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3.2.1直线的方向向量与平面的法向量


在平面向量中,我们借助向量研究了平 面内两条直线平行、垂直等位置关系。
那么,如何用向量来刻画空间的 两条直线、直线与平面、平面和平面 的位置关系呢?

§3.2空间向量的应用

为了用向量来研究空间的线面位置关系, 首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”

那么, 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”?

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

学习目标:
1.理解直线的方向向量与平面的法向量; 2.会用待定系数法求平面的法向量

自学指导:
1.什么叫直线的方向向量与平面的法向量? 2.一个确定的平面的法向量是唯一的吗? 3.求平面的法向量一般用什么方法? 4.例1还可以用传统的几何法来证明吗?请比较两种方 法的优劣? 5.例2的结论说明什么?在平面中的相应结论是什么样 的?你能够写出来吗?

自学检测:

P87练习1

一、直线的方向向量
定义:直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量 叫做直线 l 的方向向量

二、平面的法向量

定义:如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直 于平面 ? ,那么称向量 n 垂直于平面 ,记作 n ? ? , 此时,我们把向量 n 叫做平面 的法向量

?

?

l

a

?

A ?

图3.2 ? 1?4 ?

例1.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1中, 求证: DB1是平面 ACD1 的法向量 例2.在空间直角坐标系内,设平面 ? 经过 点 P( x0 , y0 , z0 ) ,平面 ? 的法向量为 e ? ( A,B,C) ,M ( x, y, z ) 是平面内任意一点, 求 x, y , z 满足的关系式
思考:已知直线上一点和直线的方向向量,这条 直线就唯一确定.那么,已知平面内一点和平面的 法向量,这个平面是否唯一确定?

分层训练:
必做题:P87 选做题:P98 练习2 习题11(1)

作业:P97

习题2


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