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2010数学建模竞赛A题答案评阅要点


2010 高教社数学建模竞赛 A 题评阅要点

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题,问题由两大部分组成: (1)为了观察检验罐体变位对罐容表的影响,在已知变位参数的情况下,检测出油位高度和油 量的对应数值,建模分析罐容表的变化规律,并给出修正的罐容表,属于“正问题” 。 (2)根据实际检测数据,正确识别罐体是如何变位的,具体变了多少?同时要给出罐容表的修 正标定方法和结果,属于“反问题” 。 具体需要把握以下几个方面:

第一部分: 第一部分:小椭圆型实验罐的有关问题
(1) 要明确给出小椭圆型油罐正常体位 (无变位) 的不同油位高度与储油量的计算模型和公式, 正确的结果(具体表达形式不唯一)是:

1 a hb V = [ π ab + (h b) 2bh h 2 + ab arcsin ]L , 2 b b
其中 a, b, L 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度, h 为罐内的油位高度。通过代入几 何参数计算得到正常(即标准)的罐容表对应值。
表 1:正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果 : 油位高度 油位高度/cm 高度 10 20 30 油量/L 163. 450. 803. 油位高度 油位高度/cm 高度 40 50 60 油量/L 119 162 205 油位高度 油位高度/cm 高度 70 80 90 油量/L 248 291 330 油位高度 油位高度/cm 高度 100 110 120 油量/L 3659 3946 4110

(2)讨论罐体变位的影响,要求给出纵向倾斜变位后修正模型,用不同方法可能有不同的表达 形式,但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。将变位参数代入模型,计算出修正后的罐容 表标定值,并与正常的标定值进行比较,分析罐体变位的影响。实际上,对于纵向倾斜变位的影响 明显,最大误差在 257L 以上,平均误差达到 190L 以上,平均相对误差达 30%以上。
表 2:小椭圆罐的修正罐容表的部分结果( α :小椭圆罐的修正罐容表的部分结果( 油位高度 油位高度/cm 高度 10 20 30 油量/L 70.13 281.86 595.25 油位高度 油位高度/cm 高度 40 50 60 油量/L 965.66 1371.88 1798.52

= 4.10 )
油位高度 油位高度/cm 高度 70 80 90 油量/L 2232.50 2661.42 3072.43 油位高度 油位高度/cm 高度 100 110 120 油量/L 3450.72 3776.64 4012.74

第二部分: 第二部分:实际大储油罐的有关问题
(1)根据储油罐纵向的变位方向,对于不同的油位高度,分别考虑油罐的两端有油和一端有油 的情况建模分析,可以得到罐内实际储油量 V 与纵向倾斜变位参数 α 、横向偏转变位参数 β 和油位

高度 h 的关系模型,即 V = F (α , β , h) 。详细的解析模型表述形式比较复杂,重在分析过程,注意 油罐两端含油的不同情况。 当然,也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现,但应关注引 入变位参数的方法和表示形式的合理性。 (2)必须明确给出变位参数的辨识准则。 因为实际罐内油量初值未知,所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件 2 的检测数据可以知

道不同时刻的出油量 Vi ,同时可以计算出相应油位高度的改变量 hi = hi hi +1 ,并由模型表达式
*

V = F (α , β , h) 计算得到实际储油量的改变量 Vi = F (α , β , hi ) F (α , β , hi +1 ) ,问题可归结为求
解非线性最小二乘问题:
n 2 V V * min S (α , β ) = ∑ i i ,或 min S (α , β ) = ∑ ( Vi Vi* ) 等。 hi i =1 hi i =1

n

2

利用附件 2 中的部分数据 (如前半部分)借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值 α , β 。 , 其具体的数值用不同的方法会有差别,但结果应是纵向倾斜变位角 α 略大于 2 度,横向偏转变位角 影响不敏感。
如果直接使用附件 2 中的显示储油量 Vi′ 和对应的 hi 做参数估计,即求问题

min S (α , β ) = ∑ Vi Vi′
i =1

n

(

)

2

的解,这是不对的,因为 Vi′ 是无变位时的显示储油量。若储油量的体积公式 V = F (α , β , h) 是正确

的,则用该方法得到的参数 α 值会很小。 如果经分析说明横向偏转变位的影响不大,则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。 。 (3)根据修正模型 V = F (α , β , h) 及参数估计值 α , β ,可以得到变位后的罐容表(参见表 3) 并利用附件 2 的实际检测数据(如后半部分)分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
表 3:变位后储油罐的修正罐容表部分结果(使用参数 α = 2.110 , β = 4.310 ) :变位后储油罐的修正罐容表部分结果( 油位高度/cm 油位高度 油量/L 油量 油位高度/cm 油位高度 油量/L 油量 油位高度/cm 油位高度 油量/L 油量 10 354.76 110 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1065.80 2223.04 3702.65 5432.63 7371.38 9487.87 11756.61 14155.51 16664.62 120 130 140 150 160 170 180 190 200

19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17

**用不同的方法,结果会有误差。

(4)为便于比较计算结果,这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值(见表 4) 。
表 4:无变位情况下油罐的罐容表部分结果 : 油位高度/cm 位高度 油量/L 油量 油位高度/cm 油位高度 油量/L 油量 油位高度/cm 油位高度 油量/L 油量 10 590.71 110 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88 120 130 140 150 160 170 180 190 200

21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.22 35163.15 37978.76 40763.45 43501.41 46176.46 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45

本参考要点给出的仅是一种可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理 方法,请根据实际情况评判。



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