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山东省潍坊第一中学2015届高三5月模拟数学(文)试题


2015.5

2014-2015 下高三数学(文)试题
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 A. 2i B. ? 2i C. 2 ? i

z1 z2 等于(

i
D. ?2 ? i



2、设集合 M ? {0,1}, N ? {x ? Z | y ? 1 ? x} ,则( A. M ? N ? ? 3、给定函数① y ? x
1 2

) D. M ? N ? M

B. M ? N ? ?0?

C. M ? N ? ?1?

② y ? log 1 ( x ? 1) ③ y ? x ?1 ④ y ? 2x?1 ,其中在区间 ? 0,1? 上单
2

调递减的函数序号是( A.①② B.②③

) C.③④ D.①④ )

4、在 ?ABC 中,若 sin A ? sin A cos C ? cos A sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

5、为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分 (10 分制)的频率分布直方图如图所示,假设得分值的中位数 为 me , 众数 m0 ,平均数为 x ,则( A. me ? m0 ? x C. me ? m0 ? x )

B. me ? m0 ? x D. m0 ? me ? x

6、已知平面 ? , ? ,直线 l , m ,且有 l ? ? , m ? ? ,给出下列命题: ①若 ? // ? , 则l ? m ; ②若 l // m , 则? ? ? ; ③若 ? ? ? , 则 l // m ; ④若 l ? m , 则 ? // ? , 其中正确命题个数有( A.1 B.2 ) C.3 D.4

7、若函数 f ? x ? ? A. ? ??, ?1?

(2 ? m) x 的图象如图所示,则 m 的范围为( x2 ? m
B. ? ?1, 2? C. ? 0, 2 ? D. ?1, 2 ?



8、设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x2 ? 8 y 的焦点相同,则此双曲 m n


线的方程为(

x2 ? y2 ? 1 A. 3

x2 y 2 ? ?1 B. 4 12

x2 ?1 C. y ? 3
2

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

9、已知函数 f ? x ? ? ? 范围是( )

?e x ? a x ? 0 ?2 x ? 1 x ? 0

(a ? R) ,若函数 f ? x ? 在 R 上有两个零点,则 a 的取值

A. ? ??, ?1?

B. ? ??,0?

C. ? ?1,0?

D. ? ?1,0? )

10、若函数 f ? x ? ?

sin x ? 2? ,并且 ? a ? b ? ,则下列各结论正确的是( x 3 3 a?b a?b ) ) ? f ?b ? A. f ? a ? ? f ( ab ) ? f ( B. f ( ab ) ? f ( 2 2 a?b a?b ) ? f ?a? ) C. f ( ab ) ? f ( D. f ? b ? ? f ( ab ) ? f ( 2 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上。. 11、圆心在直线 x ? 2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则该圆的标准方程为

?y ? x ? 12、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值 ?x ? 2 ?
与最小值的比为 13、定义在实数集 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 0 , 且 f ? 4 ? x ? ? f ? x ? ,现有以下三种叙述①8 是函数 f ? x ? 的一个周期; ② f ? x ? 的图象关于直线 x ? 2 对称;③ f ? x ? 是偶函数。 其中正确的序号是 14、执行如图中的程序框图,如果输入的 t ???1,3? ,则输出 的 S 所在区间是

15、在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”类似的,我们在平 面向量 D ? {a | a ? ( x, y), x ? R, y ? R}上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ? ” ,定 义如下:对于任意两个向量 a1 ? ( x1, y1 ), a2 ? ( x2 , y2 ) , “ a1 ? a2 ”当且仅当“ x1 ? x2 ”或 “ x1 ? x2 且 y1 ? y2 ” ,按上述定义的关系“ ? ” ,给出如下四个命题: ①若 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1),0 ? (0,0) ,则 e1 ? e2 ? 0 ②若 a1 ? a2 , a2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ; ③对于 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a ? a2 ? a ; ④对于任意向量 a ? 0,0 ? (0,0) ,若 a1 ? a2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 其中真命题的序号为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? [0, (1)求 a 的值,并求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ? x ? 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 象向右平移 根之和。 17、 (本小题满分 12 分) 如图,将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折,连接 AC、FD,形成如图所示的多 面体,且 AC ? 6 (1)证明:平面 ABEF ? 平面 BCDE; (2)求三棱锥 E ? ABC 的体积 18、 (本小题满分 12 分) 某高三年级从甲(文)乙(理)两个年级组各选出 7 名学生参加高校自主招生数学选拔考 试,他们取得的成绩(满分:100 分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是 85,乙 组学生成绩的中位数是 83.

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2

] 时, f ? x ? 的最小 值为 2,

? ? 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,求方程 g ? x ? ? 4 在区间 [0, ] 上所有 12 2

1 ,再将所得的图 2

(1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲组 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机取两名学生,求甲组至少有一名学生的概率。 19、 (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n(n ? 1)(n ? N ? ) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: an ? (3)令 cn ?
2

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

anbn (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ? 的 n 项和 Tn 。 4 1 2 ax ? bx 2

20、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 a b ? x ? ( 0 x ? ? 3 ) , (2) 令 F ?x ? ?f x 其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的斜 ? ?? ax 2 2 x 1 率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2
2 (3)当 a ? 0, b ? ?1 时,方程 f ? x ? ? mx 在区间 ? ?1, e ? ? 内有唯一实数解,求实数 m 的取值

范围。 21、 (本小题满分 14 分)

3 1 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(1, ) , 离心率为 , 左右焦点分别为 F1 , F2 , 过点 F 1 2 2 a b
的直线交椭圆于 A, B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求 l 的方程。 7

高三数学(文)试题参考答案
一、选择题 B D B A D B D C D D 14. ?? 3,4?

二、填空题 11.(x-2) +(y+3) =5 三、解答题: 16. 解: (1)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?
2 2

12. 2∶1

13. ①②③

15. ①②③

?
6

) ? a ? 1 ,…2 分

? ? ? 7? ? , f ( x) ? ?1 ? a ? 1 ? 2 ,得 a ? 2 ;…4 分 ? ?? x ? ?0, ? , ? 2 x ? ? ? , min 6 ?6 6 ? ? 2? ?

? ? ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 6 2 6
得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,

k ?Z ,

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? .…6 分

? 1 ? (2)由题意得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,又由 g ( x) ? 4 得 sin( 4 x ? ) ? ,…9 分 6 2 6
解得 4 x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

或2k? ?

5? , 即 6

x?

k? ? k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? , 2 12 2 4

? ? ? ? ? ? ?? ,故所有根之和为 ? ? .…… 12 分 ? x ? ?0, ?,? x ? 或 12 4 3 12 4 ? 2?
17. (1)证明:正六边形 ABCDEF 中,连接 AC、BE,交点为 G, 易知 AC ? BE ,且 AG ? CG ? 3 , 在多面体中,由 AC= 6 ,知 AG 2 ? CG 2 ? AC 2 , 故 AG ? GC , ………………………………2 分 又 GC ? BE ? G, GC , BE ? 平面 BCDE, 故 AG ? 平面 BCDE,……………………….5 分

又 AG ? 平面 ABEF,所以平面 ABEF ? 平面 BCDE;…6 分 (2)连接 AE、CE,则 AG 为三棱锥 A ? BCE 的高,GC 为 ?BCE 的高.在正六边形 ABCDEF 中, BE ? 2AF ? 4 , 故 S?BCE ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 3 ,…………..9 分 2
1 所以 VE ? ABC ? VA? BCE ? ? 2 3 ? 3 ? 2 .……12 分 3

18. 解(1)∵甲组学生的平均分是 85, ∴
92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 . 7

∴x=5. ………………………………1 分

∵乙组学生成绩的中位数是 83, (2)甲组 7 位学生成绩的方差为:
s2 ?

∴y=3. …………………………………… 2 分

1 ?(?6)2 ? (?7)2 ? (?5)2 ? 02 ? 02 ? 72 ? 112 ? ? ? 40 ……………………………………5 分 7?

(3)甲组成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙组成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E. ……………………6 分 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) …………………… 9 分 其 中甲组至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B),(A,C),(A,D ),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11 分

记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为事件 M,
7 .…………………………………………………………………………12 分 10 19. 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2,

则 P(M ) ?

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n, a1=2 满足该式,∴数列{an}的通项公式为 an=2n…………3 分 (2)an ?
b b1 b ① ? 2 2 ? ? ? n n ? n ? 1? , 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3
n ?1 n ?1

an?1 ?
n+1

b b ?1 b1 b ? 2 2 ? ? ? n n ? n?n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1



②-①得,

b

?1

? an ?1 ? an ? 2 ,得 bn+1=2(3

+1),

又当 n=1 时,b1=8, 所以 bn=2(3 +1)(n∈N ).…………………………7 分 (3) cn ? an bn =n(3 +1)=n·3 +n,…………………8 分 4
n n n *

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 )+(1+2+…+n) , 令 Hn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 ,① 则 3Hn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3
1 2 3 n 2 3 4 n+

2

3

n

②, ① -②得,-2Hn=3+3 +3 +…+3 -n×3 ∴ H n ? (2n ? 1) ? 3 4
n ?1
2 3 n n+1

n n+1 = 3(3 ? 1) -n×3 3 ?1

?3 ,

……………………………………….10 分
n ?1

∴数列{cn}的前 n 项和. H n ? (2n ? 1) ? 3 4

?

n(n ? 1) 3 . ? 2 4

……12 分

20. 解: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为 (0,??) , 当 a ? b ? 1 时, f ( x) ? ln x ? 1 x 2 ? 1 x , 2 4 2
f ?( x) ? 1 1 1 ?( x ? 2)( x ?1) ………………………………………….2 分 ? x? ? x 2 2 2x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?2 (舍去) , 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1,??) ;…………….4 分 (2)由题意知 F ( x) ? ln x ?

a x

, x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ?

x0 ? a 1 ? 在(0,3)上恒成立, 2 2 x0

1 2 1 2 1 所以 a ? (? x0 ? x0 )max ,当 x0=1 时, ? x0 ? x0 取得最大值 , 2 2 2

所以 a ?

1 ;………………………………………………………………………………8 分 2

(3)当 a ? 0, b ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? x , 由 f ( x) ? mx ,得 ln x ? x ? mx ,又 x ? 0 ,所以 m ? 1 ? 要使方程 f ( x) ? mx 在区间 [1, e2 ] 上有唯一实数解, 只需 m ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?
ln x 有唯一实数解,……………………………………………10 分 x ln x , x

ln x 1 ? ln x ,由 g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? e ; g ?( x) ? 0 ,得 x ? e , ( x ? 0) ,∴ g ?( x) ? x x2

∴ g ( x) 在区间 [1, e] 上是增函数,在区间 [e, e 2 ] 上是减函数.
g(1) ? 1,g(e2 ) ? 1 ?

2 2 1 ,g(e) ? 1 ? ,故 1 ? m ? 1 ? 2 . 2 e e e

……………………13 分

2 2 2 2 2 c 1 21. 解: (1)? 椭圆 C; x 2 ? y2 ? 1 过点 A(1, 3 ) ,? 离心率为 1 ,∴ ? ,又? a ? b ? c , a 2 a b 2 2

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? ?c 1 解? ? ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?

,得a ? 4, b ? 3,
2 2

? 椭圆 C 的方程: x ? y ? 1 ; …….5 分
4 3

2

2

(2)由(1)知 F1 ( ?1, 0) ,①当 l 的倾斜角是

? 时,l 的方程为 x ? ?1, 2

1 1 12 2 3 3 交点 A(?1, ), B(?1, ) ,此时 S ?ABF ? | AB | ? | F1 F2 |? ? 3 ? 2 ? 3 ? , 不合题意. ….7 2 2 7 2 2
2

分 ②当 l 的倾斜角不是
? 时,设 l 的斜率为 k,则其直线方程为 y ? k ( x ? 1) , 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 消去 y 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,……….……….9 分 ? y ? k ( x ? 1), ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ?12 ,………………10 分 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? S ?F2 AB ? S ?F1F2 B ? S ?F1F2 A ?

1 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 2

1 ? ? 2 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k 2
2

x1 ? x 2

2

?k

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

2 ? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 ? ?k ? ? ? 4 ? ? ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? ? , ……………………...12 分

又已知 S?F AB ?
2

12 2 12 | k | k 2 ? 1 12 2 ,? ? ? 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 , 7 7 4k 2 ? 3

? (k 2 ? 1)(17k 2 ? 18) ? 0 ? k 2 ? 1 ? 0 解得 k ? ? 1 ,

故直线 l 的方程为 y ? ?1( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . ………….14 分

高三数学测试答题卷
一、分数统计栏(此项由评卷老师填写,学生书写一律无效) 二 16 17 18 19 20 21 总分

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。) 11、 12、 13、 14、

15. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 )

16、 (本题 12 分)

17、 (本题 12 分)

18、 (本题 12 分)

19、 (本题 12 分)

20、 (本题 13 分)

21、 (本题 14 分)


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