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高三数学周考练4


清水县第六中学 2013---2014 学年度第一学期第一次周考

高三年级

姓名:_______________班级:_______________考号:______________ 一、选择题(每空 5 分,共 60 分)
1、集合 A={x|2012<x<2013},B={x|x>a}满足 A∩B=?.则实数 a 的取值范

围是( )

A. {a|a≥2012}

B. {a|a≤2012}

C. {a|a≥2013}


D. {a|a≤2013}

2、已知命题:p:?x∈R,cosx≤1,则¬p 为(

A. ?x∈R,cosx≥1

B.?x∈R,cosx≥1 C. ?x∈R,cosx>1 D. ?x∈R,cosx>1

3、已知 f(x)为偶函数,且 f(x+4)=f(﹣x),当﹣3≤x≤﹣2 时,f(x)=

,则 f(2013)=(



A.

B.

C. 2

D. 8

4、 已知奇函数 f(x) 定义在(﹣1, 1) 上, 且对任意的 x1, x2∈ (﹣1, 1) (x1≠x2) ,都有 成立,若 f(2x﹣1)+f(x﹣1)>0,则 x 的取值范围是( )

A. ( ,1)

B. (0,2)

C. (0,1)

D. (0, )

5、函数 f(x)= A.[-2,0)∪(0,2]

的定义域为 B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]

(

)

6、函数

(0<a<1)的图象的大致形状是(



A.

B.

C.

D.

7、已知

,

,c=

,则(

). A.a>b>c B.b>a>c
1

C.a>c>b

D.c>a>b

8、若幂函数 f(x)的图象经过点 A(

),是它在 A 点处的切线方程为(



A. 4x+4y+1=0

B. 4x﹣4y+1=0

C. 2x﹣y=0

D. 2x+y=0

9、设函数 f(x)=

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(



A. [﹣1,2]

B. [0,2]

C. [1,+∞)

D. [0,+∞)

10、 若

,则下列结论正确的是(



A.

B.

C.

D.

11、函数 A. (0,1) B. (1,1)

的图象必经过点( C. (2,0)

) D. (2,2)

12、函数

的定义域是(



A. (﹣3, 0) ∪ (2, B. (﹣∞,﹣3)∪ C. (﹣∞, 0) ∪ (2, D. (﹣∞,﹣ 3) (3,+∞) +∞) 3]∪[3,+∞)
二、填空题(每空 5 分,共 20 分)
13、函数 y=x +x +1 的值域是____________;y=x -x +1 的值域是__________. 14、若函数 f(x)在区间[-2,3]上是增函数,则函数 f(x+5)的单调递增区间是________.
4 2 4 2

15、若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) 是增函数,则 a=________.

x

在[0,+∞)上

16、 已知函数

,若关于 的不等式

的解集为

, 则

的取值范围



三、简答题 (每空? 分,共? 分)

2

17、已知函数



(Ⅰ)用定义证明

是偶函数;

(Ⅱ)用定义证明



上是减函数;

(Ⅲ)写出函数



时的最大值与最小值.(不要求步骤)

18、已知方程

的两个不相等实根为

.集合



{2,4,5,6},

{1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ,求
2

的值?

19、设 a>0,集合 A={x||x|≤a},B={x|x ﹣2x﹣3<0}, (I)当 a=2 时,求集合 A∪B; (II)若 A?B,求实数 a 的取值范围.

20、已知函数

(a∈R).

(1)试判断 f(x)的单调性,并证明你的结论; (2)若 f(x)为定义域上的奇函数, ①求函数 f(x)的值域; ②求满足 f(ax)<f(2a﹣x )的 x 的取值范围.
2

21、设

(Ⅰ)求函数

的定义域;

(Ⅱ)若存在实数 满足

,试求实数 的取值范围.

3

参考答案
一、选择题
1、解答: 解:将集合 A={x|2012<x<2013},B={x|x>a}画在数轴上

根据 A∩B=?,∴a≥2013.故选 C. 点评:本题以集合为载体考查不等式运算,关键是利用集合运算,得出不等式,从而得解,属于基础题. 2、考点:命题的否定;全称命题. 解答:解:命题:p:?x∈R,cosx≤1,则¬p 为?x∈R,cosx>1 故选 C 点评:本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命题的否定是特称命题 3、考点:函数的值.

分析:利用函数的奇偶性与周期性及﹣3≤x≤﹣2 时,f(x)=

,可求得 f(2013).

解答:解:∵f(x)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),又 f(x+4)=f(﹣x), ∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是以 4 为周期的函数,

又当﹣3≤x≤﹣2 时,f(x)=

,∴f(2013)=f(1)=f(﹣3)=

=8.

故选 D.点评:本题考查函数的奇偶性与周期性,考查分析运算能力,属于中档题. 4、考点:奇偶性与单调性的综合. 分析:先确定函数 f(x)在(﹣1,1)上单调递减,再利用函数是奇函数,即可将不等式转化为具体不等式,从而 可求 x 的取值范围.

解答:解:∵对任意的 x1,x2∈(﹣1,1)(x1≠x2),都有

成立,

4

∴函数 f(x)在(﹣1,1)上单调递减∵函数是奇函数∴f(2x﹣1)+f(x﹣1)>0 等价于 f(2x﹣1)>f(1﹣x)



,∴0<x< 故选 D.

点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查解不等式,考查学生的计算能力,确定函数的单调性是关键.

5、B 解析 由 6、考点:指数函数的图像与性质. 专题:图表型;数形结合.

所以 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,2].

分析:先根据 x 与零的关系对解析式进行化简,并用分段函数表示,根据 a 的范围和指数函数的图形选出答案.

解答:解:因

,且 0<a<1,故选 D.

点评:本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,在高考中占整个试卷的 左右.复 习时,要立足课本,务实基础(特别是函数的图象与性质等). 7 、C 8、考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题.

分析:先设出幂函数的解析式,然后根据题意求出解析式,根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x= 处的导数, 从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式式即可.

解答:解:∵f(x)是幂函数,设 f(x)=x ∴图象经过点 A(

α

),∴ =( ) ∴α =

α

∴f(x)=

f'(x)=

它在 A 点处的切线方程的斜率为 f'( )=1,又过点 A

所以在 A 点处的切线方程为 4x﹣4y+1=0 故选 B. 点评:本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求 解能力,属于基础题.
5

9、考点:对数函数的单调性与特殊点. 专题:分类讨论. 分析:分类讨论:①当 x≤1 时;②当 x>1 时,再按照指数不等式和对数不等式求解,最后求出它们的并集即可. 解答:解:当 x≤1 时,2
1﹣x

≤2 的可变形为 1﹣x≤1,x≥0,∴0≤x≤1.

当 x>1 时,1﹣log2x≤2 的可变形为 x≥ ,∴x≥1,故答案为[0,+∞).故选 D. 点评:本题主要考查不等式的转化与求解,应该转化特定的不等式类型求解.

10、D 解析:分别画出函数

的图象,如下图,由图象可知,在

时,有

,故选 D。

11、D 12、考点:对数函数的定义域. 专题:计算题. 分析:根据对数函数的定义可得因为负数和 0 没有对数,所以真数要大于 0,同时被开方数大于 0,列出不等式组求 出解集即可. 解答:

解:要使函数有意义,需要

解得﹣3<x<0 或 2<x<3 故选:A.

点评:此题比较简单,要求学生理解对数函数的定义域,会求一元二次不等式的解集.

二、填空题 13、

[1,+∞);

6

14、[-7,-2] 解析 ∵f(x+5)的图像是 f(x)的图像向左平移 5 个单位得到的,

∴f(x+5)的递增区间就是[-2,3]向左平移 5 个单位得到的区间[-7,-2].

15、

解析

当 0<a<1 时,f(x)=a 在[-1,2]上的最大值为 a =4,即 a=

x

-1

,最小值为 a =m,从而 m=

2

,故 g(x)=

(1-4×

)

,即 g(x)=

在[0,+∞)上是增函数.当 a>1 时,f(x)=a 在[-1,2]上的最大值 a =4,得 a

x

2

=2,最小值 a =m ,即 m=

-1

,这时 g(x)=(1-4m)

=-

在[0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去.所以

a=

.

16、

三、简答题

17、Ⅰ)证明:函数

的定义域为

,对于任意的

,都有

,∴

是偶函数.

(Ⅱ)证明:在区间

上任取

,且

,则有







,∴


7



,即



上是减函数.

(Ⅲ)解:最大值为

,最小值为



18、解:由 A∩C=A 知 A

C



,则



. 而 A∩B= ,故



显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3.

不仿设

=1,

=3. 对于方程

的两根

应用韦达定理可得 19、考点:

.

绝对值不等式的解法;集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (I)解绝对值不等式求得集合 A,解一元二次不等式求得集合 B,再根据两个集合的并集的定义求得 A∪B.

(II)根据集合 A={x||x|≤a}={x|﹣a≤x≤a}(a>0),且 A?B,可得 解答: (I)解:因为集合 A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2},(2 分) 集合 B={x|x ﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},(4 分) 所以 A∪B={x|﹣2≤x<3}.(7 分) (II)解:集合 A={x||x|≤a}={x|﹣a≤x≤a}(a>0),(9 分)
2

,解不等式组求得 a 的范围.

因为 A?B,所以

(11 分)
8

解得 a<1,所以 0<a<1,即 a 的范围为(0,1).(13 分) 点评: 本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法,集合间的包含关系,属于中档题. 20、考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析:

(1)函数 f(x)为定义域(﹣∞,+∞),且

,任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞),且 x1<x2,推导

出 f(x2)﹣f(x1)>0,由此得到 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调增函数.

(2)由 f(x)是定义域上的奇函数,知 f(x)的值域和满足 f(ax)<f(2a﹣x )的 x 的取值范围. 解答: (本小题满分 16 分) 解:(1)函数 f(x)为定义域(﹣∞,+∞),
2

对任意实数 x 恒成立,由此能够求出函数





任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞),且 x1<x2

则 ∵y=2 在 R 上单调递增,且 x1<x2
x

…(3 分)











∴f(x2)﹣f(x1)>0,
9

即 f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调增函数.…(5 分) (2)∵f(x)是定义域上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),



对任意实数 x 恒成立,

化简得 ∴2a﹣2=0,即 a=1,…(8 分)



(注:直接由 f(0)=0 得 a=1 而不检验扣 2 分)

①由 a=1 得



∵2 +1>1,∴

x

,…(10 分)



,∴

故函数 f(x)的值域为(﹣1,1).…(12 分) ②由 a=1,得 f(x)<f(2﹣x ), ∵f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,∴x<2﹣x ,…(14 分) 解得﹣2<x<1, 故 x 的取值范围为(﹣2,1).…(16 分) 点评: 本题考查函数的单调性的判断,考查函数的值域的求法和满足 f(ax)<f(2a﹣x )的 x 的取值范围.解题时要认真 审题,仔细解答,注意定义法判断函数的单调性的应用.
2 2 2

10

21、解:(Ⅰ)f(x)=|x-3|+|x-4|=

作函数 y=f(x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为



,由图象知

不等式

的定义域为[



].

(Ⅱ)函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f(x)与直线 y=ax-1 有公共点时,存在题设的 x.

由图象知,a 取值范围为(-∞,-2)∪[

,+∞).

11


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