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数列专项复习


高二数学导学案(数列专项复习)

等差数列
1.(1)等差数列 8,5,2, ? 的 an ? , Sn ?

和 Sn

(2) ? 401和 35 是不是等差数列 ? 5,?9,?13, ? 的项?如果是,是第几项? 10.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn 若 2.

在等差数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? 3 , d ? 2 ,求 a20 ? , an ? , Sn ? 11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 , S9 ?

a1007 1 S ? , 则 2013 ? b1003 2 T2005

3.在等差数列 ?a n ? 中, 已知 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450, a2 ? a8 ?

S6 S ? 4 ,则 9 = S3 S6

4.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 =

12.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则 S 6 ?

, ?an ? 的公差 d ?

5. 在 等 差 数 列

?a n ?

中 , 若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 , a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 90 ,

13. 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700 , 则 a1 = ( ) A. ?22.5 B. ?21.5 C. ?20.5 D. ?20

a11 ? a12 ? ? ? a15 =

6.等差数列 {a n } 公差小于 0 , a3 .a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0 ,通项公式 an ?

14.在等差数列 an ? 中, a1 ? ?2012,其前 n 项和为 S n ,若 A. ? 2011 B. ? 2012

?

S12 S10 ? 2 ,则 S2 012 = ( ? 12 10 C. ? 2010 D. ? 2013

)

7.等差数列 {a n } 公差大于 0 ,且满足 a3 .a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 ,通项公式 an ? 15.在等差数列 an ? 中, a1 ? ?2013,其前 n 项和为 S n ,若

8.等差数列 {a n } 中, a1 ? a3 ? a5 ? ?12 , 且 a1 ? a3 ? a5 ? 80 . 求通项公式 an ?

?

S 2006 S1995 ? ? 11,则 S 2015 ? 2006 1995

9.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7 求 an ,
2 2 2 2

16.在等差数列 an ? 中, am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, m ?
2

?

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高二数学导学案(数列专项复习)

等比数列
1.一个等比数列的第 1 项是 3 ,公比是 2 ,求它的通项公式 a n = 2.在等比数列 ?a n ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100, a1 8 = 3.在等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 q = 4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是 ,等差中项是 , an = , Sn =

15.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? 16.(1)已知数列 an ? 3n ? 1, bn ? 2 n ,则 bn ?
a

, Sn ?

(2)已知数列 an ? 2 ? 3n?1 , bn ? log3 an ,则 bn ? 17.等比数列 ?a n ? 前 n 项的和为 2n ?1 ,则数列 an
2

, Sn ?

? ? 前 n 项的和为______________

2 5.一元二次方程 x ? bx ? c ? 0 若两根的等差中项为 6 ,等比中项为 5 ,则 c ?

b?

18.等比数列 ?a n ? 中, a1 ? a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 , 求 n 的范围 19.等差数列 {an } 的公差不为零.若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,求 a n = 20.等差数列 {a n } 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a 4 成等比数列,求 a 2 =

2 6.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3 x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =___________.

1 S 7.等比数列 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4
8.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, S 6 ? 4S 3 ,则 a 4 = 9. 在 等 比 数 列

. 21.等差数列 {an } 的公差不为零,首项 a1 ? 1 , a 2 是 a1 和 a5 的等比中项,求数列的前 10 项和 22.已知数列 {an } 各项均大于 0 , a n ?

?a n ?

中 , 若

a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 , a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 ,

1 ? ?2n ,求 a n an

a11 ? a12 ? ? ? a15 =
10.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S S6 ? 3 ,则 9 ? = S3 S6
a5 5 S ? ,则 9 ? b3 9 T5 S n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. Tn n?3 b5

23.等比数列 ?an ? 中, 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列. 若 a1 ? 1 ,求 S 4

11.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn 若

12.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,

13.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 14.若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x =
x x

a Sn 2n , 则 n = ? bn Tn 3n ? 1

?2? 24.已知数列 {an } 通项公式为 a n ? n?n ? 4 ?? ? ?3?

n

,求 a n 最大值及 n

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高二数学导学案(数列专项复习)

2015 高考数学专题复习:简单的递推数列
类型 1

11. 数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和 S n , S k ? 9 ,则 k ?

an ?1 ? an ? f (n) 把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用迭加法求解

1.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 3n?1 , n ? N * ,则 an ? 2.已知数列 ?a n ? 的前几项依次是 : 6,9,14,21,30, ? ,则 an ? 3.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? 4.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 类型 2

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)若 bn ? log2 an ,且 cn ?

1 Sn ? 1 2

1 , a n ?1 2

1 n 1 ,则 an ? ? an ? 2 n ?n

1 ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn bn ? bn ? 2

an?1 ? f (n) ? an

把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法求解 an

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1. n ? 2, n ? N * (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 a n (Ⅱ)设 bn ?

?

?

2 n , an?1 ? an ,则 an ? 3 n ?1 3n ? 1 6.已知 a1 ? 3 , an?1 ? an (n ? 1) ,则 an ? 3n ? 2 n?2 7.已知数列 ?a n ? ,满足 a1 ? 1, Sn ? an 3
5.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? (1)求 a2 , a3 (2)求 an 类型 3

a n ?1 ,求数列 ? bn ?的前项和 Tn ?a n ? 1??a n?1 ? 1?

类型 5 分组法求和 14.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? ?3n ? 2? 2 2 2

an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0)
15.已知 ?an ? 是首项为 19 ,公差为 ? 2 的等差数列 (Ⅰ)求通项 an (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1 , 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Sn .

8.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 3a n ? 2 ,则 an ? 9.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则 an ? 类型 4 裂项法求和

1 1 1 1 201 5 , , ,?, ,? 的前 n 项和 S n , S k ? 10. 数列 ,则 k ? 201 6 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

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高二数学导学案(数列专项复习)

16.求和:等差数列 ?an ?中, a3 ? 5, S15 ? 225 (Ⅰ)求通项 an 及 Sn (Ⅱ)设 bn ? 2
an

(Ⅰ)证明数列 ?

? an ? 是等差数列 n ? ?2 ?

? 2n ? 3 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项之和 S n

类型 6 分类讨论 17.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. (Ⅰ)求 {an } 通项公式 (Ⅱ)求数列 {| an |} 的前 n 项和 T n

类型 8 数列求和

1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
2 2 2 2

? n(n ? 1) ? 2.1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

2

21.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? (Ⅰ)求 a n , S n

1 3

18.数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 2, ?n ? 3? (Ⅰ)求 {an } 通项公式 (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

(Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ?log3 an ,求 bn

22. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? an ? n ?1,数列 ?bn ?满足 3n ? bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ,且
2

类型 7 数列证明 19.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 5a n ? 4 (Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 1? 是等比数列 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n

b1 ? 1 .
(Ⅰ)求 an , bn (Ⅱ)设 Tn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,求 Tn .

23.已知数列 {a n } 满足: S n ? 1 ? an (n ? N ) ,其中 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和.
*

20.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) .
n *

(Ⅰ)试求 {a n } 的通项公式 (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ?

n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和公式 Tn an
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高二数学导学案(数列专项复习)

数列复习测试题
一.选择题: 1. 公 比 为 2 等 比 数 列 {an } 的 各 项 都 是 正 数 , 且 a3 a11 ? 16 , 则 l o 2ga 1 ? 0 ( )

A.

99 101

B.

100 101

C.

99 100

D.

101 100

9.已知 ?a n ? 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, S n 为 ?a n ? 的前 n 项和,

( A) 4

( B) 5

(C ) ?

(D) ?

n ? N ? ,则 S1 0 的值为
A. ? 110





2. 等 差 数 列 {a n } 中 , a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 , 则 数 列 {a n } 的 公 差 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

B. ? 90

C.110

D.90

10.有一个奇数组成的数阵排列如下:

3.定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等 比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ( ④ f ( x) ? ln | x | . ) C.① ③ ( D.② ④ ) A.1125 二.填空题: 11. 设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1,则通项 an ? ___________
2 12.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④

则第 30 行从左到右第 3 个数是 B.3215 C.1310 D.1051





4.已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?

?

( A) 7

( B) ??

(C ) ??


(D) 5
) D.88

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 +a8 =16 ,则该数列前 11 项和 S11 = A.58 B.176 C.143

6.数列 ?an ? 的首项为 3, ?bn ?为等差数列且 bn ? an?1 ? an .若则 b3 ? ?2, b10 ? 12 ,则 a8 ? ( ) A.3 B.0 C.8 D.11

13.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机 抽取一个数, 则它小于 8 的概率是 14.(13 山东)设函数 f ( x) ?
f1 ( x ) ? f ( x ) ? x , x?2



x ( x ? 0) ,观察 x?2

7. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 : S n ? S m ? S n?m , 且 a1 ? 1 . 那 么 a10 ? ( ) A.1 B.9 C.10 D.55

8. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 , 则 数 列 ?

? 1 ? ? 的 前 100项 和 为 ? an an ?1 ?




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x , 3x ? 4 x f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x ) ? f ( f 3 ( x )) ? , 15 x ? 16 …… f 2 ( x ) ? f ( f1 ( x )) ?
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高二数学导学案(数列专项复习)

根据以上事实,由归纳推理可得:当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) ? ____________.
*

(Ⅱ)若 cn ?

15.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 三.解答题:

4a ? 2 1 an , ? n ,求 ?an ? 的通项公式 3 a n ?1 a n ?1 ? 2

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . an ? an ?1

16. 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 3

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1}是等比数列 an

19.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1(n ? N * ) ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数 列。 (Ⅰ)求 a1 的值 (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an

1 1 1 3 ? ?? ? ? a1 a2 an 2

17.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? ? (Ⅰ)确定常数 k ,求 a n (Ⅱ)求数列 {

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 8 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 2n

2 18.等差数列 {an } 为递增数列,且 a 2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {bn } 的前 n 项和

20. 已知 ?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , ? bn ? 是等比数列 ,且 a1 = b1 =2 , a4 +b4 =27 ,

1 Tn ? 1 ? bn ; 2
(Ⅰ)求数列 {an }和{bn }的通项公式

S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 与 ? bn ?的通项公式 (Ⅱ)记 Tn ? anb1 ? an?1b2 ? an?2b3 ? ? ? a1bn ,求 T n
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高二数学导学案(数列专项复习)

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