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2008年新知杯上海市高中数学竞赛


2009 年第 6 期

35

竞赛之窗

2008 年新知杯上海市高中数学竞赛
   说明 : 解答本试卷不得使用计算器 . 一、 填空题 ( 第 1~4 小题每小题 7 分 ,第 5~8 小题 ,每小题 8 分 ,共 60 分)
1. 已知恒等式
x + a1 x + a2 x + a

3 x + a4
4 3 2

离的平方和为 S . 当 k 变化时 , S 的最小值为 .
8. 正整数 n 使得集合 {1 ,2 , …,2 008} 的 每一个 n 元子集中都有 2 个元素 ( 可以相

= ( x + 1 ) + b1 ( x + 1 ) + b2 ( x + 1) +
b3 ( x + 1) + b4 .

4

3

2

用 a1 、 2 、 3 、 4 表 示 b3 , 那 么 , b3 = a a a
. 2. 有一个 19 × 的正方形棋盘 , 从中任 19

同) ,它们的和是 2 的正整数幂 . 则 n 的最小 值是 . 二、 解答题 ( 共 60 分) 9. ( 14 分) 已知数列{ an } 的通项为
an = 1 + 2 + …+ n ( n ∈N+ ) ,

把此数列中所有 3 的倍数依次取出 , 构成一 个新的数列 b1 , b2 , …, bm , …. 求数列{ bm } 的 前 2 m 项的和 S 2 m .
10. ( 14 分 ) 在 △ABC 中 , BC = a , CA =
b ,以边 AB 为一边长向外作正方形 AB EF , O

取两条水平线 ,两条垂直线 . 围成的图形恰好 是正方形的概率是 . 3. 一条长为 4 的线段 AB 在 x 轴正半轴 上移动 ,另一条长为 2 的线段 CD 在 y 轴正 半轴上移动 . 如果这两条线段的 4 个端点 A 、 B 、 、 四点共圆 , 则这个圆的圆心轨迹是 C D . 4. 已知 a 、 是正实数 , n ∈N+ . 则函数 b
f ( x) =

( x2 n - a) ( b - x2 n ) ( x2 n + a) ( b + x2 n ) .

的最大值是

5. 如 图 1 , 正 方

形 ABCD 所在平面与 正方形 AB EF 所在平 面构成 45° 的二面角 . 则 异 面 直 线 AC 与
B F 所成角的大小为

为正方形 AB EF 的中心 , M 、 分别为边 BC 、 N CA 的中点 . 当 ∠BCA 变化时 , 求 OM + ON 的最大值 . 11. ( 16 分 ) 用 A ( n , k ) 表示集合 {1 ,2 , …, n}的不含连续整数的 k 元子集的个数 . 求 A ( n , k) . 12. ( 16 分) 在直角坐标平面上 , 称横 、 纵 坐标都是有理数的点为有理点. 求满足如下 条件的最小正整数 k : 每一个圆周上含有 k 个有理点的圆 , 它的圆周上一定含有无穷多 个有理点 .

图1

.

参考答案
一 、 - 4 + 3 a1 - 2 a2 + a3 . 1. 在已知恒等式中令 x = - 1 得 b4 = 1 - a1 + a2 - a3 + a4 . 移项整理得 ( x4 - 1) + a1 ( x3 + 1) + a2 ( x2 - 1) + a3 ( x + 1)
4 3 2 = ( x + 1) + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) + b3 ( x + 1) ,

6. 数列{ an }定义如下 :
a1 = 1 , a2 = 3 ,

) an + 2 = 2 a n + 1 - a n + 2 ( n = 1 ,2 , … .

则它的前 n 项和为

.

7. 直角坐标平面上的 4 个点 A ( 1 ,2 ) 、
B ( 3 ,1) 、 ( 2 ,3) 、 ( 4 ,0) 到直线 y = kx 的距 C D

36
2 即  ( x + 1) [ ( x - 1) ( x + 1) + 2  a1 ( x - x + 1) + a2 ( x - 1) + a3 ]

中 等 数 学

当 t >0时,
f = - 1+

2 ( a + b) ( a + b) + t +
ab t
2

= ( x + 1) [ ( x + 1) + b1 ( x + 1) +

3

2

 b2 ( x + 1) + b3 ] . 故 ( x - 1) ( x + 1) + a1 ( x - x + 1) + a2 ( x - 1) + a3
3 2 = ( x + 1) + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) + b3 . 2 2

≤- 1 +

2 ( a + b) = ( a + b) + 2 ab

aa+

b b

,

当且仅当 t =

ab时 ,上式等号成立 .
2

再令 x = - 1 得
b3 = - 4 + 3 a1 - 2 a2 + a3 .

所以 , f ( x ) 的最大值为
5. arccos 2- 2 . 4
AC? F B

aa+

b b

.

2.

13 . 190
2 2

边长为 1 的正方形有 19 个 , 边长为 2 的正方形有 18 个 , …… 边长为 19 的正方形 有 1 个 . 故正方形共有
19 × × 20 39 ( 个) . 1 + 2 + …+ 19 = 6
2 2 2 2

不妨设正方形的边长为 1. 则
cos AC , B F〉 〈 = = = = 2 ?2

所求的概率为
19 × × 20 39 13 2 2 P= ÷ 20 C20 = C . 6 190 3. x - y = 3 ( x > 2 , y > 1) .
2 2

( AD + DC) ? BA + A F) ( 2
AD ? + AD ? F + DC? + DC? F BA A BA A

2 0 + cos 45° ( - 1) + 0 + 2- 2 = . 2 4

如图 2 ,设圆心 M ( x , y ) ( x > 2 , y > 1) . 则
A ( x - 2 ,0) 、 B ( x + 2 ,0) 、 C (0 , y - 1) 、 D ( 0 , y + 1) .

因此 , AC 与 B F 所成角的大小为
arccos 6. 2- 2 . 4

1 2 n ( n + 2) . 3

由| MA | = | MC| , 得2 + y = x +1 .
x - y = 3 ( x > 2 , y > 1) .
2 2 2 2 2 2 2

2

2

由题设得 an + 2 - an + 1 = ( an + 1 - an ) + 2.
图2

则数列 { an + 1 - an } 是公差为 2 的等差数列 , 首项为 a2 - a1 = 2. 故 an + 1 - an = 2 n . 于是 ,
an = ( a n - an - 1 ) + …+ ( a2 - a1 ) + a1

故所求的轨迹是一段双曲线 ,其方程为

4.

aa+
2n

b b

.

= 2 ( n - 1) + …+ 2 + 1 = n ( n - 1) + 1 ,
n n

令 t = x . 则 t ≥ ,且 0
f =

Sn =

k =1



[ k ( k - 1) + 1] = 6 -

k =1

∑( k
2

2

- k + 1) + n

( t - a) ( b - t ) ( t + a) ( b + t ) - t + ( a + b) t - ab 2 t + ( a + b) t + ab 2 ( a + b) t . t + ( a + b) t + ab
2 2

= =

n ( n + 1) ( 2 n + 1)

n ( n + 1)

=

1 2 n ( n + 2) . 3 185.

7. 22 -

= - 1+

设点 A 、 、 、 到直线 kx - y = 0 的距 B C D 离分别为 d1 、2 、3 、4 . 则 d d d

当 t = 0 时 ,f = - 1 ;

2009 年第 6 期

37

d1 = d3 =

| k - 2|
k +1
2

, d2 = , d4 =

| 3 k - 1|
k +1
2

, .

上面每一个集合都有 2 个元素 ( 可以相 同) ,它们的和是 2 的幂 . 故{1 ,2 , …,2 008}的 每个 1 003 元子集 , 或含有 {4 ,16 ,32 ,1 024} 中的一个元素 , 或含有前 1 002 个集中的某 一个 . 从而 ,有 2 个元素 ( 可以相同) , 它们的 和是 2 的幂 . 综上所述 , n 的最小值为 1 003. 二 、 显然 , an = 9.
n ( n + 1)

| 2 k - 3|
k +1
2 2

| 4 k|
k +1
2

( k - 2) + (3 k - 1) 2 + (2 k - 3) 2 + (4 k) 2 故 S= 2 k +1 30 k - 22 k + 14 = . 2 k +1
2 于是 , ( 30 - S ) k - 22 k + ( 14 - S ) = 0. 2

2

.

当 S = 30 时 , k = 当 S ≠ 时, 30

8 . 11

若 an = 3 t ( t ∈Z + ) ,则由 n 、 + 1 互质 , n
n 与 n + 1 中必有一个是 3 的倍数 .

Δ = 22 - 4 ( 30 - S ) ( 14 - S ) ≥ 0.
2

当 n = 3 k ( k ∈Z + ) 时 , a3 k =

3 k ( 3 k + 1) ; 2

解得 22 且当 S = 22 因为 22 为 22 185.

185 ≤S ≤ + 22 185时 , k = 11 8+

185 , 185 .

当 n + 1 = 3 k ,即 n = 3 k - 1 ( k ∈Z + ) 时 ,
a3 k - 1 =

3 k ( 3 k - 1) . 2

185 < 30 , 所以 , S 的最小值

则数列{ an } 中的连续三项 a3 k - 2 、 3 k - 1 、 a
a3 k 中有连续两项 a3 k - 1 、3 k 是 3 的倍数 . a

故 b1 = a2 , b2 = a3 , b3 = a5 , b4 = a6 , ……
b2 m - 1 = a3 m - 1 , b2 m = a3 m .
m m

8. 1 003.

首先 ,若 n = 1 002 ,取
A = {5 ,6 ,7} , B = {17 ,18 , …,24} , C = {33 ,34 , …,39} , D = {1 025 ,1 026 , …,2 008}.

S2 m =

k=1



( a3 k - 1 + a3 k ) =

k =1

9 ∑k

2

则 S = A ∪B ∪C ∪D . 故| S | = 3 + 8 + 7 + 984 = 1 002. 容易验证 S 中任意两个 ( 可以相同 ) 元 素的和都不是 2 的幂 . 其次 ,证明 : 集合 {1 ,2 , …,2 008} 的每个
1 003 元子集中都有 2 个元素 ( 可以相同) ,它

3 = m ( m + 1) ( 2 m + 1) . 2 10. 如图 3 , 在

△OBM 中 ,由余弦 定 理 得 ( 记 AB =
) c , ∠ABC = β
OM
2 2

们的和是 2 的幂 . 事实上 , 把集合 {1 ,2 , …,2 008} 分成如 下 1 003 个两两不相交的子集的并 :
{1 ,7} ,{2 ,6} ,{3 ,5} ,{8 ,24} ,{9 ,23} , {10 ,22} , …,{15 ,17} ,{25 ,39} , …, {31 ,33} ,{40 ,2 008} ,{41 ,2 007} , {42 ,2 006} , …,{2 003 ,1 025} , {4 ,16 ,32 ,1 024}.

=

2 c 2
a
2

图3

+ 2 a ) - 2? c? cos (β+ 45° 2 2
2

 
= =
c c

2
2

2
2

+ +

a a

4
2

-

2 ac 2 cos β- 2 sin β 2 2 2
ac

2

4

2

cos β+

ac

2

sin β.

在 △ABC 中 ,由余弦定理及正弦定理得

38

中 等 数 学

cos β=

a +c - b , c sin β= bsin C . 2 ac
2

2

2

2

点 Pi ( x i , yi ) ( i = 1 ,2 ,3) ,圆心 C0 ( x0 , y0 ) . 由于线段 P1 P2 、 1 P3 的垂直平分线过 P 圆心 C0 ,则
( y2 - y1 ) y0 ( y3 - y1 ) y0 y1 + y2 x1 + x2

故 OM
c
2

2

1 2 ab ( a + c2 - b2 ) + sin C = + 2 4 4 2
a c

= = = =

b b

2

2

4
2

+ + + +

4

+

ab

2
y1 + y3

+ ( x2 - x1 ) x0 + ( x3 - x1 ) x0 -

2
x1 + x3

=0 , = 0.

2

sin C

4
b b
2

1 2 ab ( a + b2 - 2 abcos C) + sin C 4 2
a a
2

2

2

由于 xi 、 i ( i = 1 ,2 ,3 ) 都是有理数 , 因 y 此 ,上述关于 x0 、0 的二元一次方程组的解 y
( x0 , y0 ) 都是有理数 ,即 C0 是有理点 .

2
2

4
2

+ +

ab

2

( sin C - cos C)

2

4
2

2 ) absin ( C - 45°. 2
a
2

设有理点 Pn ( x n , y n ) 的坐标为
x n = x0 + a n ( x3 - x0 ) - bn ( y3 - y0 ) , y n = y0 + bn ( x3 - x0 ) + a n ( y3 - y0 ) ,
2

2 ) 同理 , ON = + + absin ( C - 45°. 2 4 2
b

2

所以 ,当 ∠C = 135° , 时
( OM2 ) max = ( ON 2 ) max =
b
2

其中 , an =
2

2

+

a

2

n - 1 2n ( n = 4 ,5 , … . ) , bn = 2 2 n +1 n +1
2 2 2

4

+

2 ab = 2
2

2 + b 2 2
a

,

则| Pn C0 |

= [ an ( x3 - x0 ) - bn ( y3 - y0 ) ] + [ bn ( x3 - x0 ) + an ( y3 - y0 ) ]
2 2 2 2 = ( a n + b n ) [ ( x3 - x 0 ) + ( y3 - y 0 ) ] 2 2 2 = ( x3 - x0 ) + ( y3 - y0 ) = | P3 C0 | .

2 b a+ 2 2

.

故 ( OM + ON ) max
=
a

2

+

2 b + 2

2 b a+ 2 2

2 +1 ( a + b) . = 2

) 故点 Pn ( n = 4 ,5 , … 都在 ⊙C0 的圆周

11. 显然 , A ( n ,1) = n .

上 ,即 ⊙C0 的圆周上有无穷多个有理点 . 其次 ,构造一个圆周上只含有两个有理 点的实例 .
C : ( x - 2 ) + ( y - 2 ) = 6.
2 2

当 k ∈Z + , k ≥ ,且 n < 2 k - 1 时 , 2
A ( n , k ) = 0.

当 k ∈Z + , k ≥2 , 且 n ≥2 k - 1 时 , 设
{ a1 , a2 , …, ak } 是 {1 ,2 , …, n } 中不含连续整

容易验证 , P1 ( - 1 ,1 ) 、 2 ( 1 , - 1 ) 都在 P 圆周 C 上 . 若圆周 C 上还有不同于 P1 、 2 的 P 有理点 P3 ( x3 , y3 ) ,则
( x3 - 2 ) 2 + ( y3 - 2 ) 2 = 6 ,

数的 k 元子集 ,且 a1 < a2 < …< ak . 则{ a1 , a2 - 1 , a3 - 2 , …, ak - ( k - 1 ) } 是{1 ,2 , …, n - ( k - 1) }的 k 元子集 . 因{ a1 , a2 , …, ak } 与 { a1 , a2 - 1 , a3 - 2 , …, ak - ( k - 1) }一一对应 ,所以 ,
A ( n , k) = C
k n - ( k - 1)

即  x3 + y3 - 2 = 2 2 ( x3 + y3 ) . 因为左端为有理数 , 2 为无理数 , 所以 ,
x3 + y3 = 0. 进而 x3 = 1. 故 x3 = ±1 , y3 =
2

2

2

.

12. 首先证明 : 若一个圆的圆周含有 3 个

1. 这与 P3 不同于 P1 、 2 的假定矛盾 . P

有理点 ,则该圆周上一定含有无穷多个有理 点. 设平面上 ⊙C0 的圆周上含有 3 个有理

综上所述 , k 的最小值为 3. (熊     斌 顾鸿达   刘鸿坤   李大元   叶声扬   命题)


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