数列专项复习

高二数学导学案（数列专项复习）

等差数列
1.（1）等差数列 8,5,2, ? 的 an ? ， Sn ?

和 Sn

（2） ? 401和 35 是不是等差数列 ? 5,?9,?13, ? 的项？如果是，是第几项？ 10.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn 若 2.

在等差数列 ?a n ? 中，已知 a1 ? 3 ， d ? 2 ，求 a20 ? ， an ? ， Sn ? 11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，若 ， S9 ?

a1007 1 S ? , 则 2013 ? b1003 2 T2005

3.在等差数列 ?a n ? 中, 已知 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450, a2 ? a8 ?

S6 S ? 4 ，则 9 = S3 S6

4.等差数列 ?an ? 中， a2 ? 3 ， a6 ? 11 ，则 S7 =

12.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，若 S2 ? 4, S4 ? 20 ，则 S 6 ?

， ?an ? 的公差 d ?

5. 在 等 差 数 列

?a n ?

中 ， 若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 ， a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 90 ，

13. 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 ， a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700 ， 则 a1 = （ ） A． ?22.5 B． ?21.5 C． ?20.5 D． ?20

a11 ? a12 ? ? ? a15 =

6.等差数列 {a n } 公差小于 0 ， a3 .a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0 ，通项公式 an ?

14.在等差数列 an ? 中， a1 ? ?2012，其前 n 项和为 S n ，若 A． ? 2011 B． ? 2012

?

S12 S10 ? 2 ，则 S2 012 = ( ? 12 10 C． ? 2010 D． ? 2013

)

7.等差数列 {a n } 公差大于 0 ，且满足 a3 .a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 ，通项公式 an ? 15.在等差数列 an ? 中， a1 ? ?2013，其前 n 项和为 S n ，若

8.等差数列 {a n } 中， a1 ? a3 ? a5 ? ?12 , 且 a1 ? a3 ? a5 ? 80 . 求通项公式 an ?

?

S 2006 S1995 ? ? 11，则 S 2015 ? 2006 1995

9.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和， 满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7 求 an ，
2 2 2 2

16.在等差数列 an ? 中， am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, m ?
2

?

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等比数列
1.一个等比数列的第 1 项是 3 ，公比是 2 ，求它的通项公式 a n = 2.在等比数列 ?a n ? ，已知 a1 ? 5 ， a9 a10 ? 100， a1 8 = 3.在等比数列 ?a n ? 中， a 2 ? ?2 ， a5 ? 54 ，求 q = 4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ，两数的等比中项是 ，等差中项是 , an = ， Sn =

15.等比数列 ?an ? 的各项均为正数，且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ，则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? 16.（1）已知数列 an ? 3n ? 1, bn ? 2 n ，则 bn ?
a

， Sn ?

（2）已知数列 an ? 2 ? 3n?1 , bn ? log3 an ，则 bn ? 17.等比数列 ?a n ? 前 n 项的和为 2n ?1 ，则数列 an
2

， Sn ?

? ? 前 n 项的和为______________

2 5.一元二次方程 x ? bx ? c ? 0 若两根的等差中项为 6 ，等比中项为 5 ，则 c ?

b?

18.等比数列 ?a n ? 中， a1 ? a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 , 求 n 的范围 19.等差数列 {an } 的公差不为零.若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,求 a n = 20.等差数列 {a n } 的公差为 2 ，若 a1 ， a3 ， a 4 成等比数列，求 a 2 =

2 6.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3 x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根，则 a4 ? a7 =___________.

1 S 7.等比数列 {an } 的公比 q ? ，前 n 项和为 Sn ，则 4 ? 2 a4
8.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, S 6 ? 4S 3 ，则 a 4 = 9. 在 等 比 数 列

． 21.等差数列 {an } 的公差不为零，首项 a1 ? 1 ， a 2 是 a1 和 a5 的等比中项，求数列的前 10 项和 22.已知数列 {an } 各项均大于 0 ， a n ?

?a n ?

中 ， 若

a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 ， a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 ，

1 ? ?2n ，求 a n an

a11 ? a12 ? ? ? a15 =
10.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S S6 ? 3 ，则 9 ? = S3 S6
a5 5 S ? ,则 9 ? b3 9 T5 S n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. Tn n?3 b5

23.等比数列 ?an ? 中， 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列. 若 a1 ? 1 ，求 S 4

11.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn 若

12.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ，

13.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ，若 14.若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列，则 x =
x x

a Sn 2n , 则 n = ? bn Tn 3n ? 1

?2? 24.已知数列 {an } 通项公式为 a n ? n?n ? 4 ?? ? ?3?

n

，求 a n 最大值及 n

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高二数学导学案（数列专项复习）

2015 高考数学专题复习：简单的递推数列
类型 1

11. 数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和 S n ， S k ? 9 ，则 k ?

an ?1 ? an ? f (n) 把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ，利用迭加法求解

1.已知数列 ?a n ? 中， a1 ? 1, an?1 ? an ? 3n?1 , n ? N * ，则 an ? 2.已知数列 ?a n ? 的前几项依次是 : 6,9,14,21,30, ? ，则 an ? 3.在数列 {an } 中， a1 ? 2 ， an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ，则 an ? 4.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 类型 2

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，且满足 a n ? （Ⅰ）求数列 ?a n ? 的通项公式 （Ⅱ）若 bn ? log2 an ，且 cn ?

1 Sn ? 1 2

1 ， a n ?1 2

1 n 1 ，则 an ? ? an ? 2 n ?n

1 ，求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn bn ? bn ? 2

an?1 ? f (n) ? an

把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ，利用累乘法求解 an

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1. n ? 2, n ? N * （Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式 a n （Ⅱ）设 bn ?

?

?

2 n ， an?1 ? an ，则 an ? 3 n ?1 3n ? 1 6.已知 a1 ? 3 ， an?1 ? an (n ? 1) ，则 an ? 3n ? 2 n?2 7.已知数列 ?a n ? ，满足 a1 ? 1, Sn ? an 3
5.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? （1）求 a2 , a3 （2）求 an 类型 3

a n ?1 ，求数列 ? bn ?的前项和 Tn ?a n ? 1??a n?1 ? 1?

类型 5 分组法求和 14.求数列的前 n 项和： 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? ?3n ? 2? 2 2 2

an?1 ? pan ? q （其中 p, q 均为常数， ( pq( p ? 1) ? 0)
15.已知 ?an ? 是首项为 19 ，公差为 ? 2 的等差数列 （Ⅰ）求通项 an （Ⅱ） 设 ?bn ? an ? 是首项为 1 ， 公比为 3 的等比数列， 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Sn .

8．已知数列 ?a n ? 中， a1 ? 1 ， a n ?1 ? 3a n ? 2 ，则 an ? 9.在数列 ?an ? 中，若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ，则 an ? 类型 4 裂项法求和

1 1 1 1 201 5 , , ,?, ,? 的前 n 项和 S n ， S k ? 10. 数列 ，则 k ? 201 6 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

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高二数学导学案（数列专项复习）

16.求和：等差数列 ?an ?中， a3 ? 5, S15 ? 225 （Ⅰ）求通项 an 及 Sn （Ⅱ）设 bn ? 2
an

（Ⅰ）证明数列 ?

? an ? 是等差数列 n ? ?2 ?

? 2n ? 3 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

（Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项之和 S n

类型 6 分类讨论 17.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. （Ⅰ）求 {an } 通项公式 （Ⅱ）求数列 {| an |} 的前 n 项和 T n

类型 8 数列求和

1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
2 2 2 2

? n(n ? 1) ? 2.1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

2

21.数列 ?an ? 中， a1 ? 2, q ? （Ⅰ）求 a n , S n

1 3

18.数列 {an } 中， a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 2, ?n ? 3? （Ⅰ）求 {an } 通项公式 （Ⅱ）求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

（Ⅱ） bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ?log3 an ，求 bn

22. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? an ? n ?1，数列 ?bn ?满足 3n ? bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ，且
2

类型 7 数列证明 19.在数列 {an } 中，已知 a1 ? 3 ， a n ?1 ? 5a n ? 4 （Ⅰ）求证：数列 ?a n ? 1? 是等比数列 （Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n

b1 ? 1 ．
（Ⅰ）求 an ， bn (Ⅱ)设 Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和，求 Tn ．

23.已知数列 {a n } 满足： S n ? 1 ? an (n ? N ) ，其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和.
*

20.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ，且 an ? 2an?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) ．
n *

（Ⅰ）试求 {a n } 的通项公式 （Ⅱ）若数列 {bn } 满足： bn ?

n (n ? N * ) ，求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn an
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数列复习测试题
一．选择题： 1. 公 比 为 2 等 比 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 ， 且 a3 a11 ? 16 ， 则 l o 2ga 1 ? 0 （ ）

A．

99 101

B．

100 101

C．

99 100

D．

101 100

9.已知 ?a n ? 为等差数列，其公差为 ? 2 ，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项， S n 为 ?a n ? 的前 n 项和，

( A) 4

( B) 5

(C ) ?

(D) ?

n ? N ? ，则 S1 0 的值为
A． ? 110

（

）

2. 等 差 数 列 {a n } 中 ， a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ， 则 数 列 {a n } 的 公 差 为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4

B． ? 90

C．110

D．90

10.有一个奇数组成的数阵排列如下：

3.定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列 {an } ， { f (an )} 仍是等 比数列，则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的如下函数： ① f ( x) ? x 2 ； ② f ( x) ? 2 x ； ③ f ( x) ? | x | ； （ ④ f ( x) ? ln | x | . ） C．① ③ （ D．② ④ ） A．1125 二．填空题： 11. 设数列 ?an ? 中， a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1，则通项 an ? ___________
2 12.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ，则 an ? _____

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A．① ② B．③ ④

则第 30 行从左到右第 3 个数是 B．3215 C．1310 D．1051

（

）

4.已知 ?an 为等比数列， a4 ? a7 ? 2 ， a5 a6 ? ?8 ，则 a1 ? a10 ?

?

( A) 7

( B) ??

(C ) ??
（

(D) 5
） D．88

5.在等差数列 ?an ? 中，已知 a4 +a8 =16 ，则该数列前 11 项和 S11 = A．58 B.176 C．143

6.数列 ?an ? 的首项为 3， ?bn ?为等差数列且 bn ? an?1 ? an ．若则 b3 ? ?2, b10 ? 12 ，则 a8 ? （ ） A．3 B．0 C．8 D．11

13.现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， ?3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机 抽取一个数， 则它小于 8 的概率是 14.（13 山东）设函数 f ( x) ?
f1 ( x ) ? f ( x ) ? x , x?2

．

x ( x ? 0) ，观察 x?2

7. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 ： S n ? S m ? S n?m ， 且 a1 ? 1 ． 那 么 a10 ? ( ) A．1 B．9 C．10 D．55

8. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ， 则 数 列 ?

? 1 ? ? 的 前 100项 和 为 ? an an ?1 ?

（

）
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x , 3x ? 4 x f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x ) ? f ( f 3 ( x )) ? , 15 x ? 16 …… f 2 ( x ) ? f ( f1 ( x )) ?
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根据以上事实，由归纳推理可得：当 n ? N 且 n ? 2 时， f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) ? ____________.
*

（Ⅱ）若 cn ?

15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 三．解答题：

4a ? 2 1 an , ? n ，求 ?an ? 的通项公式 3 a n ?1 a n ?1 ? 2

3n ? bn ，求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . an ? an ?1

16. 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 ， an ?1 ? ， n ? 1, 2,3, ?． an ? 1 3

（Ⅰ）证明：数列 {

1 ? 1}是等比数列 an

19.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1(n ? N * ) ，且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数 列。 （Ⅰ）求 a1 的值 （Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式 （Ⅲ）证明：对一切正整数 n ，有

（Ⅱ）数列 {

n } 的前 n 项和 Sn ． an

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

17.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? ? （Ⅰ）确定常数 k ，求 a n （Ⅱ）求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 8 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 2n

2 18.等差数列 {an } 为递增数列，且 a 2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根，数列 {bn } 的前 n 项和

20. 已知 ?an ? 是等差数列，其前 n 项和为 Sn ， ? bn ? 是等比数列 ,且 a1 = b1 =2 ， a4 +b4 =27 ，

1 Tn ? 1 ? bn ; 2
（Ⅰ）求数列 {an }和{bn }的通项公式

S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 与 ? bn ?的通项公式 (Ⅱ)记 Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? ? a1bn ，求 T n
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