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广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题


试卷类型: A

广东省肇庆市 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学 (文) 试题
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、 试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需 要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定 区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积公式:V ?

4 3 ?R ,球的表面积公式: S ? 4?R 2 ,其中 R 为球的半径; 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 是高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

A. (1, 0)

B. (0,1)

C. (2, 0)

D. (0, 2)

2.原命题“若 x ? ?3 ,则 x ? 0 ”的逆否命题 是 .... A.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 C.若 x ? 0 ,则 x ? ?3 B.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 D.若 x ? 0 ,则 x ? ?3

x2 y 2 3.双曲线 ? ? 1 的焦点坐标是 36 64
A. (0, ?10), (0,10) C. (?2 7, 0), (2 7, 0) 4.命题“ ?x ? R , sin x ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , sin x ? 0 C. ?x ? R , sin x ? 0 B. ?x ? R , sin x ? 0 D. ?x ? R , sin x ? 0 B. (?10, 0), (10, 0) D. (0, ?2 7), (0, 2 7)

5.某三棱锥的三视图如图 1 所示,其正视图和侧视图 都是直角三角形,则该三棱锥的体积等于
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A.

1 3

B.

2 3

C. 1
2

D.3
2

6.直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长度等于 A.1 B. 2 C. 2 2 D. 4 2

7. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 1 ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知直线 a, b 与平面 ? ,则下列四个命题中假命题 是 ... A.如果 a ? ? , b ? ? ,那么 a / / b C.如果 a ? ? , a ? b ,那么 b / /? 9.过点 A(?3, 0) 且离心率 e ? B.如果 a ? ? , a / / b ,那么 b ? ? D.如果 a ? ? , b / /? ,那么 a ? b

5 的椭圆的标准方程是 3
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 9 4
x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1或 ? 9 81 9 4 4
2

x2 y 2 ? ?1 4 9
x2 y 2 x2 y 2 ?1 ? ? 1或 ? 81 9 9 4 4

C.

D.

10.直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线 l 作垂 线,垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为 A. 36 B. 48 C. 56 D. 64

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.双曲线 x ? y ? 10 的渐近线方程 ▲ .
2 2

12.图 2 是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该 几何体的表面积(接触面积忽略不计)等于 ▲ . 13.点 P 在圆 C1 : x ? ( y ? 3) ? 1 上,点 Q 在圆 C2 : ( x ? 4) ? y ? 4
2 2 2 2

上, 则 PQ 的最大值为 ▲ .
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14.如图 3,已知在△ ABC 中,AB =AC,以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D, 过 D 点作⊙ O 的切线交 AC 于 E. 若 CE=1,CA=5,则 BD= ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(?4, 0), B (0, 6), C (1, 2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程.

16. (本小题满分 13 分) 如图 4,⊙ O 在平面 ? 内,AB 是⊙ O 的直径, PA ? 平面 ? ,C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,M,N,Q 分别是 PA,PC,PB 的中点. (1)求证: MN / / 平面 ? ; (2)求证:平面 MNQ / / 平面 ? ; (3)求证: BC ? 平面 PAC .

17 . (本小题满分 13 分) 如图 5, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱垂直底面,?ACB ? 90? ,AC ? BC ? D 是棱 AA1 的中点. (1)证明: DC1 ? 平面 BDC ;
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1 AA1 , 2

(2)若 AA1 ? 2 ,求三棱锥 C ? BDC1 的体积.

18. (本小题满分 14 分) 已知圆心 C 在 x 轴上的圆过点 A(2, 2) 和 B (4, 0) . (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 M (4, 6) 且与圆 C 相切的直线方程; (3)已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标为 (3,5) ,端点 P 在圆 C 上运动,求线段 PQ 的中 点 N 的轨迹.

19. (本小题满分 14 分) 如图 6, 已知点 C 是圆心为 O 半径为 1 的半圆弧上从点 A 数起的第一个三等分点, AB 是直径, CD ? 1 ,直线 CD ? 平面 ABC . (1)证明: AC ? BD ; (2)在 DB 上是否存在一点 M ,使得

OM ∥ 平面 DAC ,若存在,请确定点 M 的位置,
并证明之;若不存在,请说明理由; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离.

20. (本小题满分 14 分)

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已知椭圆 C 的两个焦点的坐标分别为 E (?1, 0) ,F (1, 0) , 并且经过点 ( M、N 为椭圆 C 上关于 x 轴对称的不同两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 EM ? EN ,试求点 M 的坐标;

2 3 , ) , 2 2

(3)若 A( x1 , 0), B ( x2 , 0) 为 x 轴上两点,且 x1 x2 ? 2 ,试判断直线 MA, NB 的交点 P 是否在椭圆 C 上,并证明你的结论.

2014—2015 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题 11. y ? ? x 12. 48? 13.8 14. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ K AB ?

6?0 3 ? , 0 ? (?4) 2 2?0 2 , ? 1 ? (?4) 5

(1 分)

K AC ?

(2 分)

∴ K AB ? ? K AC , ∴ A, B, C 三点不共线. (2)∵ A, B 的中点坐标为 M (?2,3) , 直线 x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k1 ? ?1 , 所以满足条件的直线方程为 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 为所求. (3)∵ K AB ?

(3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (8 分) (10 分)

3 2 ,∴ 与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 k2 ? ? , 2 3

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所以满足条件的直线方程为 y ? 2 ? ?

2 ( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 3

(12 分)

16. (本小题满分 13 分) 证明: (1)∵ M , N 分别是 PA, PC 的中点, ∴ MN / / AC . 又∵MN ? ? ? , AC ? ? , ∴MN / / 平面 ? . (2)由(1)知 MN / / 平面 ? , 同理可证 NQ / / 平面 ? . (1 分) (2 分) (4 分) (5 分) (6 分)

∵MN ? 平面 MNQ, NQ ? 平面 MNQ, 且 MN ∴ 平面 MNQ / / 平面 ? .

NQ ? N ,

(7 分) (8 分) (10 分)

BC ? PA . (3)∵ PA ? 平面 ? , BC ? 平面 ? ,∴
又∵ AB 是⊙ O 的直径,C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,

BC ? AC . ∴
∵PA

(11 分) (12 分) (13 分)

AC ? A , PA, AC ? 平面 PAC ,

∴BC ? 平面 PAC .

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题设知 BC ? CC1 , BC ? AC , AC ∴ BC ? 平面 ACC1 A1 .

CC1 ? C ,

(2 分)

又∵ DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,∴ DC1 ? BC . (3 分) 由题设知 ?ADC ? ?A1 DC1 ? 45o ,∴ ?CDC1 ? 90o ,即 C1 D ? DC . (4 分) ∵ DC

BC ? C ,∴ DC1 ? 平面 BDC .
1 AA1 2

(6 分)

(2) ∵ AA1 ? 2 ,D 是棱 AA1 的中点, AC ? BC ?

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∴ AC ? BC ? 1, AD ? 1 ∴ CD ?

(7 分) (9 分) (10 分) (11 分) (13 分)

AD 2 ? AC 2 ? 2 , DC1 ? 2
1 1 CD ? DC1 ? ? 2 ? 2 ? 1 2 2 1 1 1 ? S ? BC ? ? 1 ? 1 ? 3 3 3 1 1 ? VB ?CDC1 ? ,即三棱锥 C ? BDC1 的体积为 . 3 3

∴ Rt?CDC1 的面积 S ? ∴ V B ?CDC1 ∴ VC ? BDC1

18. (本小题满分 14 分) 解:(1)线段 AB 的中点坐标为 M (3,1) ,斜率为 k AB ?

0?2 ? ?1 4?2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (2 分) (3 分) (4 分)

所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? x ? 3 ,即为 y ? x ? 2 . 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即圆心为 C (2, 0) . 由两点间的距离公式,得 r ?

(2 ? 2) 2 ? 22 ? 2 .
2 2

∴适合题意的圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . 或:设圆心为 C (a, 0) ,由 AC ? BC 得 解得 a=2,所以圆心为 C (2, 0) . 又半径 r ? BC ? 4 ? 2 ? 2 . 所以适合题意的圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .
2 2

(a ? 2)2 ? 22 ? (a ? 4)2

(5 分)

(2)由(1)知圆 C 的圆心坐标为 C (2, 0) ,半径 r ? 2 (i)当过点 M (4, 6) 且与圆 C 相切的直线的斜率不存在时,其切线方程为 x ? 4 .(6 分) (ii)当过点 M (4, 6) 且与圆 C 相切的直线的斜率存在时, 设为 k ,则切线方程为 kx ? y ? 4k ? 6 ? 0 . 由圆心到切线的距离等于半径,得 (7 分)

| 2k ? 4k ? 6 | 1? k
2

? 2 ,解得 k ?

4 3

(8 分)

所以切线方程为

4 4 x ? y ? 4? ? 6 ? 0 3 3

即 4x ? 3y ? 2 ? 0

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因此,过点 M (4, 6) 且与圆 C 相切的直线方程为 x ? 4 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 . (9 分) (3)设点 N 的坐标为 ( x, y ) ,P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) . 由于 Q 点的坐标为 (3,5) 且 N 为 PQ 的中点,所以 x ? 于是有 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ? 5 ①

3 ? x0 5 ? y0 , (10 分) ,y? 2 2
(11 分) (12 分)

2 因为 P 在圆 C 上运动,所以有 ( x0 ? 2) 2 ? y0 ?4

将①代入上式得 (2 x ? 3) ? (2 y ? 5) ? 4 ,即 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1
2 2

3 2

5 2

(13 分) (14 分)

所以,点 N 的轨迹是以(

3 5 , )为圆心,半径为 1 的圆. 2 2

19. (本小题满分 14 分)

CD ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , (1)证明:∵ CD ? AC . ∴
(1 分)

∵ 点 C 在圆 O 上, AB 是直径,

AC ? BC . ∴
CD 又∵
又∵ BD

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

AC ? 平面 BCD . BC ? C ,∴
平面 BCD,∴ AC BD.

(2)当 M 为棱 DB 中点时, OM ∥ 平面 DA C . 证明:

OM ∥ AD , (6 分) M , O 分别为 DB, AB 中点,∴
(7 分)

OM ∥ 又 AD ? 平面 DAC , OM ? 平面 DAC ,∴ 平面 DAC .

(3)∵ 点 C 是圆心为 O 半径为 1 的半圆弧上从点 A 数起的第一个三等分点,

?AOC ? 60? ,而 OA ? OC ? 1 ,于是, AC ? 1 , ∴ AC ? BC ,于是, BC ? ∵ AB 是直径,∴

(8 分)

AB 2 ? AC 2 ? 22 ? 12 ? 3 .

∵ 直线 CD ? 平面 ABC ,所以, CD ? AC , CD ? BC ,

AD ? AC 2 ? CD 2 ? 12 ? 12 ? 2 , BD ? BC 2 ? CD 2 ? 3 ? 1 ? 2 .(9 分)
∵ AB ? 2 ? BD , 设点 E 是 AD 的中点,连接 BE ,则 BE ? AD

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BE ? ∴
S?ABC ?

AB 2 ? AE 2 ? 22 ? ( 2 / 2) 2 ? 7 / 2 , ,
1 1 3 , AC ? BC ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2

(10 分)

(11 分)

S?ABD ?

1 1 7 7 AD ? BE ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

(12 分) (13 分)

∵ VC ? ABD ? VD ? ABC , 设点 C 到平面 ABD 的距离为 h ,则有

7 3 1 1 ?h ? ?1 , S?ABD ? h ? S?ABC ? CD ,即 2 2 3 3
(14 分)

∴ h?

21 21 ,即点 C 到平面 ABD 的距离为 . 7 7

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)依定义,椭圆的长轴长 2a ?

(

2 3 2 3 (1 分) ? 1) 2 ? ( ) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 , 2 2 2 2
(3 分)

4a 2 ? 8 ? a 2 ? 2, 又 b 2 ? a 2 ? 1 ? 1 ,
因此,所求的椭圆标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(4 分)

或:设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

(1 分)

2 2 3 ) ( )2 2 3 因为点( , )在椭圆上,所以 2 2 ? 22 ? 1 a b 2 2 (
解得

又 a 2 ? b 2 ? 1 (3 分)

a ? 2, b ? 1

因此,所求的椭圆标准方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(4 分)

(2)设 M ( m, n ) , N ( m, ? n ) ,则 EM ? ( m ? 1, n ) , EN ? ( m ? 1, ? n ) , (5 分) 因为 EM ? EN , 所以 EM ? EN ? 0 ,即 ( m ? 1) ? n ? 0 ①,
2 2

(6 分)

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因为点 M ( m, n ) 在椭圆

x2 m2 ? y 2 ? 1 上,所以 ? n2 ? 1 ② 2 2

(7 分)

4 ? m ? ? ? ?m ? 0 ? 3 由①②解得 ? ,或 ? . 1 ?n ? ?1 ?n ? ? ? 3 ?
因此,符合条件的点有 (0,1) 、 (0, ?1) 、 ? ?

(8 分)

? 4 1? ? 4 1? , ?、?? ,? ? . ? 3 3? ? 3 3?

(9 分)

(3)设 M ( m, n ) ,则直线 MA 、 NB 的方程分别为

y (m ? x1 ) ? n( x ? x1 ) ③, y (m ? x2 ) ? ?n( x ? x2 ) ④
设直线 MA 与直线 NB 交点为 P ( x0 , y0 ) ,将其坐标代人③、④并整理,得

(10 分)

( y0 ? n) x1 ? my0 ? nx0 ⑤ , ( y0 ? n) x2 ? my0 ? nx0 ⑥
2 2 2 ⑤与⑥相乘得 ( y0 ⑦, ? n 2 ) x1 x2 ? m 2 y0 ? n 2 x0 2 2 又 x1 x2 ? 2 , m 2 ? 2 ? 2n 2 ,代入⑦化简得 x0 ? 2 y0 ? 2.

(11 分) (12 分) (13 分) (14 分)

因此,直线 MA 与直线 NB 的交点 P 仍在椭圆 C 上.

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