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东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷(文科)


东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则 A∩B=() A.[﹣1,0) B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞, 1) ∪[2, +∞) 2. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 =() A.1﹣i B.1+i C.﹣

1﹣i D.﹣1+i

3. (5 分)向量 与 满足| |=1,| |= A. B.

,且 C. 2

,则|

|为() D.2
2 2 2

4. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =b +c ﹣bc,bc=4, 则△ ABC 的面积为() A.
2

B. 1

C.

D.2

5. (5 分)x<2 是 x ﹣3x+2<0 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 为 的内容可以是() ,则判断框中填写

A.n=6

B.n<6

C . n≤6

D.n≤8

7. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的体积为() A. B.64 C. D.

8. (5 分)函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω≠0) ,对任意 x 都有 f( 等于() A.2 或 0

+x)=f(

﹣x) ,则 f(



B . ﹣2 或 2

C. 0

D.﹣2 或 0

9. (5 分)在平面直角坐标系中,若 P(x,y)满足

,则 x+2y 的最大值是()

A.2

B. 8
2

C.14

D.16 (x﹣1)与 C 交于 A,B(A 在 x

10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y= 轴上方)两点,若 A. =m B. ,则 m 的值为() C. 2

D.3

11. (5 分)若关于 x 的方程|loga|x+b||=b(a>0,a≠1) ,有且只有两个解,则() A.b=1 B.b=0 C.b>1 D.b>0 12. (5 分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)成为 M 函数:①对 任意的 x∈[0,1]恒有 f(x)≥0;②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立,则下列函数不是 M 函数的是() 2 x 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=2 ﹣1 C.f(x)=ln(x +1) D.f(x)=x +1

二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分)函数 y= 的单调递增区间是.

14. (5 分)将 2014-2015 学年高一 9 班参加社会实践编号分别为:1,2,3,…48 的 48 名学 生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,29 号,41 号学生在样本中, 则样本中还有一名学生的编号是. 15. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f (x﹣2)≥0 的解集是. 16. (5 分)如图,半球 O 内有一内接四棱锥 S﹣ABCD,底面 ABCD 为正方形,SO⊥底面 ABCD,该四棱锥的体积为 ,则该半球的体积为.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=﹣9,S9=﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>﹣ . .

18. (12 分)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号分别为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练, 每人投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班6 5 7 9 8 乙班4 8 9 7 7 (1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)? (2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次 数多于乙班同学投中次数的概率. 19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=45°, PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E 为 AB 上一点,且 =k,0<k<1,点 F 为 PD 中点.

(1)若 k= ,求证:AF∥平面 PEC; (2)是否存在一个常数 k,使得三棱锥 C﹣PEB 的体积等于四棱锥 P﹣ABCD 的体积的 ,若 存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

20. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的上顶点为(0,2) ,且离心率为



(Ⅱ)证明:过圆 x +y =r 上一点 Q(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r ; 2 2 (Ⅲ)过椭圆 C 上一点 P 向圆 x +y =1 引两条切线,切点分别为 A,B,当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点时,求|MN|的最小值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax ,常数 a∈R. (Ⅰ)若 a=1,过点(1,0)作曲线 y=f(x)的切线 l,求 l 的方程; (Ⅱ)若函数 y=f(x)与直线 y=x﹣1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围.
3 2

2

2

2

2

四、选修题[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图所示, AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连接 OC,D 为圆 O 上一点, 且 AD∥OC. (1)求证:CO 平分∠DCB; (2)已知 AD?OC=8,求圆 O 的半径.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)>2 的解集;

(Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立,求实数 t 的取值范围.

2

东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学二模试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则 A∩B=() A.[﹣1,0) B.[﹣1,0] C.[0,1] D.(﹣∞, 1) ∪[2, +∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:∵A=[﹣1,1],B=[0,2], ∴A∩B=[0,1], 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 =() A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解: = =1﹣i,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

3. (5 分)向量 与 满足| |=1,| |= A. B.

,且 C. 2

,则|

|为() D.2

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的模的平方与数量积的关系求解即可. 解答: 解:向量 与 满足| |=1,| |= ,且 ,

则 | |=

, = = .

共线:B. 点评: 本题考查向量的数量积的运算,向量的模的求法,考查计算能力. 4. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =b +c ﹣bc,bc=4, 则△ ABC 的面积为() A. B. 1 C. D.2
2 2 2

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知及余弦定理可求 cosA,从而可求 sinA 的值,结合已知由三角形面积公式即可 得解. 解答: 解:∵a =b +c ﹣bc, ∴由余弦定理可得:cosA= ∴可得 A=60°,sinA= ∵bc=4, ∴S△ ABC= bcsinA= = . , = = ,又 0<A<π,
2 2 2

故选:C. 点评: 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论, 属于基本知识的考查. 5. (5 分)x<2 是 x ﹣3x+2<0 成立的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 解不等式 x ﹣3x+2<0,然后利用集合法,可得答案. 2 解答: 解:解 x ﹣3x+2<0 得:1<x<2, ∵{x|x<2}?{x|1<x<2}, 2 故 x<2 是 x ﹣3x+2<0 成立的必要不充分条件, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是充要条件,熟练掌握充要条件的定义是解答的关键.
2 2

6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 为 的内容可以是()

,则判断框中填写

A.n=6

B.n<6

C . n≤6

D.n≤8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=8 时,S= 意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=2 满足条件,S= ,n=4 满足条件,S= 满足条件,S= = ,n=6 = ,n=8 , ,由题

,故判断框中填写的内容可以是 n≤6.

由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为

故判断框中填写的内容可以是 n≤6, 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 S 的值是解题的关键, 属于基础题.

7. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的体积为() A. B.64 C. D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长 度都为 4,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥, 且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为 4, ∴其体积 V= ×4×4×4= ,

故选 D. 点评: 本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视 图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式.

8. (5 分)函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω≠0) ,对任意 x 都有 f( 等于() A.2 或 0

+x)=f(

﹣x) ,则 f(



B . ﹣2 或 2

C. 0

D.﹣2 或 0

考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,从而求得 f( )的值. ﹣x) ,

解答: 解:由函数 f(x)=2cos(ωx+φ) (ω≠0) ,对任意 x 都有 f( 可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,故 f( )=±2,

+x)=f(

故选:B. 点评: 本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.

9. (5 分)在平面直角坐标系中,若 P(x,y)满足

,则 x+2y 的最大值是()

A.2 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 8

C.14

D.16

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域, , ,由图象可知当直线 y=﹣ 的截距最大,此时 z 最大. 经过点 A 时,

由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣



,得



即 A(4,2) , 此时 z 的最大值为 z=4+2×2=8. 故选:B.

点评: 本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意 义,是线性规划的一种简单应用,对学生的数形结合思想提出一定要求. 10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y= 轴上方)两点,若 A. =m B. ,则 m 的值为() C. 2 D.3
2

(x﹣1)与 C 交于 A,B(A 在 x

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 由题意画出图形,联立方程组求出 A,B 的坐标,进一步得到|AF|,|BF|的长度,结 合 =m 把 m 转化为线段的长度比得答案.

解答: 解:如图,

联立

,解得



∵A 在 x 轴上方,∴ 则|AF|=xA+1=4,|BF|= 由 =m ,得 .

, ,

故选:D. 点评: 本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学 转化思想方法,是中档题. 11. (5 分)若关于 x 的方程|loga|x+b||=b(a>0,a≠1) ,有且只有两个解,则() A.b=1 B.b=0 C.b>1 D.b>0 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意得 loga|x+b|=b,或 loga|x+b|=﹣b;从而分类讨论以确定方程解的个数即可. 解答: 解:∵|loga|x+b||=b, ∴loga|x+b|=b,或 loga|x+b|=﹣b; ①若 b=0,则 x=±1,成立; ②若 b>0,则|x+b|=a ,|x+b|=a ; 此时有四个解; 故不成立; 故选 B. 点评: 本题考查了绝对值方程的求解及对数函数与指数函数的性质应用,同时考查了分类 讨论的思想,属于中档题.
b
﹣b

12. (5 分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)成为 M 函数:①对 任意的 x∈[0,1]恒有 f(x)≥0;②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立,则下列函数不是 M 函数的是() 2 x 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=2 ﹣1 C.f(x)=ln(x +1) D.f(x)=x +1 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 M 函数的定义,由函数的单调性、函数的值域,或作差比较两个函数值的大小 的方法判断每个选项的函数是否满足条件①②,即可判断该函数是否为 M 函数. 解答: 解: A. ( f x) =x , 该函数显然满足①, ( f x1+x2) = (x1)+f(x2) ,即满足②; ∴该函数是 M 函数; x B.f(x)=2 ﹣1,x∈[0,1]时,显然 f(x)≥0,即满足①; x1≥0, x2≥0, ( f x1+x2) = ∴该函数为 M 函数; C.f(x)=ln(x +1) ,显然满足①; ,f(x1)+f(x2) = ;
2 2

≥f

, ( f x1+x2) ﹣[f (x1) +f (x2) ]=

≥0;

x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1; ∴2x1x2≥(x1x2)?(x1x2) ; ∴f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) ,即满足②; ∴该函数是 M 函数; 2 D.f(x)=x +1,当 x1=0,x2=1 时,f(x1+x2)=2,f(x1)+f(x2)=3; ∴不满足②; ∴该函数不是 M 函数. 故选:D. 点评: 考查对 M 函数定义的理解,对数函数、指数函数的单调性,根据函数的单调性求函 数的范围,作差法比较两个函数值的大小,根据函数的单调性比较 f(x1+x2)与 f(x1)+f(x2) 的大小关系. 二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分)函数 y= 的单调递增区间是[0, ].

考点: 两角和与差的余弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 化简可得 y=sin(x+ 增区间,结合 x∈[0, ) ,解不等式 2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ 可得函数所有的单调递

]可得.

解答: 解:化简可得 y=sinxcos 由 2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+

+cosxsin

=sin(x+

) ,

可得 2kπ﹣

≤x≤2kπ+ ,

,k∈Z, ],

当 k=0 时,可得函数的一个单调递增区间为[﹣ 由 x∈[0, ]可得 x∈[0, ]. ],

故答案为:[0,

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数的单调性,属基础题. 14. (5 分)将 2014-2015 学年高一 9 班参加社会实践编号分别为:1,2,3,…48 的 48 名学 生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,29 号,41 号学生在样本中, 则样本中还有一名学生的编号是 17. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可. 解答: 解:样本间距为 48÷4=12, 则另外一个编号为 5+12=17, 故答案为:17. 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,求出样本间隔是解决本题的关键. 15. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f (x﹣2)≥0 的解集是{x|x≥3 或 x≤1}. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,即可得到不等式的解 集. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0, ∴不等式 f(x﹣2)≥0 等价为 f(|x﹣2|)≥f(1) , 即|x﹣2|≥1, 即 x﹣2≥1 或 x﹣2≤﹣1, 即 x≥3 或 x≤1, 故不等式的解集为{x|x≥3 或 x≤1}, 故答案为:{x|x≥3 或 x≤1}. 点评: 本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键,综合考查函数性质的应用. 16. (5 分)如图,半球 O 内有一内接四棱锥 S﹣ABCD,底面 ABCD 为正方形,SO⊥底面 ABCD,该四棱锥的体积为 ,则该半球的体积为 .

考点: 专题: 分析: 解答: 则 AB=

棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 空间位置关系与距离. 设出球的半径,利用棱锥的体积公式,求解半径,然后求解半球的体积. 解:设球的半径为 r,由题意可知 SO=AO=OC=OD=OB=r. , = ,

四棱锥的体积为: 解得 r= , = . .

半球的体积为: 故答案为:

点评: 本题考查四棱锥 SABCD 的体积的计算,确定球的半径关系式是关键. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=﹣9,S9=﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>﹣ . .

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)设数列{an}的公差为 d,由于 a1+a7=﹣9,S9=﹣ ,利用等差数列的通项公式

及前 n 项和公式可得

,解出即可;

(Ⅱ)利用等差数列的前 n 项和公式可得 Sn= ,利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明. 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公差为 d, ∵a1+a7=﹣9,S9=﹣ ,

,于是 bn=﹣

=﹣





解得

,∴

=﹣



(Ⅱ)证明:∵Sn= ∴bn= =﹣ =﹣

= ,



∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn=﹣ +…+ = = . ∴Tn>﹣ . 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号分别为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练, 每人投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班6 5 7 9 8 乙班4 8 9 7 7 (1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)? (2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次 数多于乙班同学投中次数的概率. 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数;列举法计算基本事件数及事件发生 的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据两组数据求出两组数据的方差,比较可得哪组学生成绩更稳定; (2)分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的 取法种数,代入古典概型概率公式,可得答案. 解答: 解: (1)两个班数据的平均值都为 7,..…(2 分) 甲班的方差 乙班的方差 因为 < = [(6﹣7) +(5﹣7) +(7﹣7) +(9﹣7) +(8﹣7) ]=2,..…(3 分) = [(4﹣7) +(8﹣7) +(9﹣7) +(7﹣7) +(7﹣7) ]= ,甲班的方差较小,所以甲班的投篮水平比较稳定…(6 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,..…(4 分)

(Ⅱ)甲班 1 到 5 号记作 a,b,c,d,e,乙班 1 到 5 号记作 1,2,3,4,5, 从两班中分别任选一个同学,得到的基本样本空间为 Ω={a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,d1,d2,d3,d4,d5, e1,e2,e3,e4,e5}, 共 25 个基本事件组成,这 25 个是等可能的;..…(8 分) 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作 A, 则 A={a1,b1,c1,d1,d2,d4,e1,e4,e5},A 由 10 个基本事件组成,..…(10 分) 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 = …(12 分)

点评: 本题考查了方差的计算,古典概型概率计算公式,掌握古典概型概率公式:概率=所 求情况数与总情况数之比是解题的关键. 19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=45°, PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E 为 AB 上一点,且 =k,0<k<1,点 F 为 PD 中点.

(1)若 k= ,求证:AF∥平面 PEC; (2)是否存在一个常数 k,使得三棱锥 C﹣PEB 的体积等于四棱锥 P﹣ABCD 的体积的 ,若 存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)作 FM∥CD 交 PC 于 M,证明四边形 AEMF 为平行四边形,得到 AF∥EM, 利用直线与平面平行的判定定理证明直线 AF∥平面 PEC. (2)通过求解 VC﹣PEB=VP﹣CEB,VP﹣ABCD,列出方程即可求解常数 k. 解答: (1)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M.∴FM∥AE…(1 分) ∵点 F 为 PD 中点,∴FM= CD.∵k= ,∴AE= AB=FM, ∴AEMF 为平行四边形,…(2 分) ∴AF∥EM,…(3 分) ∵AF?平面 PEC,EM?平面 PEC, ∴直线 AF∥平面 PEC.…(5 分) (2)解:VC﹣PEB=VP﹣CEB= = …(9 分) = …(7 分)

…(10 分) 所以存在常数 k= …(12 分) 点评: 本题考查几何体的体积的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象 能力以及计算能力.

20. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的上顶点为(0,2) ,且离心率为



(Ⅱ)证明:过圆 x +y =r 上一点 Q(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r ; 2 2 (Ⅲ)过椭圆 C 上一点 P 向圆 x +y =1 引两条切线,切点分别为 A,B,当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点时,求|MN|的最小值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意可得 b=2,再由离心率公式可得 a=4,b=2,即可得到椭圆方程; (Ⅱ)讨论切线的斜率存在和不存在,由直线的点斜式方程即可得到切线方程; (Ⅲ)设点 P 坐标为(xP,yP) ,求得过 A,B 的切线方程,可得切点弦 AB 方程,再由两点 的距离公式和基本不等式即可得到最小值. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意可得 b=2,e= = 即有 a=4,b=2, 则椭圆 C 方程为 + =1; ,又 c =a ﹣b ,
2 2 2

2

2

2

2

(Ⅱ)证明:当切线的斜率 k 存在时,设切线方程为 y﹣y0=k(x﹣x0) , 又因为 k=﹣ .

故切线方程为 y﹣y0=﹣

(x﹣x0) ,即有 x0x+y0y=r .
2

2

当 k 不存在时,切点坐标为(±r,0) ,对应切线方程为 x=±r,符合 x0x+y0y=r , 2 综上,切线方程为 x0x+y0y=r ; 2 2 (Ⅲ)设点 P 坐标为(xP,yP) ,PA,PB 是圆 x +y =1 的切线,切点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 过点 A 的圆的切线为 x1x+y1y=1,过点 B 的圆的切线为 x2x+y2y=1. 由两切线都过 P 点,x1xP+y1yP=1,x2xP+y2yP=1. 则切点弦 AB 的方程为 xPx+yPy=1,由题知 xPyP≠0, 即有 M( ,0) ,N(0, ) ,

|MN| =

2

+

=(

+

)?(

+



=

+ +

?
2

+ ?
2



+ +2

=



当且仅当 xP =

,yP = 时取等号,

则|MN|≥ ,|MN|的最小值为 . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和圆相切的条件,以及直线方程的运用,同 时考查基本不等式的运用:求最值,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax ,常数 a∈R. (Ⅰ)若 a=1,过点(1,0)作曲线 y=f(x)的切线 l,求 l 的方程; (Ⅱ)若函数 y=f(x)与直线 y=x﹣1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的图象. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)把 a=1 代入函数解析式,设出切点坐标,利用导数求出过切点的切线方程, 代入点(1,0) ,求得切点横坐标,则过(1,0)点的切线方程可求; 2 3 (Ⅱ)把曲线 y=f(x)与直线 y=x﹣1 只有一个交点转化为关于 x 的方程 ax =x ﹣x+1 只有一 个实根,进一步转化为方程 只有一个实根.构造函数
3 2

,利用导数分析其单调性,并画出其图象大致形状,数形结合可得方程 只有一个实根时的实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x ﹣x , 设切点 P 为(x0,y0) ,则 ∴过 P 点的切线方程为 该直线经过点(1,0) , ∴有 ,化简得 , , .
3 2

解得 x0=0 或 x0=1, ∴切线方程为 y=0 和 y=x﹣1; 2 3 (Ⅱ)曲线 y=f(x)与直线 y=x﹣1 只有一个交点,等价于关于 x 的方程 ax =x ﹣x+1 只有一 个实根. 显然 x≠0, ∴方程 只有一个实根.

设函数
3

,则
2



设 h(x)=x +x﹣2,h′(x)=3x +1>0,h(x)为增函数,又 h(1)=0. ∴当 x<0 时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)为减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数; ∴g(x)在 x=1 时取极小值 1. 又当 x 趋向于 0 时,g(x)趋向于正无穷;当 x 趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷; 又当 x 趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷. ∴g(x)图象大致如图所示:

∴方程

只有一个实根时,实数 a 的取值范围为(﹣∞,1) .

点评: 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程,会利用导数研究函数的单调 区间以及根据函数的增减性得到函数的最值. 考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方 法,是压轴题. 四、选修题[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连接 OC,D 为圆 O 上一点, 且 AD∥OC. (1)求证:CO 平分∠DCB; (2)已知 AD?OC=8,求圆 O 的半径.

考点: 相似三角形的判定. 专题: 推理和证明. 分析: (1)首先利用三角形的全等的判定证明△ BCD 为等腰三角形,从而得出结论. (2)利用三角形的相似进一步得出线段成比例最后转化出结果. 解答: 证明: (1)连接 OD,BD, AB 是直径, 所以:AB⊥BD, OC⊥BD.…(1 分)

AD∥OC, 所以:∠BOE=∠DOE 设 BD∩OC=E,且 OD=OB,OE=OE, 所以:△ BOE≌△DOE, 则:BE=DE,BD⊥OC, 所以:CO 平分∠DCB. (2)由于:AO=OD, 所以:∠OAD=∠ODA, AD∥OC, 所以:∠DOC=∠ODA, 则:∠OAD=∠DOC,…(7 分) 所以:Rt△ BDA∽Rt△ CDO, 所以:AD?OC=AB?OD=2OD =8 所以所求的圆的半径为 2. 点评: 本题考查的知识要点:三角形全等和三角形相似的判定和性质的应用,平行线性质 的应用. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .
2

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)圆 C 的参数方程为 ,通过三角函数的平方关系式消去参数 θ,

得到普通方程.通过 x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆 C 的极坐标方程. (2)求出点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离,表示出△ ABM 的面积,通过两角和 的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ ABM 面积的最大值. 解答: 解: (1)圆 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数)

所以普通方程为(x﹣3) +(y+4) =4. (2 分) , 2 2 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得(ρcosθ﹣3) +(ρsinθ+4) =4, 2 化简可得圆 C 的极坐标方程:ρ ﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0. (5 分) (2)点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离为 △ ABM 的面积 所以△ ABM 面积的最大值为 (10 分) (7 分)

点评: 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化、 平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形 结合思想,对运算求解能力有一定要求. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)>2 的解集; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

考点: 绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)根据函数 f(x)=

,分类讨论,求得 f(x)>2 的解集.

(Ⅱ)由 f(x)的解析式求得 f(x)的最小值为 f(﹣1)=﹣3,再根据 f(﹣1)≥t ﹣ ,求 得实数 t 的取值范围.

2

解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|=



当 x<﹣1 时,不等式即﹣x﹣4>2,求得 x<﹣6,∴x<﹣6. 当﹣1≤x<2 时,不等式即 3x>2,求得 x> ,∴ <x<2. 当 x≥2 时,不等式即 x+4>2,求得 x>﹣2,∴x≥2. 综上所述,不等式的解集为{x|x> 或 x<﹣6}.
2

(Ⅱ)由以上可得 f(x)的最小值为 f(﹣1)=﹣3,若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立, 只要﹣3≥t ﹣ t,即 2t ﹣7t+6≤0,求得 ≤t≤2. 点评: 题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数 学思想,属于中档题.
2 2


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