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高中数学竞赛练习—几何—题目1-10


高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(1) :

设 D 是 ? A B C 的边 BC 上的一点,点 P 在线段 AD 上,过点 D 作一直 线分别与线段 AB、PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于 点 F、N。如果 DE=DF,求证:DM=DN

A

P

M

C

B

D F

N

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(2)

设点 D 为等腰 ? A B C 的底边 BC 上一点,F 为过 A、 C 三点的圆在 ? A B C 内的弧上一点, B、 D、 过 D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证:
CD ? EF ? DF ? AE ? BD ? AF
3

A

2 1

F E

B D C

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(3) :

如图所示,在△ABC 中, ? A B C ? 90 ? , D , G 是边 CA 上的两点, 连接 BD,BG . 过点 A,G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E, F,连接 CF. 若 BE=EF,求证: ? A B G ? ? D F C .

A

G

D E B F C

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(4) :

A

如图,在 ? A B C 中, ? A ? 6 0 ? , ? A B C 的内切圆 I 分别切边
G

AB, AC

于点 D , E ,直线 D E 分别与直线 B I , C I 相交于点
1 2
B

D F

F, G

, 证明: F G ?

BC



E I

C

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(5) :

B

在△ABC 中,BC>AB,BD 平分 ? A B C 交 AC 于 D,如图,CP 垂直 BD,垂足为 P, AQ 垂直 BP,Q 为垂足。M 是 AC 中点,E 是 BC 中点。若△PQM 的外接圆 O 与 AC 的另一个交点为 H,求证: O、H、E、M 四点共圆。

E Q D A H O P M C

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(6) :

A

如图, ? A B C 的内切圆 I 分别切 BC、AC 于点 M、N,点 E、F 分别为边 AB、AC 的中点,D 是直线 EF 与 BI 的交点。证明:M、N、D 三 点共线。

E I

F N C

D

B

M

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(7)

已知 ? O 、 ? I 分别是 ? A B C 的外接圆和内切圆;证明:过 ? O 上的任意一点 D , 都可以作一个三角形 D E F , 使得 ? O 、? I 分
B

D

A

F O I C E

别是 ? D E F 的外接圆和内切圆.

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(8) 如图,过 ? A B C 的外心 O 任作一直线,分别交边 A B , A C 于 M , N , E , F 分别是 B N , C M 的中点.证明: ? E O F ? ? A .
E P
M N

D

K

AO B F C

L

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(9) : 设 A A 0 , B B 0 , C C 0 是 ? A B C 的三条角平分线,自 A 0 作 A 0 A 1 ∥ B B 0 ,
A 0 A 2 ∥ C C 0 , A 1 , A 2 分别在 A C , A B 上,直线 A 1 A 2 ? B C ? A 3 ;类似得到点 B 3 , C 3 .

证明: A 3 , B 3 , C 3 三点共线.

C3 A
B1

C0
A2
I

C2

B0
A1 B2 C

B

C1

A0

A3

B3

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(10): 一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆周上某一 点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合.

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(1) :

设 D 是 ? A B C 的边 BC 上的一点,点 P 在线段 AD 上,过点 D 作一直 线分别与线段 AB、PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于 点 F、N。如果 DE=DF,求证:DM=DN 证明: 对 ? A M D 和直线 BEP 用梅涅劳斯定理得:
? 1 ? (1) , PD EM BA 对 ? A F D 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得: ? ?
AC CF AB BM ? FN ND MD DF ? DP PA FC CA DE EM DM DM ? DE ? DN DN ? DE ? FN ND ? MD DF ? 1 ,又
M A

AP

DE

MB

P

C

?1

? (2) ,
B

D F

N

对 ? A M F 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得:
? ? ?1 ? (3)

(1) (2) (3)式相乘得:

DE=DF,所以有

,所以 DM=DN。

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几何(2)

设点 D 为等腰 ? A B C 的底边 BC 上一点,F 为过 A、D、C 三点的圆在 ? A B C 内的弧上一点,过 B、D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证:
CD ? EF ? DF ? AE ? BD ? AF

设 AF 的延长线交 ?

B D F 于 K, ? ?AEF ? ?AKB
3

A

? ?AEF ? ?AKB EK BK AE AK ? , ? 因此 。于是要证(1) , AF AB AF AB

2 1

只需证明:
CD ? BK ? DF ? AK ? BD ? AB ? (2)
B

F E

又注意到 ? K B D ? ? K F D ? ? C 。 我们有 S ? D C K ? 进一步有
S ?ABD ? S ?ADK ? 1 2 1 2 A K ? D F ? sin ? C B D ? A B ? sin ? C
1 2 C D ? B K ? sin ? C

D

C

因此要证(2) ,只需证明 S ? A B D ? S ? D C K ? S ? A D K ? (3) 而(3) ? S ? A B C ? S ? A K C ? B K // A C ? (4 ) 事实上由 ? B K A ? ? F D B ? ? K A C 知(4)成立,得证。

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几何(3) :

如图所示,在△ABC 中, ? A B C ? 90 ? , D , G 是边 CA 上的两点, 连接 BD,BG . 过点 A,G 分别作 BD 的垂线,垂足分别为 E, F,连接 CF. 若 BE=EF,求证: ? A B G ? ? D F C .

A

G

D E B F C

证:作 R t ? A B C 的外接圆 w,延长 BD、AE 分别交 w 于 K、J. 连接 BJ、CJ、KJ、FJ. 易知 ? B A J ? ? K B C ,故 BJ=KC. 于是四边形 BJCK 是等腰梯形,又 AJ 垂直平分 BF,故 BJ=FJ, 故四边形 FJCK 是平行四边形. 设 AE 与 BG 的交点为 M,FC 与 JK 的交点为 N,则 M、N 分别是 BG 和 FC 的 中点, 于是 又
AB AG ? sin ? M A G sin ? B A M ? sin ? JK C sin ? B K J ? FK CK ,

? B A G ? ? F K, C

于是 ? B A G ∽ ? F K C , 所以 ? A B G ? ? D F C .

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几何(4) :

A

如图,在 ? A B C 中, ? A ? 6 0 ? , ? A B C 的内切圆 I 分别切边
G

AB, AC

于点 D , E ,直线 D E 分别与直线 B I , C I 相交于点
1 2 BC

D F

F, G

, 证明: F G ?


B

E I

证法一:分别连接 C F , B G, ID, IE , A I , 则 A、 D、 I 、 E 四点共圆. 所以 ? ID E ?
1 2 ?A

C

,
1 2 ?A

A

从而 ? B D F ? 9 0 ? ?

,

G

D F E I

1 1 又 ? B IC ? 1 8 0 ? ? ( ? B ? ? C ) = 9 0 ? ? ? A , 2 2

所以 ? B D F ? ? B IC . 又 ? D B F ? ? C B I ,得 ? F D B ∽ ? C IB .所以
FB CB ? DB IB
?DBI ? ?FBC
B

C

. , 得
? ID B

又 由
?FCG ?

∽ ?CFB , 所 以

CF ? BF

, 从 而

1 2

? A ? 30? . FG sin ? F C G ? BC

同理 B G ? G C ,所以 B、 C 、 F 、 G 四点共圆,由此
FG ? 1 2 BC

,所以

. 二 :
1









? B IG ?

1 2

(? B ? ? C )









?BDG ? ?ADE ?

? ? ? A0 8 1 ? (? B ? ? C ) , 2 2

所以 B、 D、 I 、 G 四点共圆,因此 ? B G C ? ? B D I ? 90 ? . 同理 ? C F B ? 9 0 ? ,所以 B、 C 、 F 、 G 四点共圆. 又 ? FC G ? 90? ? ? FBC ? ? BC I ? 90? ?
F G ? B C sin ? F C G ? 1 2 BC 1 2 (? B ? ? C ) ? 3 0?

,所以

.

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几何(5) :

B

在△ABC 中,BC>AB,BD 平分 ? A B C 交 AC 于 D,如图,CP 垂直 BD,垂足为 P, AQ 垂直 BP,Q 为垂足。M 是 AC 中点,E 是 BC 中点。若△PQM 的外接圆 O 与 AC 的另一个交点为 H,求证: O、H、E、M 四点共圆。

E Q D A H O P M C

作 AQ 延长线交 BC 于 N, Q 为 AN 中点, M 为 AC 中点, QM//BC。 则 又 故 所以
?PQM ? ?PBC ? 1 2 ?ABC



同理, ? M P Q ?

1 2

?ABC



所以 QM= PM。 又因为 Q、H、P、M 共圆,所以 ? P H C ? ? P H M ? ? P Q M ,故 ? P H C ? ? P B C。
? 所以 P、 、 、 四点共圆, B H C ? ? B P C ? 90 ? , H E ? H B C 故

结合 OH=OM,知 OE 为 HP 所以 O、H、E、M 四点共圆。

BC ? EP 2 中垂线,易知 ? E H O ? ? E P O ? ? O P M

1

。 ,

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几何(6) :

A

如图, ? A B C 的内切圆 I 分别切 BC、AC 于点 M、N,点 E、F 分别为边 AB、AC 的中点,D 是直线 EF 与 BI 的交点。证明:M、N、D 三 点共线。

E I

F N C
A

D

B

M

连接 AD, 则易知 ? A D B ? 9 0 ? 。 连接 AI、 DM,DM 与 AC 交于点 G。因为
?ABI ? ?DBM ?ABI ? ?DBM

,所以 ,从而

AB BD

?

BI BM

,故

E I

F N

D

? D M B ? ? A IB ? 9 0 ?

?

1 2

?ACB

B

M

C

连接 IG、IC、IM,则
? IM G ? ? D M B ? 9 0 ? ?ACB ? ?GCI 2 四点共圆,从而 IG ? A C ,因此 G
?

1

所以 I、M、C、G M、N、D 三点共线。

与 N 重合,即

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几何(7)

已知 ? O 、 ? I 分别是 ? A B C 的外接圆和内切圆;证明:过 ? O 上的任意一点 D , 都可以作一个三角形 D E F , 使得 ? O 、? I 分
B

D

A

F O I C E

别是 ? D E F 的外接圆和内切圆.
证:如图,设 O I ? d , R , r 分别是 ? A B C 的外接圆和内切圆半径,延 长 A I 交 ? O 于 K ,则 K I ? K B ? 2 R sin
A 2

, AI ?

r sin A 2

,延长 O I 交 ? O 于 M , N ;则

?R ? d ??R ? d ? ?

IM ? IN ? A I ? K I ? 2 R r ,即 R ? d
2

2

? 2 Rr ;
D A I M B K E O F N C P

过 D 分别作 ? I 的切线 D E , D F , E , F 在 ? O 上,连 E F ,则
D I 平分 ? E D F ,只要证, E F 也与 ? I 相切;

? 设 D I ? ? O ? P ,则 P 是 E F 的中点,连 P E ,则
P E ? 2 R sin D 2

, DI ?

r sin D 2



ID ? IP ? IM ? IN ? ? R ? d
R ?d
2 2 2

??R ? d ? ?
2

R ?d ,
2 2

所以 P I ?

?

R ?d r

? sin

D 2

? 2 R sin

D 2

? PE ,

DI

由于 I 在角 D 的平分线上,因此点 I 是 ? D E F 的内心, (这是由于, ? P E I ? ? P IE ?
?PEF ? D 1 2

?1 8 0

0

? ?P ? ?

1 2

?1 8 0

0

? ?F

??

D?E 2

,而

,所以 ? F E I ?

E 2

,点 I 是 ? D E F 的内心) .

2 即弦 E F 与 ? I 相切.

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几何(8) 如图,过 ? A B C 的外心 O 任作一直线,分别交边 A B , A C 于 M , N , E , F 分别是 B N , C M 的中点.证明: ? E O F ? ? A . 先证引理:如图,过 ? O 的直径 K L 上的两点 A , B 分别作弦 C D , E F ,连 CE ,DF ,分别交
K , L 于 M , N ,若 O A ? O B ,则 M A ? N B .

引理证明:设 C D ? E F ? P ,直线 C E , D F 分别截 ? P A B ,据 梅涅劳斯定理, 则
MA NB ? AC ? PE ? BM ? 1, BF FP ? PD DA ? AN NB
K

? 1;
E P
M

D

CP EB M A AC ? AD ? PE ? PF ? BM BE ? BF ? PC ? PD ? AN

……①

N

AO B F C

L

而由相交弦,得 P C ? P D ? P E ? P F ……② 若 ? O 的半径为 R , O A ? O B ? a ,则
A C ? A D ? A K ? A L ? R ? a ? B K ? B L ? B E ? B F …③,据①②③得,
2 2

MA NB

?

MB NA

,即

MA NB

?

M A ? AB NB ? AB

?

AB AB

? 1 .因此 M A ? N B .引理得证.

回到本题,如下图(两图都适用) ,延长 M N 得直径
K K 1 ,在直径上取点 M 1 ,使 OM 1 ? OM ,设 C M 1 ? ? O ? A 1 ,连 A 1 B 交 K K 1 于 N 1 ,由

引理, M N 1 ? M 1 N , (右图中则是 M 1 N 1 ? M N )因此, O 是 N N 1 的中点,故 O E , O F 分 别是 ? N B N 1 及 ? M C M 1 的中位线,于是得 ? E O F ? ? B A 1C ? ? A .

A1

A
A

A1
M O M1 F E N1 K 1

K

N1

M

O M1 N
F E

K1

N

K

B

C

C

B

高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —— 日期:________ —— 姓名:__________

几何(9) : 设 A A 0 , B B 0 , C C 0 是 ? A B C 的三条角平分线,自 A 0 作 A 0 A 1 ∥ B B 0 ,
A 0 A 2 ∥ C C 0 , A 1 , A 2 分别在 A C , A B 上,直线 A 1 A 2 ? B C ? A 3 ;类似得到点 B 3 , C 3 .

证明: A 3 , B 3 , C 3 三点共线.
A
B1

C3

C0

证明:据梅尼劳斯逆定理,
A B3 C A 3 B C 3 ? ? ?1 只要证, B3C A 3 B C 3 A
B

A2

C2
I

B0
A1 B2 C

C1

A0

A3

…… ①


C A3 A3 B





线
A A1

A1 A 2 A 3



?ABC




B3

?

BA2

?

? 1 ,所以
1

A A2 A C

CA3 A3B

?

A 2 A A 1C ? B A 2 A A1
A B3 B3C ? B2 B C B2 ?

…… ②;

同理有

B1 A B B1

…… ③,

BC3 C3 A

?

C 2C

?

C1 B

…… ④.

A C 2 C C1

由 BA2 ?

BC0 BC

? BA0 , AA2 ?

AA0 AI

? A C 0 ,得

AA2 BA2 A 1C A A1

?

AA0 ? AC0 BA0 ? BC0 C A 0 ? C B0 A A 0 ? A B0

?

BC AI AI BC

… ⑤

又由 A A 1 ?

AA0 AI

? A B0 , C A1 ?

CA0 CB

? C B 0 ,得

?

?

… ⑥

? CA0 A C 0 C B0 ? ? ? ?? 据②、⑤、⑥得 ? A B A3B B A 0 B C 0 A B0 ? 0 CA3 CA0
? C B0 ? AC3 ? AC0 ? ?? ?? 同理可得, ? , ? B3 A ? B0 A ? C3B ? C0B ? C B3
2 2

? ? ; ? ?

2

…… ⑦

由于 ? A B C 的三条角平分线 A A 0 , B B 0 , C C 0 共点,由塞瓦定理,
A B0 C A 0 B C 0 ? ? ? 1 …… ⑧,于是由⑦、⑧得, B0C A 0 B C 0 A

A B3 C A 3 B C 3 ? A B0 C A 0 B C 0 ? ? ?? ? ? B3C A 3 B C 3 A ? B 0C A 0 B C 0 A ?

? ? ? 1 ,即①成立,因此结论得证. ? ?

2

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几何(10): 一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆周上某一 点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合. 解:对于⊙O 上任意一点 A?,连 AA?,作 AA?的垂直平分 M S D 线 MN,连 OA?.交 MN 于点 P.显然 OP+PA=OA?=R.由 于点 A 在⊙O 内,故 OA=a<R.从而当点 A?取遍圆周上所 S' Q A' 有点时,点 P 的轨迹是以 O、A 为焦点,OA=a 为焦距, P R(R>a)为长轴的椭圆 C. 而 MN 上 任 一 异 于 P 的 点 Q , 都 有 O A N OQ+QA=OQ+QA?>OA?.故点 Q 在椭圆 C 外.即折痕上所 有的点都在椭圆 C 上及 C 外. 反之,对于椭圆 C 上或外的一点 S,以 S 为圆心,SA 为半 径作圆,交⊙O 于 A?,则 S 在 AA?的垂直平分线上,从而 S 在某条折痕上. 最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交. 1? 当 S 在⊙O 外时,由于 A 在⊙O 内,故⊙S 与⊙O 必相交; 2? 当 S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内,但在椭圆 C 外或其上的点 S?),取过 S?的半径 OD,则由 点 S?在椭圆 C 外,故 OS?+S?A≥R(椭圆的长轴).即 S?A≥S?D.于是 D 在⊙S?内或上,即⊙ S?与⊙O 必有交点. 于是上述证明成立. 综上可知,折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合.


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