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2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷(理科)


2015 年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认 为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. (5 分) (2012?台州模拟) 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是 (

A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 2. (5 分)函数 的值域为( ) )

A. (0,3) B.[0,3] C. (﹣∞,3] D.[0,+∞) 3. (5 分) (2008?上海)f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶函 数”是“h(x)为偶函数”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 4. (5 分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断 框中,应该填入下面四个选项中的( )

A.c<x B.x<c C.c<b D.b<c

5. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A.0

B.﹣

C.﹣2 D.﹣3

6. (5 分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数 量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正 方体货箱的个数为( )

1

A.6

B.7

C.8

D.9 与 在 方

7. (5 分) (2007?四川)设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 8. (5 分)从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 9. (5 分) (2014?仁寿县模拟)已知双曲线 ﹣



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分

别交双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥ QF2,则此双曲线的渐近线方程为( ) A.y=± x B.y=± x C.y=±2x D.y=±3x 10. (5 分) (2009?杭州二模) 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)若 a 为实数, ,则 a 等于 _________ .

12. (4 分) (2007?安徽)若 13. (4 分)在△ ABC 中,若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 _________ .

,∠ C=150°,BC=1,则 AB 的值为 _________ .

14. (4 分) (2014?闵行区三模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 _________ . 15. (4 分)设向量 满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |= _________ .

16. (4 分)甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设 随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,则 ξ 的数学期望为 _________ . 17. (4 分)在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点(包括端 点) ,现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的摄影恰好落在边 AB 上,则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平面角 余弦值的变化范围是 _________ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和.
2

19. (14 分)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式. 20. (15 分)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

21. (15 分)已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C: 为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求四边形 ANBM 面积的最大值. 22. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ )当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)在[1,2]的最大值.
2

=1(a>b>0)上,斜率

3

2015 年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷 (理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认 为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. (5 分) (2012?台州模拟) 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A a≤1 B a<1 C a≥2 D a>2 . . . . 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合.

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点评:

先求出?RB,从而根据集合 A 及 A∪ (?RB)=R 即可求出 a 的取值范围. 解:∵ ?RB={x|x≤1,或 x≥2}, ∴ 若 A∪ (?RB)=R; ∴ a≥2. 故选 C. 考查描述法表示集合,以及集合的并集、补集运算,也可借助数轴求解.

2. (5 分)函数 A (0,3) . 考点: 专题: 分析: 解答: B [0,3] .

的值域为( C (﹣∞,3] .

) D [0,+∞) .

函数的值域. 计算题. 先求出 x<﹣1 时函数的值域;再求出 x≥1 时的值域,将两段的值域求并集,即得函数的值域.
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解:当 x<﹣1 时,y=3 ,此时 当 x≥1 时,y=log2x,此时 y≥0 所以函数的值域为[0,+∞) 故选 D 求分段函数的值域,应该分段求,再将求出的各段的函数值域求并集.

x

点评:

3. (5 分) (2008?上海)f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶函 数”是“h(x)为偶函数”的( ) A 充要条件 B 充分而不必 . . 要的条件 C 必要而不充 D 既不充分也 . 分的条件 . 不必要的条 件 考点: 专题: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断. 压轴题.
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分析: 解答:

本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值. 解.若“f(x) ,g(x)均为偶函数”,则有 f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=g(x) , ∴ h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x) ,∴ “h(x)为偶函数”, 而反之取 f(x)=x +x,g(x)=2﹣x,h(x)=x +2 是偶函数,而 f(x) ,g(x)均不是偶函数”, 故选 B 本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断,属基本题.
2 2

点评:

4. (5 分)如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那么在空白的判断 框中,应该填入下面四个选项中的( )

A c<x . 考点: 专题: 分析: 解答:

B x<c .

C c<b .

D b<c .

点评:

程序框图. 图表型. 由于该程序的作用输出 a、b、c 中的最小数,因此在程序中要比较数与数的大小,第一个判断框是判 断 x 与 b 的大小,故第二个判断框一定是判断最小值 x 与 c 的大小. 解:则流程图可知 a、b、c 中的最大数用变量 x 表示并输出, 第一个判断框是判断 x 与 b 的大小, ∴ 第二个判断框一定是判断最大值 x 与 c 的大小,并将最大数赋给变量 x, 故第二个判断框应填入:x>c, 故选:A. 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.
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5. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A 0 . 考点: 专题:

B ﹣ .

C ﹣2 .

D ﹣3 .

简单线性规划. 计算题;作图题;不等式的解法及应用.
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5

分析:

由题意作出其平面区域,将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距,由几何 意义可得. 解:由题意作出其平面区域,

解答:

将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距, 则当过(0,1)时有最小值, 即 z=0﹣2=﹣2, 故选 C. 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

点评:

6. (5 分)在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数 量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三视图画了出来,你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正 方体货箱的个数为( )

A 6 . 考点: 专题: 分析: 解答:

B 7 .

C 8 .

D 9 .

简单空间图形的三视图. 空间位置关系与距离. 由俯视图可得最底层小正方体的个数,即所有小正方体的摞数,从左视图和主视图可以看出每摞小正 方体的个数,相加可得答案. 解:由俯视图可得所有小正方体共 6 摞, 每摞小正方体的个数如下图所示:
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故这些正方体货箱的个数为 8 个, 故选:C
6

点评:

本题考查的知识点是由三视图还原实物图,其中准确把握空间几何体的几何特征,建立良好的空间想 像能力是解答本题的关键.

7. (5 分) (2007?四川)设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A 4a﹣5b=3 B 5a﹣4b=3 C 4a+5b=14 . . . 考点: 分析: 解答: D 5a+4b=14 .







平面向量数量积坐标表示的应用. 构造三个向量,起点是原点,那么三个向量的坐标和点的坐标相同,根据投影的概念,列出等式,用 坐标表示,移项整理得到结果.
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解:∵ 与 ∴



方向上的投影相同,

点评:

∴ 4a+5=8+5b, ∴ 4a﹣5b=3 故选:A. 投影也是一个数量,不是向量;当 q 为锐角时投影为正值;当 q 为钝角时投影为负值;当 q 为直角时 投影为 0;当 q=0°时投影为|b|;当 q=180°时投影为﹣|b|. )

8. (5 分)从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A 8种 B 12 种 C 16 种 D 20 种 . . . . 考点: 专题: 分析: 解答:

排列、组合及简单计数问题. 应用题;排列组合. 根据题意,使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面的情况数目,再分析求出其中其中有 2 个面 相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面的情况数目,进而可得答案.
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点评:

解:使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面,共 C6 种不同的取法, 而其中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面,选法有 8 种, 3 则选法共有 C6 ﹣8=12 种. 故选 B. 本题考查组合的运用,但涉及立体几何的知识,要求学生有较强的空间想象能力.

3

9. (5 分) (2014?仁寿县模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分 )

别交双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥ QF2,则此双曲线的渐近线方程为( A y=± x B y=± x C y=±2x D y=±3x . . . . 考点: 专题: 分析:

解答:

双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 点 P 是 F1Q 的中点,O 是 F1F2 的中点,利用三角形的中位线定理可得 OP∥ F2Q.已知 QF1⊥ QF2,可得 F1Q⊥ OP.进而得到直线 F1P 的方程,即可得到点 P 的坐标,利用余弦定理,即可求得双曲线的渐近线 方程. 解:如图所示,
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7

∵ 点 P 是 F1Q 的中点,O 是 F1F2 的中点, ∴ OP∥ F2Q. ∵ QF1⊥ QF2,∴ F1Q⊥ OP. ∵ OP 的方程为 y=﹣ x, ∴ = ,

∴ 直线 F1P 的方程为 y= (x+c) .

联立

,解得

,即 P(﹣



) .

∴ |PF1|=|PQ|=b,|PO|=a,|OF1|=|OF2|=|OQ|=c,|QF2|=2a, ∵ tan∠ QOF2= ,∴ cos∠ QOF2= ,

由余弦定理,得 cos∠ QOF2=1﹣ ∴ e ﹣e﹣2=0, 解得 e=2,或 e=﹣1(舍) ∴ b= a, ∴ 双曲线的渐近线方程为 y=± 故选 B.
2

= ,

x.

点评:

本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间 的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题.

10. (5 分) (2009?杭州二模) 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A B C D . . . . 考点: 专题: 分析: 数列与三角函数的综合. 计算题;压轴题. 对函数求导,使得导函数等于 0,函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交点的横标,观察两函数图象的交点,在每一个周期上都有一个交点,且从左向右,交点的位置更 靠近左渐近线,两个点之间的横标的差.
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8

解答:

点评:

解:∵ 函数 f(x)=xsinx, ∴ f′ (x)=sinx+xcosx=0 ∴ tanx=﹣x, ∴ 函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交点的横标, 观察两函数图象的交点,从纵轴向右,在每一个周期上都有一个交点, 且从左向右,交点的位置依次更靠左渐近线, ∴ 两个交点之间的横标之差小于一个周期,大于半个周期, 故选 C. 本题考查数列与三角函数的综合,解题的关键是看清题目整理后转化为两个基本初等函数的交点的横 标之间的关系.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)若 a 为实数, ,则 a 等于 .

考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 计算题. 复数方程两边同乘 1+ ,化简利用复数相等,求出 a 即可.
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解: 所以 a=﹣

可得 2+ai=

=2﹣

i

点评:

故答案为: 本题考查复数代数形式的乘除运算,复数相等的充要条件,是基础题.

12. (4 分) (2007?安徽)若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 7 .

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式定理. 计算题. 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,令 x 的指数为 0,求出 n,r 的关系,求出最小的 正整数 n.
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解: 令

展开式的通项为

其中 r=0,1,2,…n 所以当 r=6 时,最小的正整数 n 等于 7 故答案为:7 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

点评:

13. (4 分)在△ ABC 中,若

,∠ C=150°,BC=1,则 AB 的值为



考点: 专题: 分析:

正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 计算题. 由 tanA 的值及 A 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再由 sinC 及 BC 的值,
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9

利用正弦定理即可求出 AB 的值. 解答: 解:∵ tanA= , ∴ cos A= ∴ sinA=
2

=

,又 A∈(0,30°) ,

,又 sinC=sin150°= ,BC=1, = ,

根据正弦定理得:

则 AB=

=

=



故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,及同角三角函数间的基本关系.熟练掌握定理及公式是解本题的关键,同时在 求 sinA 时注意 A 的范围.

14. (4 分) (2014?闵行区三模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的性质. 计算题;压轴题. 先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3,利用等比赛数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1,S2 和 S3,代 入即可求得 q.
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解:∵ 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, n﹣1 2 ∴ an=a1q ,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ) , 解 .

故答案为 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

15. (4 分)设向量

满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |=



考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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由条件利用两个向量垂直的性质,求得 b = ,从而求得| |的值. 解:由题意可得( ﹣2 )? =( ﹣2 )?(﹣ ﹣1)=0, 求得 b = ,∴ | |= ,
2

2

)=﹣ (

﹣4

)= (4



)= (4

点评:

本题主要考查两个向量垂直的性质,求向量的模,属于基础题.

10

16. (4 分)甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设 随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,则 ξ 的数学期望为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

离散型随机变量的期望与方差. 概率与统计. 随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,由此可得 ξ 的分布列, 进而得到 ξ 的数学期望. 解:随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
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则 P(ξ=2)=

= ,

所以 P(ξ=1)=1﹣P(ξ=2)= , 即 ξ 的分布列如下表所示 ξ 1 P …(10 分) ∴ ξ 的数学期望 E(ξ)= ×2+ ×1= , 故答案为: 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望,属于中档题.

2

17. (4 分)在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点(包括 端点) ,现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的摄影恰好落在边 AB 上,则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平 面角余弦值的变化范围是 [ , ] .

考点: 专题: 分析:

二面角的平面角及求法. 计算题;作图题;空间位置关系与距离.
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过点 D 作 DM⊥ AF 于点 O, 交 AB 于点 M, 不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ, 则 cosθ=

=

=



解答:

从而求其取值范围. 解:如图,过点 D 作 DM⊥ AF 于点 O,交 AB 于点 M,不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ, 则 cosθ= ,

设 DF=x,2≤x≤3,由勾股定理, OD= ,OF= ,OA= ,∴ cosθ= = = 在[2,3]上是减函数,



cosθ



11

故答案为:[ , ].

点评:

本题考查了学生的作图能力及空间想象力, 注意折起前后的等量关系是本题解决的关键, 属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和. 考点: 专题: 分析: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 三角函数的图像与性质. (Ⅰ )化简可得: 递增区间; (Ⅱ )令 解答: 解: (I) ∵ 由题得: ( f x) = (2x+ ∴ ∴ 令 可得:递增区间为 (II)令 可得: , , , , ; ) . , 即可求出 x 的值,因为 x∈[0,2π)故可求所有 x 的和. cos x+sinx?cosx﹣
2

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从而可求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调

=

=

cos2x

sin2x=sin

∵ x∈[0,2π)∴ k 可取 1,2,3,4. ∴ 所有满足条件的 x 的和为: 点评: .

本题主要考察了两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,属于基础题.

19. (14 分)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ )若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式.

12

考点: 专题: 分析:

数列的求和;数列递推式. 等差数列与等比数列.

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(I)通过已知条件,等差数列的性质,求出第三项以及第六项,得到公差,即可求数列{an}的通项 公式; (Ⅱ )利用数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,利用数列求和,求解数列{bn}的通项公 式. (本小题满分 14 分) 解: (I)由题得: …. (2 分)
*

解答:

又∵ 公差 d>0∴

…. (4 分)

∴ d=2,an=2n﹣1…. (7 分) * (II)∵ bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) , * ∴ bn﹣bn﹣1=2n﹣1(n≥2,n∈N )…. (9 分) * ∵ bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1(n≥2,n∈N ) 且 b1=a1=1…. (11 分) ∴ ∴ 点评: (n≥2,n∈N ) …. (14 分)
*

本题考查数列的综合应用,数列的递推关系式的应用,数列的基本知识的考查.

20. (15 分)如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

考点: 专题: 分析:

二面角的平面角及求法;与二面角有关的立体几何综合题. 综合题;空间角. (1)作 MP∥ AB 交 BC 于点,NQ∥ AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,易证 MNQP 是平行四边形,根据
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MN=PQ=

,可求出 MN 的长,利用配方法即可求出 MN 的最小值;

解答:

(2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,根据二面角的平面角的定义可知∠ AGB 即为二面角的平面角, 在三角形 AGB 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 解: (1)作 MP∥ AB 交 BC 于点,NQ∥ AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,
13

依题意可得 MP∥ NQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形,∴ MN=PQ ∵ CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴ AC=BF= ∴ MN=PQ= ∵ 0<a< ∴ a= , ; = ,CP=BQ= a

,即当 M、N 分别为 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小为

(2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ∵ AM=AN,BM=BN,G 为 MN 的中点 ∴ AG⊥ MN,BG⊥ MN,即∠ AGB 即为二面角的平面角 α

又 AG=BG=

,所以由余弦定理有 cosα=

=﹣

∴ 面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值为﹣ .

点评:

本题考查空间距离的计算,考查面面角,考查学生的计算能力,属于中档题.

21. (15 分)已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C: 率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求四边形 ANBM 面积的最大值. 考点: 专题: 分析:

=1(a>b>0)上,斜

解答:

直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程. (I)通过椭圆的焦点求出焦距,利用椭圆的定义求出 a,然后求解 b,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设出直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,求出|xA﹣xB|,然后求四边形 ANBM 面积的表达 式,即可求解面积的最大值. (本小题满分 15 分) 解: (I)∵ 右焦点为 F(2,0)∴ 左焦点为 F′ (﹣2,0)…. (1 分) ∴ 2a=|MF′ |+|MF|=8a=4…. (4 分) 2 2 2 2 即:a =16,b =a ﹣c =12…. (6 分)
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∴ 椭圆 C 的方程为:

…. (7 分)

14

(II)设 l:y=x+m,联立

可得:7x +8mx+4m ﹣48=0…. (9 分)

2

2

xA+xB=

xA?xB=



…. (11 分)

∴ 四边形 ANBM 的面积 即: …. (13 分)

∵ 等号成立当且仅当 m=0 时,验证 m=0 交点在直线 MN 两侧成立 …. (14 分) ∴ 面积的最大值为 点评: …. (15 分)

本题考查直线与椭圆的位置关系,椭圆的方程的求法,韦达定理的应用,二次函数的最值的应用,考 查分析问题解决问题的能力.
2

22. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ )当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求 f(x)在[1,2]的最大值. 考点: 专题: 分析: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的综合应用. (Ⅰ )通过 a=1,求出函数的导数,得到切线的斜率,然后求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )求出函数的导数,通过 a 与 0 的大小,讨论,分别判断函数的单调性求解求 f(x)在[1,2]的最 大值. (本小题满分 14 分)
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解答:

解: (I)当 a=1 时

f(x)=lnx﹣x +x

2

…. (3 分)

∴ f(1)=0,f′ (1)=0 即:所求切线方程为:y=0…. (6 分) (II)∵ ∴ 当 a=0 时,f′ (x)>0, f(x)在[1,2]上递增 ∴ f(x)max=f(2)=ln2…. (7 分) 2 当 a≠0 时 可令 g(x)=﹣2ax +ax+1,x∈[1,2]. ∵ g(x)的对称轴 且过点(0,1)

∴ 当 a<0 时,f′ (x)>0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递增 ∴ f(x)max=f(2)=ln2﹣2a…. (9 分) 当 a>0 时, 若 g(1)≤0,即:a≥1 时,f′ (x)<0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递减,
15

∴ f(x)max=f(1)=0…. (10 分) 若 g(1)>0,g(2)<0,即: 时,f′ (x)在 上大于零,



上小于零 f(x)在

上递增,



上递减,

∴ 若 g(1)>0,g(2)≥0,即: f(x)在[1,2]上递增, ∴ f(x)max=f(2)=ln2﹣2a…. (13 分)

…. (12 分) 时,f′ (x)>0 在[1,2]恒成立,

综上:

…. (14 分)

点评:

本题考查函数的导数的应用,闭区间上的函数的最值的求法,考查分析问题解决问题的能力.

16


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