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广东省暨南大学附中2014年高考数学一轮单元训练 直线与圆 Word版含答案]


暨南大学附中 2014 版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练:直线与圆 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.若直线 ?3a ? 2?x ? ?1 ? 4a

?y ? 8 ? 0 和直线 ?5a ? 2?x ? ?a ? 4?y ? 7 ? 0 相互垂直,则 a 值为( A.0 【答案】C 2.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于( A. 2 【答案】D 3.在△ABC 中,已知点 A(5,-2),B(7,3) ,且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴 上,则直线 MN 的方程为( A. 5x 一 2y 一 5=0 C. 5x -2y+5 =0 ) B. 2x 一 5y 一 5=0 D. 2x -5y+5=0 ) B. 1 C. 0 ) B.1 C .0 或 1 D.0 或-1 )

D. ? 1

【答案】A 4.若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与连接两点 P(2,?3), Q(3,2) 的线段相交,则实数 a 的取值范围( A. [ ?

4 1 , ] 3 2
4 3 1 2

C. (?? ,? ] ? [ ,?? ) 【答案】A 5.直线 x+ A.

4 3 4 1 D. ( ? , ) 3 2

B. ( ?? ,? ) ? ( ,?? )

1 2

3 y -2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于(
B.

)

2 5
2 2

2 3
2 2

C.

3
)

D.1

【答案】B 6.两圆 x +y -4x+6y=0 和 x +y -6x=0 的连心线方程为( A.x+y+3=0 C.3x-y-9=0. 【答案】C 7.圆 x
2

B.2x-y-5=0. D.4x-3y+7=0

? y 2 ? 1 和圆 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 的位置关系是(
B.内切 C.外离

) D.内含

A.外切 【答案】A

8.已知直线 L 经过点 A(1, 2 A. 30 【答案】C
?

3), B(2, 3) .则 L 的倾斜角是(
?

) D. 150
?

B. 60

C. 120

?

9.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 点,则 k 的取值范围是( )

2

? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交

A. C. 【答案】A

0?k ? 5

B. D.

? 5?k ?0
0?k ?5

0 ? k ? 13

10.设A为圆 x

2

,O为原点,那么 ?OAB 的最大值为( ? y 2 ? 8 上动点,B(2,0)

)

A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】C 11.下列说法正确的是( ) A.若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1//l2 B.若直线 l1//l2,则 l1 与 l2 的斜率相等 C.若一条直线的斜率存在,另一条直线的斜率不存在,则它们一定相交 D.若直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,则 l1//l2 【答案】C 12.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x
2

? y 2 ? 1相交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 3 ,则

OA ? OB ? (
A.

) B. ?

1 2

1 2

C.

3 2
共 90 分)

D. ?

3 2

【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是 2 【答案】-3<m<- . 3 14.直线 l 过点 A(0, 1),且点 B(2, –1)到 l 的距离是点 C(1, 2)到 l 的距离的 2 倍,则直线 l 的方程是 【答案】x=0 或 y=1 15.函数 . .

y ? loga ? x ?1? ? 3? a ? 0, a ? 1? 的图像恒过定点 A ,过点 A 的直线 l 与圆
2

? x ? 1?

? y 2 ? 1 相切,则直线 l 的方程是____________.

【答案】 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 2 16.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 则 k 的值为____________ 【答案】 ?
2

, ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点)

3

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 17.抛物线 y ? 2 px (p>0)的准线方程为 x ? ?2 ,该抛物线上的点到其准线的距离与到定点 N

的距离都相等,以 N 为圆心的圆与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 都相切。 (Ⅰ)求圆 N 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 同时满足下列两个条件,若存在,求出的方程;若不存在请说明理由. ① ②

l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; l 被圆 N 截得的弦长为 2 .

【答案】(Ⅰ)因为抛物线

y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 ,

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点,则定点 N 的坐标为 ( 2,0) . 所以 圆 N 的方程 ( x ? 2)
2

? y2 ? 2 .

(Ⅱ)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) ,

?k ? ?1? ,
2,

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d

?

2k ? 1

4 ? 1 ,解得 k ? 0或 , 3 1? k
2

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ?

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 , 3

由?

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y ? ?x
所以不存在满足条件的直线 l .

由?

显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾! 方法 2:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) ,

因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) , 又点 B 在直线 y ? ? x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 18.已知圆 C 经过 A(0,1) , B(4, a) ( a ? R ) 两点.

(1)当 a ? 3 ,并且 AB 是圆 C 的直径,求此时圆 C 的标准方程; (2)当 a ? 1 时,圆 C 与 x 轴相切,求此时圆 C 的方程; (3)如果 AB 是圆 C 的直径,证明:无论 a 取何实数,圆 C 恒经过除 A 外的另一个定点,求出
这个定点坐标. 【答案】(1)圆心坐标 C (2, 2) , r 2 ? 5. 方程 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5 .
2 2

(2) a ? 1 时,圆过 A(0,1), B(4,1) ,设圆的半径为 r , 则圆心为 (2, r ) .

5 25 5 . 圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? )2 ? . 2 4 2 (3) 【法一】动圆的方程为: x( x ? 4) ? ( y ? 1)( y ? a) ? 0 , 则 x ? 4, y ? 1 , 等式恒成立.定点为 (4,1) .
r 2 ? 4 ? (r ? 1)2 ,

r?

【法二】直径所对的圆周角为直角, B 点在直线 x ? 4 上运动. 过 A 点作 x ? 4 的垂线,垂足为 E ,则 ?AEB ?

?
2

,则圆恒过点 E (4,1) .

【法三】 AB 中点 ( 2, 为

16 ? (a ? 1) 2 a ?1 2 | AB | ? 16 ? ( a ? 1 ) ), ,r ? ,圆方程 2 2

a ? 1 2 16 ? (a ? 1) 2 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? ,整理成: x ? y ? 4x ? y ? a( y ? 1) ? 0 , 2 4
2

得过定点 (4,1) 19.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积 5 .

【答案】设直线为

4 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 ( ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
得 25k 解得 k
2

? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k 2 ? 50k ? 16 ? 0

2 8 ? ,或 k ? 5 5

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。

20.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1 ) 求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长。 【答案】 (1)由两点式写方程得

y ?5 x ?1 ? ,即 6x-y+11=0 ?1? 5 ? 2 ?1
y ? 5 ? 6( x ? 1)



直线 AB 的斜率为 即 6x-y+11=0

k?

?1? 5 ?6 ? ? 6 直线 AB 的方程为 ? 2 ? (?1) ? 1

(2)设 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ?1 2 2

故 M(1,1) AM ?

(1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5

21.已知直线 l :y=k(x+2

2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于不重合的 A、B 两点,O 是坐标原点,且三

点 A、B、O 构成三角形.

(1)求 k 的取值范围; (2)三角形 ABO 的面积为 S,试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (3)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. 【答案】 (1) d O? l =

2 2k k2 + 1

,而 0 ? d O ?l ? 2 ? ?1 ? k ? 1且k ? 0

(2) ? l : kx ? y ? 2 2 k ? 0,? d O ?l ?

2 2k k 2 ?1

? AB ? 2 4 ? (

2 2k k 2 ?1

)2 ? 4

1? k 2 1? k 2

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 ? S ? AB ? d O ?l ? <k <1 k 且0 , (- 1 2 1? k 2



(3)设

k 2 ?1 ? t (t ? 1), 则 k 2 (1 ? k 2 ) ? (t ?1)(2 ? t ) ? ? t 2 ? 3t ? 2
?S ? 4 2 ? ? t 2 ? 3t ? 2 3 2 1 3 1 ? 4 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 2 ? 2( ? ) 2 ? , t t t t 4 8

1 3 4 3 1 ?当 ? , 即t ? 时,k ? ? , S max ? 4 2 ? ? 2, t 4 3 3 2 2
∴S 的最大值为 2,取得最大值时 k ? ?

3 . 3

22. 平面上有两点 A(?1, 0), B(1, 0) , 点 P 在圆周 取最小值时点 P 的坐标。

?x ? 3?2 ? ? y ? 4?2 ? 4 上,求使 AP 2 ? BP 2

1 ABP 中有 AP 2 ? BP 2 ? (4OP 2 ? AB 2 ) ,即当 OP 最小时, AP 2 ? BP 2 取最 2 3 9 4 12 9 12 ? , Py ? 3 ? ? , P( , ) 小值,而 OP x ? 3? min ? 5 ? 2 ? 3 , P 5 5 5 5 5 5
【答案】在Δ


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