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2011年北京市高考数学理科试题及答案WORD版


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 (1)已知集合 P=

{x︱x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 (A)(-∞, -1] (2)复数 (A)i
i?2 ? 1 ? 2i

(B)[1, +∞)

(C)[-1,1]

(D)(-∞,-1] ∪[1,+∞)

(B)-i

4 3 (C) ? ? i 5 5

4 3 (D) ? ? i 5 5

(3)在极坐标系中,圆ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标系是

? (A) (1, ) 2
(A)-3 (B)(C)
1 3 1 2

? (B) (1, ? ) 2

(C)

(1,0)

(D)(1, ? )

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为

(D)2 (5)如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论: 1 AD+AE=AB+BC+CA; ○ 2 AF·AG=AD·AE ○ ③△AFB ~△ADG 其中正确结论的序号是 (A)①② (C)①③ (B)②③ (D)①②③

(6) 根据统计, 一名工作组装第 x 件某产品所用的时间 (单

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位:分钟)为

(A,C 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组

装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是 (A)75,25 (B)75,16 (C)60,25 (D)60,16

(7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是

(A) 8

(B) 6 2

(C)10

(D) 8 2

(8) 设 A? 0 ,0 ? , B ? 4,0? ,C ? t ? 4, 4? , D ?t,4??t ? R? .记 N ? t ? 为平行四边形 ABCD 内部(不 含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N ? t ? 的值域为 (A) ?9,10,11? (C) ?9,11,12? 第二部分 (非选择题 共 110 分) (B) ?9,10,12? (D) ?10,11,12?

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
?B ? (9) 在 ?ABC 中。 若 b=5,

?
4

, tanA=2, 则 sinA=____________; a=_______________。

(10)已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ) 。若 a-2b 与 c 共线,则 k=___________________。 (11)在等比数列{an}中,a1=
1 ,a4=-4,则公比 q=______________; 2

a1 ? a2 ? ... ? an ? _________________。
(12)用数字 2,3 组成四位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共有__________ 个。 (用数字作答)

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?2 x?2 ? , (13)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则数 k 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
的取值范围是_______ (14) 曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (-1, 0) 和 F?2 (1, 0) 的距离的积等于常数 2( >1) 的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
1 2 a 。 2



三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分)

? 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 。 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期:
? ? ?? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

(16) (本小题共 14 分)
PA ? 平面 ABCD , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60? .

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长. (17)本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

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(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。 (注:方差 s 2 ? 数) (18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e 。
2 x k
2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… xn 的平均 ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;
1 (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ≤ ,求 k 的取值范围。 e

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :
x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. (20)(本小题共 13 分) 若数列 An ? a1, a2, ..., an (n ? 2) 满足 an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1) ,数列 An 为 E 数列,记

S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an .
(Ⅰ)写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0?如 果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

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