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高三一轮复习 两角和与差及倍角公式(一) 学案


云南衡水实验学校补习班学案

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编制:石刚

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学案 18

两角和与差及倍角公式(一) 考点一___

__三角函数式的化简_______________
(1)化简求值:① cos15 =
0

; ; ; ;




[考点导读]
1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角,函数名称及次数三方面的差异及联系,然后通过“角变换”,“名称变 换”,“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系;

cos 15 ? ? sin 15 ? ? ______ ; cos 15 ? ? sin 15 ?

? ? ? ③ tan 23? ? tan 37 ? 3 tan 23 tan 37 =
(2)化简:① cos2? ? 2 sin 2 ? =




cos85° +sin25° cos30° = cos25° ; =



② 2 ? sin2 2 ? cos 4 =

[知识梳理] 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=____________________________________, cos(α-β)=____________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=_____________________________________, sin(α-β)=_____________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________, tan(α-β)=_____________________________________. . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=______________; (2)cos 2α=________________=________________-1=1-________________; kπ π π (3)tan 2α=____________________ (α≠ 2 +4且 α≠kπ+2). 二倍角公式的逆向变换及有关变形 降幂公式:sin2α=________________,cos2α=______________; 变形:1± sin 2α=sin2α+cos2α± 2sin αcos α=________________. 知识梳理提示: 1.(1)cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β
(2)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 2 .(1)2sinαcosα α)
2

1 ? sin 4? ? cos 4? = 1 ? sin 4? ? cos 4?

(sin α + cosα - 1) (sin α-cosα +1)
sin 2 α



考点二_____三角函数式的求值(和差角类)_______________________ (1) 已知sin α =

4 π 5 , α ∈ ( , π), cosβ = - , β是第三象限角,求 cos(α-β )的值 ; 5 2 13

1 1 (2) 已知 tan(α-β)=2,tanβ=3,且 α∈(0,π),则 tanα=________. ? π π? (3) 已知 α, β∈?-2,2?, 且 tan α, tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两个根, 则 tan(α+β)= ? ? α+β= .




cos? ? cos ? ? 0 ,则 cos (4) 已知 sin ? ? sin ? ? 1, (? ? ?)的值为

(2)cos2α- sin2α

2cos2α

tan α+tan β tan α-tan β 1-tan αtan β 1+tan αtan β 1-cos 2α 2tan α 2sin2α (3) 2 1-tan2α (3)

1+cos 2α 2

(sin α± cos

考点三_____三角函数式的求值(倍角类)_______________________ 5 ? ? 【例3】(1)已知 sin 2? ? , ? ? ? ,求 sin 4? ,cos4 ? ,tan4 ? 的值. 13 4 2

4.课前自我测试 1.化简求值: (1)cos53ocos23o+sin53o sin23o = ( 2 ) cos( 4 ? ? ) cos? ? sin( 4 ? ? ) sin ? = ( 3 )cos43ocos17o-sin43o sin17o= ( 4 ) sin 150 cos150 =
tan 22.5 0 (6) = 1 ? tan2 22.5 0
? ?

; ; . ( 5 )cos 2

; ;

?
8

? sin 2
2

?
8
?

=

; .

? 变式思考:? 若 ? 的范围改为(0, ) ,结果想同吗? 4
? 若条件 sin 2? ?
5 3 26 改为 sin ? +cos ? = ,怎么做? 13 13

( 7 ) 1-2 cos 22.5 =

补习是一种勇气,补习是一次重新开始,我们全体数学人陪你共同走过这最困难的日子。

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(2) 已知

.①求

的值;

②求 ( 7 C. 9 7 D. -9

的值. )

5 10 6.已知 α,β 都是锐角,若 sin α= 5 ,sin β= 10 ,则 α+β= π A.4 7. 1 3 8.若 cos(α+β)=5,cos(α-β)=5,则 tan αtan β=________. π 1 π 9.已知 cos(α+4)=3,α∈(0,2),则 cosα=______ __. 10.在△ ABC 中,cosA=
4 ,tanB=2,则 tan(2A+2B)的值为 5

( π 3π D.-4和- 4

).

π 1 2π (3)若 sin(6-α)=3,则 cos( 3 +2α)的值为 1 A. 3 1 B. -3

3π B. 4

π 3π C.4和 4



? ? ? ? 1. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于

( D.



β? π π 3 ?π ? 1 ?π β? ? 11.若 0<α<2,-2<β<0,cos?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?= ? ? ? ? ? ? 3 A. 3 3 B.- 3 5 3 C. 9 6 D.- 9

(

).

[来源:学科网 ZXXK]

1 A. 2

3 B. 3

2 C. 2

3 2
( )

12.化简[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° )]· 2sin280° 的结果是________. 13. π? π? 3 3 5 ? ? ?π π? 14. 已知 sin α+cos α= 5 ,α∈?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. ? ? ? ? ? ? (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值.

2.

3.若

sinα+cosα 1 = ,则 tan2α= sinα-cosα 2 3 A. -4 3 B. 4 4 C. -3 4 D. 3

(

)

4 ? π ? 4. 已知 x∈?-2,0?,cos x=5,则 tan 2x 等于 ? ? 7 A.24 7 B.-24
2

( 24 D.- 7 ( 2 C. 3 D. -2 )

).

24 C. 7

5.若 3sinα+cosα= 0,则 10 A. 3

1 的值为 cos α+sin2α 5 B. 3

[小结与反思]

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两角和与差及倍角公式(一)

π? 3π? π? ? ?π? ? ?α π? ? 13.已知函数 f(x)=tan?3x+4?.(1)求 f?9?的值;(2)设 α∈?π, 2 ?,若 f?3+4?=2,求 cos?α-4?的值. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(本案共 15 题,1-12 每题 5 分,第 13,14 题各 10 分,总分 80 分,附加题 10 分)

1.已知 cos 2θ= 13 A.18

2 ,则 sin4θ+cos4θ 的值为 3 11 B.18 7 C.9 D.-1

(

)

3 2.已知 α 是第二象限角,且 sin(π+α)=-5,则 tan2α 的值为 4 A.5 23 B.- 7 24 C.- 7 8 D.-3

(

)

π? π? 1 ? ? 14.已知 α∈?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. ? ? ? ?

5 3.已知 sin α= 5 ,则 cos4α 的值是 4 7 A.25 B.-25 π 4. 已知 x∈(2,π),cos 2x=a,则 cos x= A. 1-a 2 B.- 1-a 2

( 12 C.25 18 D.-25 ( C. 1+a 2 D.-

)

)

1+a 2 ( ).

附加题:已知:0<α< <β<π,cos?β- 4 ?= .
(1)求 sin 2β 的值; π? ? (2)求 cos?α+ ?的值. 4? ?

π 2

? ?

π? ?

4 5

π? 7π? 4 3 ? ? 5.已知 cos?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值 是 ? ? ? ? 2 3 A.- 5 2 3 B. 6 4 C.-5 4 D.5

π 6.已知 α+β=4,则(1+tan α)(1+tan β)的值是 A.-1 B.1 C.2 ? ? ? ? 7.化简求值:(1) sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ___________; sin ? ? sin 2? ? ___________ (2) 1 ? cos ? ? cos 2? 1 8. 已知 cos 2α= ,则 sin2α=________.[来源:学科网 ZXX 4 π tan x 9.已知 tan(x+4)=2,则tan2x的值为________. 1+tan α 1 10.若 =2 013,则cos 2α+tan 2α=________. 1-tan α ?π ? 11.已知 tan?4+θ?=3,则 sin 2θ-2cos2θ 的值为________. ? ? 1-tan x ?π ? 5 ?π 3π? 12.已知 sin?4+x?=13,且 x∈?4, 4 ?,则 = ? ? ? ? 1+tan x . D.4

(

)

答题情况统计

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

题号

9

10

11

12

13

14

15

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(1)④

两角和与差及倍角公式(一)参考答案

tanα+1 1 2tanα 3 3.由 =2,得 tanα=-3,∴tan2α= 2 = ,选 B 项. tanα-1 1-tan α 4 ? 3? ?-4? 2× ? ? 4 3 3 2tan x 24 ? π ? 4. ∵x∈?-2,0?,cos x=5.∴sin x=-5,∴tan x=-4.∴tan 2x= =- 2 = 7. ? ? 1-tan x ? 3?2 1-?-4? ? ? sin2α+cos2α 9sin2α+sin2α 10 1 5.由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 2 = = = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 9sin2α-6sin2α 3 2 5 3 10 6.由 α, β 都为锐角, 所以 cos α= 1-sin2α= 5 , cos β= 1-sin2β= 10 .所以 cos(α+β)=cos α· cos 2 π β-sin α· sin β= 2 ,所以 α+β=4.答案 7. 1 3 2 1 8.由已知,得 cos αcos β-sin αsin β=5,cos αcos β+sin αsin β=5,则有 cos αcos β=5,sin αsin β=5, sin αsin β 1 1 = ,即 tan α tan β = cos αcos β 2 2.答案 1 2
[来源:学科网 ZXXK]

cos85° +sin25° cos30° cos? 60° +25° ?+sin25° cos30° = = cos25° cos25° cos60° cos25° -sin60° sin25° +sin25° cos30° cos60° cos25° 1 = cos25° =cos60° =2 cos25° α?? α α? α α α α?? α α α? ? α ? cos -sin 2??cos2+sin2?sin ?2sin2cos2-2sin22??2sin2cos2+2sin22? ? ?? ? 2 ? ?? ? ? 2 (2)④原式= = α α α 4sin 2cos 2cos α cos2cos α α? α α ? 2α ?cos 2-sin22?sin cos αsin 2 ? ? 2 α = = =tan . α α 2 cos2cos α cos 2cos α (2 )∵α =(α- β)+β,∴tanα= tan[(α- β)+β]= 1 1 2+3 1 =3,tanα= 1 1=1 1-2× 3 (3) 由根与系数的关系得:tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,∴t an α<0,tan β<0,-π<α+β <0.又 tan(α+β)= tan α+tan β -3 3 = = 3. 1-tan αtan β 1-4 2π ∴α+β=- 3 . tan?α-β?+tanβ 1 ,∵tan(α- β)=2 , tanβ 1-tan?α-β? tan β

A

π π 1 π π π π π 2 2 9.∵α∈(0,2),cos(α+4)=3>0,∴α∈(0,4),α+4∈ (4,2),∴sin(α+4)= 3 , 2+4 π π π π π π cosα=cos(α+4-4)=cos(α+4)cos4+sin(α+4)· sin4= 6 . β? ? ??π ? ?π β?? ?π ? ? π β? ?π ? ? π β? 11.对于 cos ?α+2?=cos??4+α?-?4-2??=cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?, ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? β? 1 3 2 2 π 6 ?π 3π? π β ?π π? ?π ? 2 2 ? π β? ? 而4+α∈?4, 4 ?,4-2∈?4,2?,因此 sin?4+α?= 3 ,sin?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?=3× 3 + 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 5 3 × 3 = 9 .答案 C

【例3】(2) ①



π 1 π 1 2π π 1 7 (3)因为 sin(6-α)=3,所以 cos(3+α)=3,即 cos( 3 +2α)=2cos2(3+α)-1=2× - 1 =- 9 9.
1 ? ? ? 1.原式= sin (43 -13 )= sin 30 = 2 ,故选 A.

? 1 3 ? cos10° + 3sin10° + 2 sin10° ? ?· 2 2cos10° 12. 原 式= 2sin50° + sin10° · · 2 sin 80° = ?2sin50° ? cos10° +2sin10° · cos10° ? ? cos?60° -10° ?? ? ? · 2 cos10° cos10° = ?2sin50° = 2 2 (sin50° cos10° + sin10° cos50° )=2 2 +2sin10° · cos10° ? ? sin60° = 6.答案 6 13.

2.

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cos2θ-sin2θ 1-tan2 θ 2tan θ 4 3 4 2 2 -1= 2 - 2 -1= - -1=- . 5 5 5 sin θ+cos θ 1+tan θ 1+tan θ

π? 9 9 4 ? 14.(1)由题意得(sin α+cos α)2=5, 即 1+sin 2α=5, ∴sin 2α=5.又 2α∈?0,2?, ∴cos 2α= 1-sin22α ? ? 3 sin 2α 4 =5,∴tan 2α=cos 2α=3. π? π? 3 π? 4 π ? ?π π? ? ? (2)∵β∈?4,2?,β-4∈?0,4?,sin?β-4?=5,∴cos?β-4?=5,于是 sin ? ? ? ? ? ? ? ?

1-tan x π 12 5 1 ?π 3π? ?π ? ?π ? ?π ? 12.∵x∈?4, 4 ?,∴4+x∈?2,π?,∴cos?4+x?=-13,∴tan?4+x?=-12,∴ = ? ? ? ? ? ? ? ? 1+tan x ? π? tan?x+4? ? ? 12 =- 5 . 3π π? ?π? ?π π? tan3+tan4 ?α π? ? 3+1 + α + ? ? ? 13.(1)f?9?=tan?3+4?= = =- 2 - 3.(2) 因为 f = tan =tan(α+π)=tan α 4 +4? ? ? ? ? 1-tanπtanπ 1- 3 ?3 4? ? ?
3 4 π π

π? π? ? π? 24 π? 24 ? ? ? ?π ? 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25.又 sin 2?β-4?=-cos 2β, ∴cos 2β=-25, 又∵2β∈?2,π?, ∴sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1+cos 2α 4? π?? 7 2 5 5 ? 2β=25,又∵cos2α= =5?α∈?0,4??,∴cos α= 5 ,sin α= 5 .∴cos(α+2β)=cos αcos 2β 2 ? ? ?? 2 5 5 7 11 5 ? 24? -sin αsin 2β= 5 ×?-25?- 5 ×25=- 25 . ? ?

sin α =2,所以cos α=2,即 sin α=2cos α.①又 sin2α+cos2α=1,②

1 由①②解得 cos2α=5.因为 α∈

3π? 5 2 π π 5 2 5 ?α-π? ? ?π, 2 ?,所以 cos α=- ,sin α=- . 所以 cos = cos α cos + sin α sin =- × + ? ? 4 5 5 ? ? 4 4 5 2 ? ?
2 3 10 ? 2 5? ?- ?× 2 =- 10 ? 5 ?
2× 1 2tan α sin α 1 2 4 2 2 14.∵tan α=2,∴tan 2α= = ,且 2 = cos α=2,即 cos α=2sin α,又 sin α+cos α=1, 1-tan α 1-1 3 4 1

测案 18
1.B∵cos 2θ=

同角 三角函数的基本关系及诱导公式 ..

2 7 1 11 ,∴sin22θ= .∴sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1- (sin 2θ)2= . 3 9 2 18

3 3 4 3 2.由 sin(π+α)=-5,得 sinα=5,又 α 是第二象限角,故 cosα=- 1-sin2α=-5,∴tanα=-4, ? 3? ?-4? 2× 5 3 ? ? 2tanα 24 tan2α= =- . 答案 C 3 . ∵ sin α = ,∴ cos 2 α = 1 - 2sin2 α = .∴cos 4α 2 = 7 1-tan α 5 5 ? 3?2 1-?-4? ? ? 3 7 1+cos 2x 1+a π =2cos22α-1=2×( )2-1=- . 答案:B 4. 依题意得 cos2x= = ;又 x∈( ,π),因 2 2 2 5 25
此 cos x=- 1+a .答案:D 2

π? 5 2 5 5 2 5 4 ? ∴5sin2α=1,而 α∈?0,2?,∴sin α= 5 ,cos α= 5 .∴sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × 5 =5, ? ? π? 4 1 3 π π 4 1 3 3 4+3 3 ? cos 2α=cos2α-sin2α=5-5=5,∴sin?2α+3?=sin 2αcos3+cos 2αsin3=5×2+5× 2 = 10 ? ?
π π 2 2 1 2 2 β- ?=cos cos β+sin β= cos β+ sin β= ,∴cos β+sin β= ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β= 附加题:(1)∵cos? ? 4? 4 2 2 3 3 9 π? 7 π π π 3 π 3π 4 ? π? 1 - . (2)∵0<α< <β<π,∴ <β<- < π, <α+β< ,∴sin? ?β-4?>0,cos(α+β)<0.∵cos?β-4?=3,sin(α+β)=5, 9 2 4 4 4 2 2 π? 2 2 3 3 1 4 2 2 ? π? ? ? π?? ? π? ∴sin? ?β-4?= 3 ,cos(α+β)=-5.∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4??=cos(α+β)cos?β-4?=-5×3+5× 3 = 8 2-3 15

π? π? 4 7π? π? 4 3 3 3 4 3 4 ? ? ? ? 5.cos?α-6?+sin α= 5 ?2sin α+ 2 cos α= 5 ?sin?α+6?=5, 所以 sin?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. ? ? ? ? ? ? ? ? tan α+tan β π 6.∵α+ β=4,tan(α+β)= =1,∴tan α+tan β=1-tan αtan β. 1-tan αtan β ∴(1+t an α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+1-tan αtan β+ta n αtan β=2.答案:C 1-cos 2α 3 1 7. (1) (2) tanα 8. sin2α= =8. 2 2 1 2 2× 3 3 3 π 1 tan x 4 9.因为 tan(x+4)=2,所以 tan x=3,tan2x= 1=8=4,即tan 2x=9. 1-9 9 1+sin 2α ? cos α+sin α?2 cos α+sin α 1+tan α 1 10. cos 2α+tan 2α= cos 2α = = = =2 013. cos2α-sin2α cos α-sin α 1-tan α 1+tan θ 1 2sin θcos θ ?π ? 11.∵tan?4+θ?=3, ∴ =3, 解得 tan θ=2.∵sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1= 2 ? ? 1-tan θ sin θ+cos2θ
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