域是{α |α ≠ +kπ , k∈Z, α ∈R }. x 2 仍然紧扣定义,并引导以弧度制表示它的定义域. 5.练习 (1)确定下列三角函数值的符号,并借助计算器计算: cos260°; π sin(- ) ; 3 tan(5π ) .

(2)求下列三角函数值: 17π cos ; 4 6.小结 问题 9 下课后,你走出教室,如果有人问你: “过去你就学习过锐角三角函数,今天 又学习了任意角的三角函数,它们的差别在哪里呢?”你怎么回答他? 意图:通过问题小结.不追求面面俱到,突出锐角三角函数是三角形中,边长的比值, 而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标,或者是坐标的比值. 若时间允许,再问: “还有其他收获吗?”比如,终边相同的角的同一三角函数相等; 各象限三角函数的符号;任意角三角函数的定义域,等. 六.目标检测设计 5π (1)α = ,写出α 的终边与单位圆交点的横坐标,并写出 tanα 的值. 4 (2)求下列三角函数的值: 23π cos(- ) ; 6 tan( 25π ) . 6 23π tan(- ) ; 6 sin(1140°) .

1 (3)角α 的终边与单位圆的交点是 Q,点 Q 的纵坐标是 ,说出几个满足条件的角α . 2

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(4)点 P(3,-4)在角α 终边上,说出 sinα ,cosα ,tanα 分别是多少?

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