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线面垂直的判定定理


一.问题引入 复习:直线与平面的位置关系有 哪几种?

线在面内

线 面 位置关系

线面平行 线面相交
垂直 斜交

直线与平面垂直 的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

问题情境

如何定义一条直线与一个平面垂直?

两条直线互相垂直的定义:
如果两条直线相交于一点或经过平移后相 交于一点,并且交角是直角,则称这两条直线互 相垂直。

引入新课
A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB所在直线⊥地面内过点B的任意一条直线
我们 就说直线AB与地面垂直 A

B

直线与平面垂直 定义
如果直线l 与平面? 内的过点P任意一条直线都垂 直,我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面? 的垂线 垂足

l
P

直线l 的垂面

?

l

b

P

符号语言

α

l ? ? , b ? ? , 则l ? b

性质:直线 l 垂直于平面α , 则直线 l 垂直于平面α中的任意一 条直线

线线垂直

线面垂直

结合定义思考下列问题:
1、一条直线垂直于平面内的一条直线,这条直线一定
垂直于这个平面吗??

2、一条直线垂直于平面内的两条平行直线,这条直线
一定垂直于这个平面吗??

c

结合定义思考下列问题:
3、一条直线垂直于平面内的无数条直线,这条直线一
定垂直于这个平面吗??
C

4、一条直线垂直于平面内的两条相交直线,这条直线
一定垂直于这个平面吗??

猜想:
一条直线垂直于平面内的两条相交 直线,此直线就垂直于该平面

在直线上任取点E,过E做直线交直线m,n与 点C,D,做A关于面的对称点A',并连线

A

ΔACD ? ΔA?CD
?ACE ? ?A?CE
α

C m

E

B

l

D n

?ACE ? ?A?CE

A'

?ACE ? ?A?CE

AA? ? BE
即证得直线AB垂直于平面内过点B的任意一条直线, 根据定义,可得直线AB垂直于平面α

直线与平面垂直的判定定理
? 内的两条相交直线 如果直线l和平面 m,n都垂直,那么直线 l垂直平面 ?
即:m ? ? , ? ? n ? ?, ? ??l ?? m?n ? P ? l ? m, l ? n? ? 线线垂直

l
?
m P
n

线面垂直

例题示范,巩固新知
例1、如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两条长10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不 在同一条直线上)C,D.如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那 么旗杆就和地面垂直,为什么?

A

?C

B

D

例题示范,巩固新知
例2、 已知:正方体中,AC是面对角线,BD'是与AC 异面的体 对角线. 求证:(1)AC⊥平面BB'D'D (2)AC⊥BD'

课堂小结.
1.直线与平面垂直的定义及性质 2.直线与平面垂直的判定定理: m ? ?, ? ? n ? ?, ? ??l ?? m?n ? P ? l ? m, l ? n? ?

线线垂直

线面垂直

例题示范,巩固新知
跟踪训练:

巩固运用.
跟踪 训练

2.如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC, AB ? BC
V

求证VB ? AC

D

A B

C



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