tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计


平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学内容分析
以物体受力做功为背景引入数量积的概念, 使向量数量积运算与物理知识联 系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对 数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4》 (A 版)第二 章、第 4 节第 1 课时。它是平面向量的

核心内容,向量的平行、垂直关系是向量 间最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征, 向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。 本节的知识结构:

二、学生学习情况分析
本节以力对物体做功作为背景,研究平面向量的数量积。但是,学生作为初 学者不清楚向量数量积是数量还是向量,寻找两向量的夹角又容易想当然,以及 对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引 导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的 位置关系、距离和角,这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量 学生容易混淆。 利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决 问题,是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向 量的乘法运算这是个很自然的过渡,深入浅出、符合学生的认知规律,也有利于 明确本节课的教学任务,激发学生的学习兴趣和求知欲望。

三、设计思想

第 1 页 共 7 页

《高中数学课程标准》指出: “有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手 实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式” ,转变学生的学习方式,激发学生 的学习积极性,让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来,这是新课程数学教学的 基本要求。 《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过 程与方法,培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此,结合本节课的教学内容,教学 中注重过程、方法,注重引导学生自觉去看书,不断提出问题,研究问题,并解决问题。重 视在师生,生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

四、教学目标
通过师生互动、学生的自主探究, (1)理解平面向量数量积的含义及其物理 意义; (2)掌握向量数量积的性质和运算律,会进行平面向量数量积的运算; (3) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个向量的垂直关系; (4) 通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照,强化学生的类比思想;通过数量 积的性质、运算律的灵活应用,发展学生从特殊到一般的能力,培养学生学习的 主动性和合作交流的学习习惯。

五、教材重点和难点
重点是平面向量的数量积的概念和性质; 用平面向量数量积表示向量的模及 向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用。 难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积 的灵活应用。

六、教学过程设计
[情景 1] 问题 回忆物理中“功”的计算,它的大小与哪些量有关?

结合向量的学习你有什么想法?若一个物体在力 F 的作用下产 生的位移为 S ,那么力 F 所做的功 W 等于多少?

第 2 页 共 7 页

[设计意图] 以物理问题为背景,初步认识向量的数量积,为引入向量的数量积的概念 做铺垫。 [师生互动] 生: W ? F s cos? (其中 ? 是 F 和 S 的夹角) 。

师:功是一个矢量还是标量?它的大小由那些量来确定? 显然功是一个标量, 它由力和位移两个向量来确定。 从中我们得到一个启发: 能否将功看成是两个 “向量相乘” 的一种运算的结果呢?从而得出平面向量的 “数 量积”的概念。 [情景 2] 1、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量?它们有怎样的关系?运算结 果是向量还是数量? 2、如何确定两个非零向量的数量积的符号,什么情况下值为零? [设计意图] 使学生从感性到理性去认知数量积的定义。 通过对概念的认识、 分析和探究, 使学生加深理解,并掌握相关的性质及几何意义。同时加深对投影的认识。 [师生互动] 1、仿照物理问题建构“数学模型” 。引入“向量数量积”的概念:已知两个 非零向量 a 与 b ,把数量 a b cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a ? b , 即 a ? b ? a b cos ? ( 其 中 ? 是 a 与 b 的 夹 角 )。
a cos? ( b cos? ) 叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的

投影。 2、规定:零向量与任何向量的数量积为 0 。 3、 (1)数量积运算结果的符号取决于 a 与 b 的夹角 ? ( ? ??0 , ? ? )的大小;

第 3 页 共 7 页

(2)两个向量的数量积是一个数量,它与两个向量的长度及其夹角有关; (3) 符号 a ? b 不能写成 a b 或 a ? b 的形式; (4)找向量的夹角时,应将两向量的起点 平移到同一个点上。 4、探究其性质: (1) a ? b ? a ? b ? 0 ( a 与 b 都是非零向量) ; 设置情景:若 a ? b ? 0 ,则向量 a 与 b 至少有一个是零向量?类比 a , b ? R 时,若
ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 。 而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用。

(2)当向量 a 与 b 共线同向时, a ? b ? a b ;当向量 a 与 b 共线反向时,
a ? b ? ? a b 。特别地 a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a ? a (与二次根式性质:
a 2 ? a 进行类比) 。这是求向量长度的又一重要方法。
2 2

2

[情景 3] 由学生自主学习来完成书本例题 1。 [设计意图] 通过计算巩固对数量积定义的理解。进一步引导学生对 a ? b 和 a b 的大小 关系进行一般的研究比较。 [师生互动] 从例 1 容易得出性质 a ? b ? a b 和数量积的几何意义。 [情景 4] 给学生 2 ~ 3 分钟时间,阅读教材,并对前面所学的内容及研究方法作一个 归纳小结。 [设计意图]

第 4 页 共 7 页

培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学生,体 现师生间的合作探究,不管是老师还是课件,都是为学生服务的,都在同步配合 学生的学习和探索。 [师生互动] 学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法,老师可以有针对性进行学习方 法点拨并指出对学习过程进行及时反思的重要性。 [情景 5] 运算律和运算是紧密相联的,类比实数运算中的运算律,探究平面向量数量 积的运算律。 [设计意图] 通过类比、探究使学生得出数量积的运算律,进一步培养学生的逻辑思维和 研究问题的能力。 [师生互动] 1、回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律,体会不同运 算的运算律不尽相同,需要研究。 已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ? ,则

(1) a? b ? b? a ( 2 ) ?(a ? )b ? ? a(? b ? ) a ?? ( b ) ( 3 ) a(? b ?) c ? a ? c ? b ? c
2、 对向量数量积的运算律进一步研究, (1)a (b ? c) ? (a ? b) c 成立吗?显然, 等式左边与向量 a 共线,右边与向量 c 共线,而向量 a 与 c 不一定共线,因此结论 不一定成立; (2)由 a ? b ? b ? c 能否推出 a ? c ?(反例:当 a ? 0 , b ? c 时,有 。结合实数 a , b , c (b ? 0) ,有 ab ? bc ?a ?c a ? b ? b ? c ? 0 。但不能得到 c ? 0 ) 进行类比,辩析。

第 5 页 共 7 页

3、老师可以通过学生的讨论进行纠错,理解不同的运算具有不同的运算律, 体会到数学的法则与法则之间的区别与联系。 同时注意利用学生错误这一重要的 资源,让学生更容易找到易错点和易混点,从而更清晰、准确地掌握知识。 [情景 6] 例 2、例 3、例 4 的教学。 [设计意图] 1、要求学生体会实际解题中运算律的作用,比较向量运算与多项式乘法运 算的异曲同工; 2、学会利用数量积来解决有关垂直问题,体会运算律带来的优越性。 3、上面几个例题,层层递进,都是把较难的问题转化为已经解决的较易的 标准问题,体现了知识和方法上的转化。 [师生互动] 1、老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比; 2、让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练, 进一步体现向量的工具作用。 [情景 7] 课后反思:让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。 [设计意图] 让学生整理相关的学习内容,使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充 分体现,体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方 法,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。

七、教学反思
本节课教学效果不错,主要是把学习的主动权交还给学生,注意学生的主动 探索、思考及师生互动,还以物理知识为背景,建立了数学的平面向量数量积的 概念和运算。使得学习内容直观、生动,抓住重点。使学生懂得对已有的知识进

第 6 页 共 7 页

行迁移、 采用类比的方法让学生主动学习合作交流, 体验数学的发现和创造过程, 培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我,学会自己寻找解题的突 破口,在探究中学会思考,在合作中学会推进,在观察中学会比较,进而推进整 个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是偏多了一点,对于学生解题中出 现的错误这一资源展开、分析得不够,以后应该更加注意引导。

第 7 页 共 7 页


推荐相关:

平面向量数量积的物理背景及其含义教案

教案 平面向量数量积的物理背景及其含义 王瑞琪 项城市第一高级中学 2012-6-17 课题:§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 教学目标 (一)知识目标 1、...


平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计卢龙县城关中学 冯爱琴 一、整体设计思路 本节课从总体上讲是一节概念教学课,依据新课程改革应关注知识的发生和发展...


平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计_数学_高中教育_教育专区。高中数学,教学设计,教案平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学内容分析以物体受力做功为背...


2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章《平面向量》 ) 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计) [教学目标] 一、 知识...


2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

二、教学目标 1.知识与技能: 掌握平面向量数量积的定义、运算律及其物理意义。 2.过程与方法: (1)通过向量数量积物力背景的了解,体会物理学和数学的关系。 ...


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案

《2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义教 案教学目标 (一)知识目标 题:§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 1、了解平面向量数量积的物理...


【名师堂】2015-2016学年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修4

【名师堂】2015-2016学年高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。2.4 2.4.1 平面向量的数量积 平面...


2011山东临清三中数学必修4教学案:2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)

二.教学目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运 用...


2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案_数学_高中教育_教育专区。平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标分析 1.知识与技能:阐明平面向量的数量积及其...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com