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2015年泉州市高中毕业班教学质量检查试卷数学(理科)(电子稿)


泉州市 2015 届普通中学高中毕业班质量检查理科数学
参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、…、 xn 的标准差:

1 s? ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 1 锥体体积公式: V ? Sh

,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、若复数 A、2

开始
i ? 3, S ? 1

i ? i ?1

S ? S ? log i (i ? 1) i ? 9?

1 ? ai ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 2?i 1 1 B、-2 C、 ? D、 2 2







输出S

2、各项均为正数的等比数列

?an ? 中, a3 ,3a2 ,5a1 成等差数列,

且 an ? an?1 (n ? N*) ,则公比 q 的值等于(

结束

A、1 B、2 C、3 D、5 3、执行如图所示的程序框图,输出的结果为( ) A、 log9 10 B、 lg11 C、2 D、 log3 10

? x ? y ? 4, ,若实数 k 满足 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,则( ) ? x ? y ?1 5 1 5 A、 k 的最小值为 1, k 的最大值为 B、 k 的最小值为 , k 的最大值为 7 2 7 1 5 C、 k 的最小值为 , k 的最大值为 5 D、 k 的最小值为 , k 的最大值为 5 2 7 5 2 5 5、若 (1 ? x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? ? a5 (1 ? x) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值等于(
4、已知非负实数 x, y 满足 ? A、-31 B、0 C、1 D、32 6、设 a , b 是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( A、存在唯一直线 l ,使得 l ? a ,且 l ? b C、存在唯一平面 ? ,使得 a ? ? ,且 b ∥ ? ) B、存在唯一直线 l ,使得 l ∥ a ,且 l ? b D、存在唯一平面 ? ,使得 a ? ? ,且 b ? ?



7、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 ,其中 a ? R ,则“ a ? 0 ”是“ f (?2013) ? f (2015) ”的( A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件. 8、曲线 y A、1 在区间 (m, m ? 1)(m ? Z) 内,则实数 m 的值为( ? e x 与直线 y ? 5 ? x 交点的纵坐标 ... C、3 ) D、4
2 2

) )

B、2

9、已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 ( a ? 1, b ? 1 )被圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 截得的弦长为 2 3 , 则 ab 的最小值为( A、 2 ? 1 B、 2 ? 1 C、 3 ? 2 2 D、 3 ? 2 2

? 0 , b ? ta (t ? R ) . 对于使命题“ ?t ? 1 , | c ? b |?| c ? a | ”为真的非零向量 c , 10、平面向量 a , b 中,|a|
给出下列命题: ① ?t ? 1, (c ? a) ? (b ? a) ? 0 ; ② ?t ? 1,(c ? a) ? (b ? a) ? 0 ; ) ③ ?t ? R,(c ? a) ? (c ? b) ? 0 ; ④ ?t ? R,(c ? a) ? (c ? b) ? 0 . 则以上四个命题中的真命题是( A、①④ B、②③ C、①②④ D、①③④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11、设集合 M ? ??1,0,1,2? , N ? y y ? 2 ? 1, x ? R ,则 M
x

?

?

N ? _____________.

1

12、

?

1

?1

e dx ? _____________.
x

AB ? 2 , AD ? AA1 ? 2 . 13、如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
设长方体的截面四边形 ABC1D1 的内切圆为 O ,圆 O 的正视图是 椭圆 O ,则椭圆 O 的离心率等于______________. 14、单位圆 O 的内接四边形 ABCD 中, AC ? 2 , ?BAD ? 60 , 则四边形 ABCD 的面积的取值范围为_____________. 15、关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发, 我们也可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值:先请 120 名同学,每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 ( x, y ) ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 ( x, y ) 的个数 m ;最后再根据统计数 m 来估计 ? 的值. 假如统计结果是 m ? 34 ,那么可以估计 ? ? _____________. (用分数表示) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (13 分)某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调查中,随机发放了 120 份问卷. 对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如下 2 ? 2 列联表: 做不到光盘 能做到光盘 合计 45 10 55 男 30 15 45 女 合计 75 25 100 (Ⅰ)现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷. 若从这 9 份问卷中随机抽取 4 份,并 记其中能做到光盘的问卷的份数为 ? ,试求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 p ,那么,根据临界值表,最精确的 p 值 应为多少?请说明理由.
' '

n(ad ? bc)2 附:独立性检验统计量 K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

独立性检验临界值表:

P(K 2 ? k0 )
k0

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.840

0.025 5.024

0 ? ? ? 2? ) 17、 (13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)( ? ? 0 , 有一个零点 x0 ? ?
记函数 f ( x ) 的最小正周期为 T . (Ⅰ)若 f ' ( x0 ) ? 0 ,试求 T 的最大值及 T 取最大值时相应的函数解析式;

2 7 , 且其图象过点 A( ,1) . 3 3

(Ⅱ) 若将所有满足题设条件的 ? 值按从小到大的顺序排列, 构成数列 {?n } , 试求数列 {?n } 的前 n 项和 Sn .

2

18、 (13 分)将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 ?SEE ' , ?SFF ' ,?SGG ' , ?SHH ' ,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒 S ? EFGH ,其中 A, B, C, D 重合于点 O ,

E 与 E ' 重合, F 与 F ' 重合, G 与 G ' 重合, H 与 H ' 重合(如图所示) . (Ⅰ )求证:平面 SEG ? 平面 SFH ; 2 (Ⅱ )试求原平面图形中 AE 的长,使得二面角 E ? SH ? F 的余弦值恰为 ; 3 (Ⅲ)指出二面角 E ? SH ? F 的余弦值的取值范围(不必说明理由) .

19、 (13 分)已知:动圆 M 与圆 F : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切,动圆圆心 M 的轨迹为 曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)过曲线 ? 上的点 P( x0 ,2) 引斜率分别为 k1 , k2 的两条直线 l1 , l2 ,直线 l1 , l2 与曲 线 ? 的异于点 P 的另一个交点分别为 A, B . 若 k1k2 ? 4 ,试探究:直线 AB 是否恒过定点?若恒过定点,请 求出该定点的坐标;若不恒过定点,请说明理由.

x x 20、 (14 分)已知函数 f ? x ? ? e ,记 p : ?x ? R , e ? kx ? 1 .

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的图象在点 P 0, f ? 0? 处的切线的方程; (Ⅱ )若 p 为真,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ )若[ x ]表示不大于 x 的最大整数,试证明不等式 ln 并求 S ? [

?

?

n ?1 1 ? ( n ? N* ) , n n

1 1 1 ? ? ? 10 11 12

?

1 ] 的值. 100

3

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

? ?1 1 ? ?1 1? ?,B ? ? ?. ? 4 ?3 ? ?0 2? (Ⅰ)若点 P ? 2, ?4? 依次经过矩阵 A, B 所对应的变换后得到点 P? ,求点 P? 的坐标; (Ⅱ)若存在矩阵 M 满足 AM ? B ,求矩阵 M .
已知矩阵 A ? ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程

3 ?. 4 (Ⅰ)在直角坐标系下,求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ) 已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求线段 AB 的长.
为 ? cos ? ? sin ? .直线 l 过点 ? ?1, 2? 且倾斜角为
2

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
? 已知 a, b, c ? R , a ? 2b ? 3c ? 2 3 ,记 a ? b ? c 的最小值为 m .
2 2 2

(Ⅰ) 求实数 m ;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 x ? 3 ? m 和 x2 ? px ? q ? 0 的解集相同,求 p 的值.

4

2015 届泉州市普通高中毕业班单科质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,或受篇幅限制、或 考虑问题还不够周全,遇多种解法时,一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生 的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较 严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A

部分试题考查意图说明: 第 7 题 考查二次函数的图象与性质和充要条件, 考查抽象概括能力和推理论证能力, 考查数形结合思想

2 0 1 3 ) 和函数与方程思想. 分析 ?2013 和 2015 与对称轴的距离的大小, 得 “ a ? 1” 是 “ f (?
的充要条件. 第 8 题 可转化为曲线 y

( 2 0 ? 1 5 )f



? ln x 与直线 y ? 5 ? x 交点的横坐标问题,体

y
1 2 3

现对反函数的考查要求; 也可结合图形, 通过建立右侧数表, 考察数表中 x 的大小变化时对应的 y 值范围内得到答案. 本题考查反函数概念,指对数 函数的图象,考查推理论证能力与运算求解能力,考查函数与方程思想和 数形结合思想.

y ? ex
x?0

5? x ? y
x?4
x?3

x ? ln 2 x ? ln 3 x ? ln 4

x?2 x ?1

第 9 题

由 圆 心 到 直 线 的 距 离

d?

|a?b? 2 | a 2 ? b2

4

?1 , 得

1 ? a b ? 2 (a ? b) ? 2 2? ,再求 a b ab 的最小值.本题考查直线与圆的位置关系,点线距离公式以
及基本不等式等基础知识,考查运算求解能力与推理论证能力,考查数形结合思想与函数与方程思想.

5

第 10 题 方法一:先从命题入手,①②互为否定关系,必然一真一假,排除 C;③④有包含关系,③真 ④必真,若③真,只能选 D,若③假,只能只能选 A,故只需探讨③的真假:特殊化地取 a =(1,0) ,则

b =(t,0).设 c = ( x, y ) ,由 | c ? b |?| c ? a | ,得 ( x ? t )2 ? y 2 ? ( x ?1)2 ? y 2 ,化简得 x ?
因为 t ? (1, ??) ,所以

t ?1 (t ? 1) . 2

t ?1 ? (1, ??) ,所以命题“ ?t ? 1 , | c ? b |?| c ? a | ”等价于“ x ? 1 ” ,所以向 2

量 c = ( x, y ) 满足 x ? 1 .因为 (c ? a) ? (c ? b) ? (x ?1)(t ?1) ? y 2 ,且 y , x , t 是独立变量,所以③假故选 A. 方 法 二 : 仿 法 一 得 向 量 c = ( x, y ) 满 足 x ? 1 . 因 为 所以①真,则②假,故排除 B、C. 若 (c ? a) ? (b ? a) ? ( x ? 1t ),? ( 1)
C(x,y)

③真,则④真,A 与 D 都正确,与选择题“有且只有一个选项正确” 矛盾,故③必假,排除 D,只能选 A.
B2 A(1,0) B(t,0)

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. ?2? 12. 2(e? 1) 13.

2 2

14. (

3 , 3] 2

15.

47 . 15

部分试题考查意图说明:
0 o s ? ,CD ? 2sin ? ,AB ? 2cos ? , 第 14 题 令 ?DAC ? ? , ?BAC ? ? , 则 ? ? ? ? 60 , 且 AD ? 2c

3 3 BC ? 2sin ? ,面积 S ? sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ? cos 2? 2 2

? 3sin(2? ? 300 ) , 300 ? 2? ? 300 ? 1500 ,所以

3 ? S ? 3 .本题意在考查三角恒等变形与三角函 2

数性质(值域) ,考查运算求解能力与推理论证能力,考查数形结合思想. 考生若从图形的极端化极限位置 考察猜想范围的边界值而得解,则可体现对抽象概括能力,对特殊与一般思想的考查、有限与无限思想的 考查,考生的这种思维灵活性应得到充分的肯定. 第 15 题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识,体现对数据处理能力的考查,体现对 以频率估计概率的统计思想的考查,体现对必然与或然思想的考查。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、统计案例等基础知识,考查运算求 解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想等. 满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的, 所以这 9 份问卷中有 6 份做不到光盘,3 份能做到光盘. ????2 分

6

因为 ? 表示从这 9 份问卷中随机抽取出的 4 份中能做到光盘的问卷份数,所以 ? 有 0,1, 2,3 的可能 取值. 因为 9 份问卷中每份被取到的机会均等, 所以随机变量 ? 服从超几何分布,可得随机变量 ? 的分布列为:

P(? ? 0) ?

4 C6 15 5 , ? ? 4 C9 126 42

P(? ? 1) ?

3 1 C6 C3 60 20 10 ? ? ? , C94 126 42 21

P(? ? 2) ?

2 2 C6 C3 45 15 5 ? ? ? , 4 C9 126 42 14

P(? ? 3) ?

1 3 C6 C3 6 1 ? ? . 4 C9 126 21

????5 分 随机变量 ? 的分布列可列表如下:

?
P

0

1

2

3

5 42

10 21

5 14

1 21

所以 E? ? 0 ?

5 10 5 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 42 21 14 21 3

????7 分(期望占 2 分)

(Ⅱ) K ?
2

100(45 ?15 ? 30 ?10) 2 100 n(ad ? bc)2 ? ? ? 3.03 .?10 分 55 ? 45 ? 25 ? 75 33 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
100 ? 3.03 ? 3.840 , 33
???13 分

因为 2.706 ?

所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,即最精确的 p 值 应为 0.1 .

17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 有一个零点 x0 ? ?

2 2 ,即其图象过点 B(? , 0) . 3 3 7 3

??1 分

因为函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的最大值为 1,且 A( ,1) 在其图象上, 所以 A( ,1) 是其图象的最高点. 因为 f ( x0 ) ? 0 ,
'

7 3

??2 分

所以 x0 ? ?

2 在函数 f ( x ) 的一个单调递减区间内, 3 4 7 3 3 2 3

??3 分 ??5 分

所以 T 的最大值为 [ ? (? )] ? 4 .

7

? 2 因为函数 f ( x ) 的图象过点 A ,
所以 sin( 又? ?

由 T ? 4 ,得

2?

? 4, ? ?

?

.

??6 分

7? 7? ? 2? ? ? ) ? 1 ,故 ? ? ? 2k? ? ( k ? Z) , ? ? 2k? ? (k ? Z) , 6 6 2 3
??8 分 ????9 分

? 4? ,所以 k ? 1, ? ? , 2 3 ? 4? ). 故 f ( x) ? sin( x ? 2 3
(Ⅱ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) 的图象过点 A( ,1) , 得 sin(

7 3

7? 7? ? ??) ? 1, ? ? ? 2k1? ? ( k1 ? Z) ?①. 3 3 2

由函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) 有一个零点 x0 ? ? 得 sin( ?

2 , 3
??10 分

2? 2? ? ?) ? 0 , ? ? ? ? k2? (k2 ? Z) ?②. 3 3

由①-②得, 3? ? (2k1 ? k2 )? ?

?
2

(k1、k2 ? Z) ,.

因为 k1 , k2 可取任意整数,所以 2k1 ? k2 可取任意整数, 故有 3? ? k? ?

?
2

( k ? Z) . n? ? ? ( n ? N* ) . 3 6
??11 分 ??13 分

又因为 ? ? 0 ,所以 k ? 0 ,从而 ?n ? 因为数列 {?n } 是首项为

? ? ,公差为 的等差数列, 6 3 ? n(n ? 1) ? ? 2 ? ? n . 所以其前 n 项的和 S n ? n ? ? 6 2 3 6

18.本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想,函数与方程思想等. 满分 13 分. 解:(Ⅰ ) 折后 A, B, C , D 重合于一点 O , ∴ 拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴ 底面 EFGH 是正方形,故 EG ? FH . 在原平面图形中,等腰三角形 ?SEE ' ∴SE ? SG , ∴EG ? SO . 又 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分

?SGG ' ,

SO, FH ? 平面 SFH , SO

FH ? O ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

∴EG ? 平面 SFH .

8

又∵EG ? 平面 SEG , ∴ 平面 SEG ? 平面 SFH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 (Ⅱ ) 由(Ⅰ )知 EG ? FH , EG ? SO ,并可同理得到 HF ? SO ,故以 O 为原点,分别以 OF , OG, OS 所 在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz .. . . . . .5 分 设原平面图形中, AE ? t , 则底面正方形 EFGH 的对角线 EG ? 2t , ∴ H (?t , 0, 0) , E (0, ?t , 0) , G (0, t , 0) , HE ? (t , ?t ,0) , OG ? (0, t,0) . 在原平面图形中,可求得 SE ? 50 ?10t ? t 2 , 在 Rt ?SOE 中,可求得 SO ? SE2 ? OE2 ? 50 ?10t , ∴ S (0,0, 10(5 ? t )) , SH ? (?t,0, ? 10(5 ? t )) . 设平面 SEH 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , . . . . . .6 分

?y ? x ? ? ?n ? SH ? ?tx ? 10(5 ? t ) z ? 0, t 则? 化简,得 ? , z?? x n ? HE ? tx ? ty ? 0, ? ? ? 10(5 ? t ) ?
令 x ? 10(5 ? t ) ,得 n ? ( 10(5 ? t), 10(5 ? t), ?t) . ∵EG ? 平面 SFH ∴OG 是平面 SFH 的一个法向量. 设二面角 E ? SH ? F 的大小为 ? , 则 . . . . . . . . . . . .8 分

cos ? ?

n ? OG n ? OG

?

10(5 ? t ) . 10 ? t

. . . . . . . . . . . . . . .10 分

∵二面角 E ? SH ? F 的余弦值恰为 ∴

2 , 3

10(5 ? t ) 2 5 ? ,解得 t ? 或 t ? ?5 (舍去). 2 3 10 ? t 5 当原平面图形中 AE 的长为 时, 二面角 E ? SH ? F 的余弦 2


值恰

2 . 3

. . . . . . . . . .11 分

(Ⅲ)二面角 E ? SH ? F 的余弦值的取值范围为 (0,

2 ). 2

. . . . . . . . . .13 分

19.本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推

9

理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想 等.满分 13 分. 解:(Ⅰ)解法一: 因为动圆 M 与圆 F 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切, 所以圆心 M 必在直线 l : x ? ?2 的右侧. 设点 M 到直线 x ? ?2 的距离为 d ,则 d ? MF ? 1,| MF |? d ?1 , 所以 MF 等于点 M 到直线 x ? ?1 的距离, 所以点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线, 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x . 解法二: 设点 M ( x, y ) . 因为动圆 M 与圆 F 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切, 所以 M ( x, y ) 到直线的距离 d ? MF ? 1,且圆心 M 必在直线 l : x ? ?2 的右侧. ???2 分 因为点 M 到直线 l : x ? ?2 的距离 d ? x ? (?2) ? x ? 2 , ????3 分 ???1 分 ???2 分 ???3 分 ????4 分 ????5 分

MF ?1 ? x ? 2 ,即 MF ? x ? 1 ,
2 2 2 所以 ( x ? 2) ? y ? x ? 1 ,化简得 y ? 4 x ,

故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)因为点 P( x0 ,2) 在抛物线 y ? 4 x 上,
2

????5 分

所以 22 ? 4 x0 ,解得 x0 ? 1 ,故 P(1, 2) . 解法一: 若直线 AB 的斜率不存在,则 k1 , k2 异号,与 k1k2 ? 4 矛盾, 故设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,并设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b , k1 ?

?6 分

???7 分

y1 ? 2 y ?2 , k2 ? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

由 k1k2 ? 4 ,得 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ????①, 将 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b 代入①,得:

(k 2 ? 4) x1x2 ? (kb ? 2k ? 4)( x1 ? x2 ) ? b2 ? 4b ? 0 .????②

????9 分

10

联立方程组 ?

? y ? kx ? b, ? y ? 4x
2

,消去 y ,得 k 2 x2 ? (2kb ? 4) x ? b 2 ? 0 ,

4 ? 2kb b2 , x x ? , 1 2 k2 k2 代入②,得 (b ? 2)( k ? b ? 2) ? 0 . 因为 A, B 均异于点 P(1, 2) ,且直线与抛物线最多两个交点, 所以 P(1, 2) 不在直线 AB 上, k ? b ? 2 , 所以 b ? ?2 ,此时直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 , 由直线 AB 的方程 y ? kx ? 2 可知直线 AB 恒过定点 (0, ?2) .
所以 x1 ? x2 ? 解法二: 因为左右开口的抛物线上两点连线的斜率必不为零, 所以设直线 AB 的方程为 x ? my ? n ,并设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 则 x1 ? my1 ? n, x2 ? my2 ? n , k1 ?

????10 分 ???11 分 ???12 分 ???13 分 ???7 分

y1 ? 2 y ?2 . , k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

由 k1k2 ? 4 ,得 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ????①, 将 x1 ? my1 ? n, x2 ? my2 ? n 代入①,得

(4m2 ?1) y1 y2 ? (4mn ? 4m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 4n2 ? 8n ? 0 ???②,
联立方程组 ?

?9 分

? x ? my ? n, ? y ? 4x
2

,消去 x ,得 y ? 4my ? 4n ? 0 ,
2

所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n , 代入②,得-4n(4m ?1) ? 4m(4mn ? m ? 2) ? 4n ? 8n ? 0 ,
2 2

????10 分

化简,得 (2m ? n)(2m ? n ? 1) ? 0 . 因为 A, B 均异于点 P(1, 2) ,且直线与抛物线最多两个交点, 所以 P(1, 2) 不在直线 AB 上, 2m ? n ? 1 , 所以 2m ? n ? 0 ,此时直线 AB 的方程可化为 x ? m( y ? 2) . 由直线 AB 的方程 x ? m( y ? 2) 可知直线 AB 恒过定点 (0, ?2) . 解法三:

???11 分 ???12 分 ???13 分

直线 PA 的方程为 y ? 2 ? k1 ( x ? 1) ,直线 PB 的方程为 y ? 2 ? k2 ( x ? 1) ,??7 分

? y ? 2 ? k1 ( x ? 1), y2 y ? 2 ? k ( ? 1) , 联立方程组 ? 2 ,消去 x ,得 1 4 y ? 4 x ?
整理,得 k1 y ? 4 y ? 8 ? 4k ? 0 ,
2

11

8 ? 4k1 4 ? 2k1 (2 ? k1 ) 2 所以 y1 ? 2 ? ,即 y1 ? ,代入 y ? 2 ? k1 ( x ? 1) ,得 x1 ? , k1 k1 k12

(2 ? k1 )2 4 ? 2k1 故 A( , ), k12 k1 (2 ? k2 )2 4 ? 2k2 同理,得 B( , ), k2 2 k2
(k1 ? 2) 2 4 , k1 ? 2) , 因为 k1k2 ? 4 ,所以 k 2 ? ,故 B( 4 k1
所以直线 AB 的斜率 k ?

????9 分

??10 分

y2 ? y1 y2 ? y1 4k1 4 ,??11 分 ? ? ? x2 ? x1 1 y 2 ? 1 y 2 y1 ? y2 (k1 ? 2)2 2 1 4 4
4k1 4k1 (k1 ? 2)2 x?2, ( x ? ) ,即 y ? 2 (k1 ? 2) 2 (k1 ? 2) 4
????12 分 ????13 分

直线 AB 的方程为 y ? (k1 ? 2) ?

所以直线 AB 恒过定点 (0, ?2) . 解法四: 设 A(t12 , 2t1 ), B(t22 , 2t2 ) , 则 k1 ?

????7 分

2t1 ? 2 2t ? 2 2 2 , k2 ? 2 , ????8 分 ? ? 2 2 t1 ? 1 t1 ? 1 t2 ? 1 t2 ? 1 2 2 4 , k1k2 ? ? ? t1 ? 1 t2 ? 1 t1t2 ? t1 ? t2 ? 1 4 又 k1k2 ? 4 ,所以 ? 4 ,整理,得 t1t2 ? t1 ? t2 ? 0 ,????10 分 t1t2 ? t1 ? t2 ? 1 2 直线 AB 的斜率 k ? , ????11 分 t1 ? t2 2 所以直线 AB 的方程为 y ? 2t1 ? ( x ? t12 ) , t1 ? t2
即 (t1 ? t2 ) y ? 2t1t2 ? 2x , (t1 ? t2 )( y ? 2) ? 2 x , 所以直线 AB 过定点 (0, ?2) . 解法五: 因为 k1k2 ? 4 且 k1 , k2 具有任意性,不妨取 k1 ? 1, k2 ? 4 , 此时直线 PA 的方程为 y ? x ? 1 ,直线 PB 的方程为 y ? 4 x ? 2 . ??12 分 ????13 分

12

联立方程组 ?

? y ? x ?1 ,解得 A ?1, 2 ? ,此时点 A 与点 P 重合(虽不合是题意,但属极限位置情况, 2 y ? 4 x ?

估且作为一种情况) ;

1 ? ? y ? 4x ? 2 ? x ?1 ? x ? ?1 ? 联立方程组 ? 2 ,解得 ? 或? 4 ,所以 B ? ,1? . ?4 ? ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?1 ?
从而得到 k1 ? 1, k2 ? 4 时直线 AB 的方程为 y ? 4 x ? 2 . 再取 k1 ? ?1, k2 ? ?4 , 此时直线 PA 的方程为 y ? ? x ? 3 ,直线 PB 的方程为 y ? ?4 x ? 6 . 联立方程组 ? ????①

? y ? ?x ? 3 ? x ?1 ? x ? 9 ,解得 ? 或? ,所以 A ? 9, ?6? ; 2 ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?6

9 ? ? y ? ?4 x ? 6 ? x ?1 ? x ? ?9 ? 联立方程组 ? ,解得 ? 或? 4 ,所以 B ? , ?3 ? . 2 ?4 ? ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?3 ?
从而得到 k1 ? ?1, k2 ? ?4 时,直线 AB 的方程为 4 x ? 9 y ? 18 ? 0 .??②???7 分 联立①②,解得交点坐标为 ? 0, ?2 ? . 特殊化地猜想:直线 AB 恒过定点 ? 0, ?2 ? . 以下给出具体的证明: 若直线 AB 的斜率不存在,则 k1 , k2 异号,与 k1k2 ? 4 矛盾, 故设直线 AB 的方程为 y ? mx ? 2 , 联立方程组 ? ????9 分 ????8 分

? y ? mx ? 2 2 2 ,消去 y ,得 m x ? ? 4m ? 4? x ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 4x
4m ? 4 4 , x1 x2 ? 2 , 2 m m 4 , m 8 . m
????11 分

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

代入直线方程,可得: y1 ? y2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 4 ?

y1 y2 ? ? mx1 ? 2 ?? mx2 ? 2 ? ? m 2 x1 x2 ? 2m ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?

k1 ? k AP ?

y1 ? 2 y ?2 , k2 ? kBP ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2

13

8 8 16 ? ? 4 ? ?4 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 m m m 因为 k1k2 ? . ? ? ? ? 4, 4 4m ? 4 4 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ?1 ? ?1 m2 m2 m ?
满足题意要求,所以直线 AB 恒过 ? 0, ?2? .??13 分

20.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导 应用、全称量词与存在量词等基础知识,考查抽象概括能 推理论证能力、运算求解能力以及应用意识,考查化归与 思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思 特殊与一般思想等.满分 14 分.
x 解: (Ⅰ )因为 f ? ? x ? ? e ,

数的 力、 转化 想、

??1 分

所以 f ? ? 0? ? 1 ,即函数的图象在点 P 0, f ?0 ? 处的切线的斜率为 1. ??2 分 又因为切线过切点 P ? 0,1? , 所以函数 f ? x ? 的图象在点 P ? 0,1? 处的切线方程为 y ? x ? 1 .
x (Ⅱ )令 h ? x ? ? e ? kx ? 1 ,则 h? ? x ? ? e ? k .
x

?

?

??3 分

x ①当 k ? 0 时,恒有 h? ? x ? ? e ? k ? 0 ,

所以 h ? x ? 在 (??, ??) 递增, 又因为 h ? 0? ? 0 , 所以当 x ? 0 ,都有 h ? x ? ? 0 ,即命题 p 为真. ②当 k ? 0 时, 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k ;令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k ;令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k . 所以 h( x) 在 (??,ln k ) 递减,在 (ln k , ??) 递增. 方法一: 当 0 ? k ? 1 时, ln k ? 0 , 因为对 x ? (ln k,0) ,都有 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以命题 p 为真; 当 k ? 1 时, ln k ? 0 , 因为对 x ? (0,ln k) ,都有 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以命题 p 为真; 当 k ? 1 时, h ? x ? 的最小值 h ? ln k ? ? k ? k ln k ?1 ? 0 ,
14

??4 分

??5 分

??7 分

所以 h ? x ? ? 0( x ? R) ,命题 p 为假. 综合①②知,若 p 为真,实数 k 的取值范围为 {k | k ? R, k ? 1} . 方法二: 故当 x ? ln k 时, h ? x ? 取得最小值 h ? ln k ? ? k ? k ln k ?1 . 令 m ? x ? ? x ? x ln x ?1,则 m? ? x ? ? ? ln x . 因为 m? ? x ? ? 0 ? x ? 1 , m? ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1 , 所以 m ? x ? 在区间 [1, ??) 单调递减,在区间 (0,1] 单调递增, 当 k ? 0 且 k ? 1 时,

??8 分 ??9 分

h ? ln k ? ? m(k ) ? mmax ( x) ? m(1) ? 0 ,
x 即存在 x ? ln k ,使得 e ? kx ? 1 ,命题 p 为真;??7 分

当 k ? 1 时, h ? x ? 的最小值 h ? ln k ? ? k ? k ln k ?1 ? 0 , 所以 h ? x ? ? 0( x ? R) ,命题 p 为假. 综合①②知,若 p 为真,实数 k 的取值范围为 {k | k ? R, k ? 1} . ??8 分 ??9 分

x ? 注 1:本题也可先证明:当且仅当 k ? 1 时, p : ?x ? R , e ? kx ? 1 为假,再得到若 p 为真,

实数 k 的取值范围为 {k | k ? R, k ? 1} 的结论. 注 2:本题若根据 y ? e 的图象和过定点 (0,1) 的直线,直观地直接写出答案,不给分.
x ? (Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 k ? 1 , p 假, p 真,

即 e ? x ? 1 对 x ? R 恒成立,
x

??10 分

所以,当 x ? 1 ? 0 时,有 ln ? x ?1? ? x . 令x ? 由 ln ?

1 ? n ?1 ? 1 ( n ? N* ) ,即证得, ln ? ? (n ? N* ) . ? n ? n ? n

??11 分

? n ?1 ? 1 * ? ? (n ? N ) 得: ? n ? n 1 1 1 1 11 12 13 101 101 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ln ? ? ln ? ln . 10 11 12 100 10 11 12 100 10 1 ? n ? 1 * 在 ln ? x ? 1? ? x( x ? ?1) 中,令 x ? ? ( n ? N ) 得, ln ? ?? , n ? n ?1 ? n
所以

??12 分 ??13 分

1 1 1 ? ? ? 10 11 12

?

1 10 11 12 ? ln ? ln ? ln ? 100 9 10 11

? ln

100 100 ? ln . 99 9
15

因此 ln

101 1 1 1 ? ? ? ? 10 10 11 12

?

1 100 ? ln , 100 9

又因为 2 ? ln 所以 2 ?

101 100 ? 3, 2 ? ln ?3. 10 9

1 1 1 ? ? ? 10 11 12

?

1 1 1 1 ? 3 ,则 S ? [ ? ? ? 100 10 11 12

?

1 ] ? 2 .??14 分 100

21. (1)选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分 解:(Ⅰ) 解法一: 因为 ?

? ?1 1 ?? 2 ? ? ?6 ? ? 1 1 ?? ?6 ? ? 14 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? , ? 4 ?3 ?? ?4 ? ? 20 ? ? 0 2 ?? 20 ? ? 40 ?
????4 分

所以点 P? 的坐标为 ?14,40? . 解法二:

? 1 1 ?? ?1 1 ? ? 3 ?2 ? BA ? ? ?? ??? ?, ? 0 2 ?? 4 ?3 ? ? 8 ?6 ?

????2 分

? BA ? ?

? 2 ? ? 3 ?2 ?? 2 ? ? 14 ? ??? ?? ? ? ? ? , ? ?4 ? ? 8 ?6 ?? ?4 ? ? 40 ?
????4 分

所以点 P? 的坐标为 ?14,40? . (Ⅱ) 解法一:

? ?a ? c ? 1, ? ?b ? d ? 1, ?a b? ? ?1 1 ?? a b ? ? 1 1 ? ? 设M ? ? ,则有 ,即 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 4 ?3 ?? c d ? ? 0 2 ? ?c d? ? 4a ? 3c ? 0, ? ?4b ? 3d ? 2. ? a ? 3, ? b ? 5, ? 解得 ? ? c ? 4, ? ? d ? 6.
解法二: 因为 det A ?

??6 分

所以 M ? ?

? 3 5? ?. ? 4 6?

????7 分

?1 1 ? 3 1? ? ?1 ,所以 A?1 ? ? ?, 4 ?3 ? 4 1?
?1

??6 分

又因为 M ? A B ,所以 M ? ?

? 3 1?? 1 1 ? ? 3 5 ? ?? ??? ?. ? 4 1?? 0 2 ? ? 4 6 ?

??7 分

16

21(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与 转化思想、函数与方程思想.满分 7 分. 解:(Ⅰ)当 ? ? 0 时,方程 ? cos2 ? ? sin ? 可化为 ?2 cos2 ? ? ? sin ? , 从而得到方程 y ? x2 ; ??1 分

当 ? ? 0 时,因为 sin ? ? 0 有解,所以曲线 C 过极点,极点对应的直角坐标 (0, 0) 也满足方程

y ? x2 .
综上可知,曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x .
2

??2 分 ???3 分

? 3 ? x ? ?1 ? t cos ?, ? x ? ?1 ? ? ? ? 4 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 2 ? t sin 3 ? ? y ? 2? ? ? ? 4 ?
(Ⅱ) 解法一:

2 t, 2 ( 为参数).??4 分 t 2 t 2

? ? x ? ?1 ? ? 将? ? y ? 2? ? ?

2 t 2 代入 y ? x2 ,整理,得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 (*), 2 t 2

???5 分

因为 ? ? 2 ? 8 ? 0 ,所以直线 l 与曲线 C 相交. 设交点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 , t2 是方程(*)的两个相异实数根, 所以 t1 ? t2 ? ? 2, t1t2 ? ?2 , 所以 AB ? t1 ? t 2 ? 解法二: 由倾斜角知直线 l 的斜率为-1, 所以其对应的方程为: y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 1 . ?5 分 ??6 分
2

?t1 ? t2 ?

? 4t1t2 ? 2 ? 8 ? 10 .

????7 分

联立 ?

? y ? ?x ?1 2 ,整理得 x ? x ? 1 ? 0 (*). 2 ? y?x

??6 分

因为 ? ? 1 ? 4 ? 0 ,所以直线 l 与曲线 C 相交.

17

设交点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个相异实数根, 所以 x1 ? x2 ? ?1, x1x2 ? ?1 , 所以 AB ? 1 ? k
2

x2 ? x1 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10 . ???7 分

21(3)选修 4—5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数 与方程思想、化归与转化思想等.满分 7 分. 解:(Ⅰ)由柯西不等式,可得 (a2 ? b2 ? c2 )[1 ? ( 2) 2 ? ( 3) 2] ? ( a ? 2 b ? 3 c )2 , 整理,得 a ? b ? c ? 2 ,
2 2 2

??2 分

当且仅当
2

a b c 3 6 时取等号,即 a ? ? ? ,b ? , c ? 1时,等号成立,?3 分 1 3 3 2 3
2 2

所以 a ? b ? c 的最小值 m ? 2 . (Ⅱ)不等式 x ? 3 ? m 即 x ? 3 ? 2 ,

????4 分

由 x ? 3 ? 2 或 x ? 3 ? ?2 ,解得 x ? 5 或 x ? 1 .(也可观察数轴得到解集) ??5 分 所以不等式 x2 ? px ? q ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? 5} , 则 x1 ? 5 和 x2 ? 1 必是关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的两根,
2

由韦达定理,得 p ? ?( x1 ? x2 ) ? ?6 .

????7 分

18


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