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三角函数图像的对称轴与对称中心


函数轴对称:如果一个函数的图象沿一条直线对折,直线两则的图像能够完全重合,则称该 函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 度,所得的图像能与原函数图像完全重 合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 正弦函 y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称, 它的图象关于过最值点且垂直于 x 轴的直 线分别成轴对称图形;y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” , 且平行于 y 轴的无数条直线; 它的图象关于 x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称 轴与最值点联系.而 y ? A tan(? x ? ? ) 的对称中心与零点和渐近线与 x 轴的交点相联系,

sin ?( ? x? 有 渐 近 线 但 无 对 称 轴 . 由 于 函 数 y? A

) y ? A cos(? x ? ? ) 和 、

y ? A tan(? x ? ? ) 的简图容易画错, 一般只要通过函数 y ? sin x 、y ? cos x 、y ? tan x 图
像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心. 1.正弦函数 y ? sin x 图像的对称轴与对称中心:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

对称轴为 x ? k? ?

?
2

、对称中心为 (k? ,0)

k ?Z .

对于函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象的对称轴只需将 ? x ? ? 取代上面的 x 的位置,即

? x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) , 由 此 解 出 x ?

1

?

( k? ?

?
2

? ? ) (k ? Z ) , 这 就 是 函 数

y? A sin ? ( x ? ? 的图象的对称轴方程. )
对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的对称中心只需令 ? x ? ? ? k? (k ? Z ) , 由此解出

x?

1

?

(k? ? ? ) (k ? Z ) , 这就是函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的对称中心的横坐标, 得对 1

称中心 (

2.余弦函数 y ? cos x 图像的对称轴与对称中心:

?

(k? ? ? ), 0)

k ?Z .

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

对称轴为 x ? k? 、对称中心为 (k? ?

?
2

, 0)

k ?Z .

对于函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图象的对称轴只需将 ? x ? ? 取代上面的 x 的位置,即

? x ? ? ? k? (k ? Z ) ,由此解出 x ?
的图象的对称轴方程.

1

?

(k? ? ? ) (k ? Z ) ,这就是函数 y ? A cos(? x ? ? )

对于函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图象的对称中心只需令 ? x ? ? ? k? ? 解出 x ?

?
2

(k ? Z ) , 由此

1

?

( k? ?

?
2

? ? ) (k ? Z ) ,这就是函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图象的对称中心的横 1

坐标,得对称中心 (

3.正切函数 y ? tan x 图像的渐近线与对称中心:
y

?

( k? ?

?
2

? ? ), 0)

k?Z .

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

渐近线为 x ? k? ?

?
2

、对称中心为 (

k? , 0) 2

k ? Z ,也就是曲线与 x 轴的交点和渐近

线与 x 轴的交点两类点组成.正切曲线无对称轴. 对于函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的图象的渐近线只需将 ? x ? ? 取代上面的 x 的位置,即

? x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) , 由 此 解 出 x ?

1

?

( k? ?

?
2

? ? ) (k ? Z ) , 这 就 是 函 数

y ? At a n ? ( x ? ? 的图象的渐近线方程. )
对于函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的图象的对称中心只需令 ? x ? ? ? 出x?

1 k? ( ? ? ) (k ? Z ) ,这就是函数 y ? A tan(? x ? ? ) 的图象的对称中心的横坐标, ? 2 1 k? ? ? ), 0) k ? Z . 得对称中心 ( ( ? 2

k? (k ? Z ) ,由此解 2

? ? ? )的图象:⑴关于点( ,0)对称;⑵关于直线 x= 对称;⑶关于点 3 3 4 ? ? ( ,0)对称;⑷关于直线 x= 对称.正确的序号为________. 4 12 ? 1 ? 1 ? 解法一:由 2x+ =kπ 得 x= k? ? ,对称点为( k? ? ,0) (k ? z ) ,当 k=1 时为 3 2 6 2 6 ? ? ? 1 ? ( ,0) ,⑴正确、⑶不正确;由 2x+ ? k? ? 得 x= k? ? (k ? z) ,当 k=0 时为 3 3 2 2 12
例 函数 y=sin(2x+

x?

?

12

,⑷正确、⑵不正确.综上,正确的序号为⑴⑷.

解法二:根据对称中心的横坐标就是函数的零点,对称轴必经过图象最值点的结论,可以采 用代入验证法.易求 f ( ) =sin(2×

?

3

? ? ? ? ? ? 3 + )=0、 f ( ) =sin(2× + )= 、 f ( ) =sin(2 4 12 3 3 4 3 2

×

? ? + )= 1 ,所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确.综上,正确的序号为⑴⑷. 12 3



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