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黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三数学下学期开学考试试题 文


哈尔滨市第六中学校 2016 届高三开学测试题 文科数学
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区

域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;锥体体积公式 V ? 面积和体积公式 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 ,其中 R 为球的半径, 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高,球的表 3

4 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x ? Z || x ? 1 |? 3} , B ? {x | ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. ( ?2,1) B. (1,4) C. {?1,0} ) C. 2 ) D. 1 ) D. D. {2,3} )

2. 已知 z (1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,则 z ? ( A. 2 3.若 2 sin2 ( B. 3

5

?

x ? ) ? 1 ? cos(? ? x) ,则 sin 2 x ? ( 4 2
B. 0 C.

A. ?1

1 2

4. 已知向量 a ? (cos? , sin? ) , 向量 b ? ( 3,?1) ,则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A.4,0 C. 4 2 ,0 B. 4 2 ,4 D.16,0

5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面 积为( A. ) B.

4? 3

32? 3

C. 4?

D. 16?

?y ? x 6. 已知 x, y 满足约束条件 ? ?3 y ? x ,则下列目标函数中,在点 ? ?x ? y ? 4
最小值的是( A. z ? 2 x ? y C. z ? ? ) B. z ? ?2 x ? y D. z ? 2 x ? y

(3,1) 处 取 得

1 x? y 2

1

7.执行右边的程序框图,若 p ? 0.7 ,则输出的 n 为( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5



8. 柜子里有 3 双不同的鞋, 随机地取出 2 只, 则取出的鞋一只是左脚的, 一只是右脚的, 但它们不成对的概率为 ( A.



1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

9. 已知函数 y ? e x ,若 f ( x) 的图像的一条切线经过点 ( ?1,0) ,则这条切线与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的三角形面积为 ( A. )

2 B.1 C. 2 D. e e 10. 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底
面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 C.直线 AC 上 11. 过双曲线 C :
x2 a2 ? y2 b2

) B.直线 BC 上 D.△ABC 内部

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于点 A,若以的右焦点 F 为圆

心,半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为原点) ,则双曲线的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 4 12

) D.
x2 y2 ? ?1 12 4

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 7

12. 已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时导函数 f ?( x) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x) ,若
2 ? a ? 4 ,则(

) B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 a ) D. f (log2 a) ? f (2 a ) ? f (3)

A. f (2 a ) ? f (3) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 a )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

1 13. 已知函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在 (0, ? ) 内是增函数,则 ? 的取值范围是 2

.

14. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,过点 F 且倾斜角为 60? 的直线 l 与抛物线 C 在第一、 四象限分别交于 A, B 两点,则
| AF | ? | BF |

.

15. 给出下列 4 个函数: ① f ( x) ? sin x ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ?
?y ? D ,使 f ( x) ? ? f ( y ) 成立的函数序号为

1 ; ④ f ( x) ? ln x , 则满足对定义域 D 内的 ?x ? D , x ?1
.
3 DE , 2

16. 正三角形 ABC 的边长为 2, D, E , F 分别在三边 AB, BC, CA 上, D 为 AB 的中点, DE ? DF ,且 DF ? 则 ?BDE ? .

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)
2

已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? (?1) n log2 an ,其前 n 项和为 Tn ,求 T2n ?1 .

18. (本小题满分 12 分) 某气象站观测点记录的连续 4 天里,AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y (单位 cm)的情况如下表 1: M 900 0.5 700 3.5 300 6.5 100 9.5

y

哈尔滨市某月 AQI 指数频数分布如下表 2: M 频数 (1)设 x ?
[0,200]

(200,400]

(400,600]

(600,800]

(800,1000]

3

6

12

6

3

M ,根据表 1 的数据,求出 y 关于 x 的回归方程; 100

?? ?x ? a ? ?b ? ;其中 b (参考公式: y

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y

?x
i ?1

?x ) ,a ? y ?b
? nx
2

2 i

(2)小张开了一家洗车店,经统计,当 M 不高于 200 时,洗车店平均每天亏损约 2000 元;当 M 在 200 至 400 时,洗车店平均每天收入约 4000 元;当 M 大于 400 时,洗车店平均每天收入约 7000 元;根据表 2 估计小 张的洗车店该月份平均每天的收入.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 为菱形,PD ? 平面 ABCD , AC ? 6, BD ? 8 , E 是棱 PB 上的动点,?AEC 面积的最小值是 3. (1)求证: AC ? DE ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知 F1 , F2 分别是椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, B 是椭圆的上顶点, BF2 的延长线交椭圆于点 A ,

过点 A 垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C .

4 1 (1)若点 C 坐标为 ( , ) ,且 | BF2 |? 2 ,求椭圆的方程; 3 3
(2)若 F1C ? AB , 求椭圆的离心率.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
ex xe x ? 1

. (2)当 x ? 0 时, f ( x) ?

(1)证明: 0 ? f ( x) ? 1 ;

1 ax ? 1
2

,求 a 的取值范围.

请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过

PM 的 中 点
接 PB 交 圆 (22 题图)
4

N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连

O 于点 D ,若 MC ? BC .
(1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,已知曲线 C 的参
? x ? 2 cos? 数方程为 ? ,M 为曲线 C 上任一点,过点 M 作 x 轴的垂线段 MN,垂足为 N, MN 中点 P 的轨迹方程 (? 为参数) ? y ? 2 sin?

为 C? . (1)求曲线 C ? 的参数方程;

? (2)已知曲线 C ? 上的两点 A( ?1 , ? ), B( ? 2 , ? ? ) (? ? [0, ? ]) ,求 ?AOB 面积的最小值及此时 ? 的值. 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? 2b |?| a | (| x ? 1 | ? | x ? 2 |) 恒成立,试求实数 x 的取值范 围.

5

一、选择题:CDDA

DBBB

哈六中 2015 届高三第三次模拟考试文科数学试题答案 CAAC 14. 3 15. ①③④ 16.

二、填空题:13. (0,1] 三、解答题:

?
3

?2a ? 4 ? a 2 ? a 4 17.(1)解:由 ? 3 得 a3 ? 8 ,??????2 分 ?a 2 ? a3 ? a 4 ? 28

? ?a ? 4 ?a 2 ? a 4 ? 2a3 ? 4 ? 20 由? 且 {an } 为递增数列,解得 ? 2 ,???????4 分 2 ? ?a 4 ? 16 ?a 2 ? a 4 ? a3 ? 64
故 a1 ? 1, q ? 2 ,则 a n ? a1q n?1 ? 2 n?1 ????????6 分 (2) bn ? an ? (?1) n log2 an ? 2 n?1 ? (?1) n (n ? 1) ????????8 分
T2 n ?1 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 2 n ? 2 ) ? [0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 3) ? (2n ? 2)] 2 2 n ?1 ? 1 ? [(1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? (2n ? 3 ? 2n ? 2)] 2 ?1 ? 2 2n -1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 2 n ?1 ? n ? 2 ?

??????12 分

18.解: (1) x ?

9 ? 7 ? 3 ?1 0.5 ? 3.5 ? 6.5 ? 9.5 ? 5, y ? ? 5 ????????2 分 4 4

?
i ?1

4

xi y i ? 9 ? 0.5 ? 7 ? 3.5 ? 3 ? 6.5 ? 1 ? 9.5 ? 58 ,

?x
i ?1

4

2 i

? 9 2 ? 7 2 ? 3 2 ? 12 ? 140 ?4 分

21 41 ? ? 58 ? 4 ? 5 ? 5 ? ? 21 , a ? ? 5 ? (? ) ? 5 ? ??????????6 分 b 2 20 4 20 140 ? 4 ? 5 21 41 ? ?? 关于的回归方程是 y ???????????7 分 x? 20 4 (2)根据表 2 知:30 天中有 3 天每天亏损约 2000 元,有 6 天每天收入约 4000 元,有 21 天每天收入约 7000 元,???????????9 分 1 故该月份平均每天的收入约为 ? (?2000? 3 ? 4000? 6 ? 7000? 21) ? 5500(元)???12 分 30 19. (1)证明:∵ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ∵ PD ? 平面 ABCD , ∴ AC ? PD ?????2 分 又 BD ? PD ? D ??????3 分
∴ AC ? 平面 PBD , DE ? 平面 PBD , ∴ AC ? DE ???????4 分 (2)解:连接 EC , EF ∵ AD ? CD 且 PD ? 平面 ABCD ,∴ PA ? PC 又∵ AB ? AC 且 PB 为公共边,则 ?PAB ≌ ?PBC ,∴ EA ? EC ,则 EF ? AC ?6 分

1 AC ? EF ? 3EF 2 当 ?AEC 面积的最小值是 3 时, EF 有最小值 1???????8 分
∵ AC ? 6 , ∴ S ?AEC ? ∵当 EF ? PB 时, EF 取最小值,∴ BE ? BF 2 ? EF 2 ? 15 , 由
8 EF BE 1 1 ,得 PD ? ,又 S ABCD ? AC ? BD ? ? 6 ? 8 ? 24 ?????10 分 ? PD BD 2 2 15

故 V P ? ABCD ?

1 1 8 64 15 S ABCD ? PD ? ? 24 ? ? ???????12 分 3 3 15 15
6

20. 解: (1)∵ | BF2 |? b 2 ? c 2 ? a ,

∴a ? 2 ∴



4 1 ∵点 C( , ) 在椭圆上, 3 3

②???????2 分 ?1 9b 2 x2 ? y 2 ? 1 ????????4 分 由①②解得 b 2 ? 1 ,故所求椭圆方程为 2

16

9a

2

?

1

(2)已知 F1 (?c,0), F2 (c,0), B(0, b) ,设 A( x, y ) ,∵ AC ? x 轴,∴ C ( x,? y) , 则 BF2 ? (c,?b) F1C ? ( x ? c,? y) , F2 A ? ( x ? c, y) , ∵ F1C ? F2 A ,∴ F1C ? F2 A ? x 2 ? c 2 ? y 2 ? 0 ∵ A 在椭圆上,∴
x2 a2 ? y2 b2 ?1

①???????????6 分
a4 a2 ? b2 , y2 ? b4 a2 ? b2



由①②解得 x 2 ?
b2 a2 ? b2

???7 分

∵ A 在第四象限,∴ x ?

a2 a2 ? b2

,y??



又∵ A, B, F2 三点共线,∴ BF2 ∥ F2 A , 故 cy ? bc ? bx ,④??????9 分 将③代入④得 ?
b2c a ?b
2 2

? bc ?

a 2b a ?b
2 2

,整理得 b 2 ? 2bc ? 0 ,即 b ? 2c ,???11 分

c 5 ? ???????12 分 a 5 1 21.解: (1)∵ e x ? 0 ,∴ f ( x) ? ,令 g ( x) ? x ? e ? x ,由 g ?( x) ? 1 ? e ? x =0 解得 x ? 0 , ?x x?e x (??,0) (0,??) 0

则 a 2 ? 5c 2 ,故 e ?

g ?( x) g ( x)

0

↘ 极小值 1 ↗ ∴ g ( x) ? 1 , 故 0 ? f ( x) ? 1 ???????5 分 (2)①若 a ? 0 ,则 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? ②若 a ? 0 ,则当 0 ? x ? ③若 a ? 0 ,则 f ( x) ?
1 ?a

1 ax ? 1 1
2

,不等式不成立;????6 分

时,

ax 2 ? 1

? 1 ,不等式成立;??????7 分

1 ax ? 1
2

等价于 (ax 2 ? x ? 1)e x ? 1 ? 0

设 h( x) ? (ax 2 ? x ? 1)e x ? 1 ,则 h?( x) ? x(ax ? 2a ? 1)e x 若a ?

1 ,则当 x ? (0,??) 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ;????9 分 2

若0? a ?

1 1 ? 2a ,则当 x ? (0, ) 时, a 2 h ?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,不等式不恒成立。????????11 分

1 综上, a 的取值范围是 [ ,??) ??????????????12 分 2
22.证明: (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴
2 2

PN NA ? , BN PN
7

又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . ???????5 分

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形.??????10 分 23.解: (1)设 P( x, y ) M (2 cos ? ,2 sin? ) ∵ MN ? x 轴于点 N ,∴ N (2 cos? ,0)
? x ? 2 cos ? (? 为参数)????4 分 ∵ P 为 MN 的中点,∴ P 点轨迹的参数方程为 ? ? y ? sin ?

(2) C ? 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,化为极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? 4? 2 sin2 ? ? 4 ???5 分 4

∵ A, B 在 C ? 上,∴ ?12 cos 2 ? ? 4?12 sin2 ? ? 4 , ? 2 2 sin2 ? ? 4? 2 2 cos 2 ? ? 4 解得 ?1 ?
2 1 ? 3 sin ?
2

, ?2 ?

2 1 ? 3 cos 2 ?

,???????6 分

1 2 2 4 S ?AOB ? ? 1?? 2 ? ? ? ?????9 分 2 2 2 2 2 1 ? 3 sin ? ? 1 ? 3 cos ? 1 ? 3 sin ? ? 1 ? 3 cos ? 5 2

当且仅当 1 ? 3 sin2 ? ? 1 ? 3 cos 2 ? 时取“=”,即 sin 2 ? ? cos 2 ? ,

3? 或 ????????10 分 4 4 | a ? b | ? | a ? 2b | b ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ,设 ? t , 24.解:原式等价于 |a| a
∵ ? ? [0, ? ] , ∴ ? ? 则原式变为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 对任意 t 恒成立. ······ 2 分

?

1 ? 3t , t ? ? 2 ? 1 3 1 ? 因为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |? ?? t ? 2,?1 ? t ? ,最小值为 t ? 时取到,为 . · 6 分 2 2 2 ? ? ? 3t , t ? ?1 ? ?
? 2 x ? 3,x ? 2 ? 3 9 3 所以有 ≥ x ? 1 ? x ? 2 ? ?1, 1<x<2 , 解得 x ? [ , ] . ······· 10 分 ? 3 ? 2 x,x ? 1 4 4 2 ?

8


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