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函数题型分类


导数定义 例 1. 函数 y ? f ( x) ? ? 可导,则 a ? b ?

?x 2 ?ax ? b

x ?1 x ?1

在 x ? 1 处连续, 则有________, 若在 x ? 1 处

切线问题 ①求曲线在点(xo,yo)处的切线方程 ②求过曲线外一点的切线方程 ③求已知斜率的切

线方程 ④一条直线与两曲线相切 ⑤切线条数问题 例题 1:已知函数 f(x)=x3+x-16,求: (1)曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程 (2)过原点的直线 L 是曲线 y=f(x)的切线,求它的方程及切点坐标 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-(1/4)x+3 垂直,求切线方程及切点坐标 例题 2:已知函数 f(x)=ax3+2bx2+cx 在 xo 处去的极小值-4.使其导数 f'(x)>0 的 x 的取值范围 为(1,3) ,求: (1)f(x)的解析式; (2)若过点 P(-1,m)的曲线 y=f(x)有三条切线,求实 数 m 的取值范围。 例题 3:过原点的直线与函数 f(x)=x3+x-16 和函数 g ( x) ? ax ? 3x ? a 都相切,求 a 。
2

含参单调性 例题 1:已知函数 f ( x) ?

1 (a ? 1) x 2 ? ax ? ln x. 讨论函数 f ( x) 的单调性; 2

区间单调 例题 1:已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) .函数 f ( x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜 率为

3 1 m , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范 2 3 2

围;若单调,求 m 的取值范围;若单增,求 m 的取值范围;若单减,求 m 的取值范围。

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零点问题(根的个数、函数交点) 例题 1:已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的解析式; (III) 在 (II) 的条件下, 函数 y ? f ( x) 与 y ? 求 m 的取值范围. 例题 1:是否存在实数 ,使得函数 与 的图像有且只有

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三个不同的交点, 3

三个不同的交点?若存在求出

的范围,若不存在说明理由。

含参最值 ①函数含参,区间已知,求区间最值 ②函数含参,最值已知,求参数 ③函数已知,区间含参,求最值

例题 1:已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x. 求函数 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.
设函数

1? 上的最大值 为 1/2,求 a 的值。 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? ax(a ? 0) 。若 f ? x ? 在 ? 0,

已知函数 f ( x) ? x ln x .求 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;

恒成立(存在、任意、恰好) 例题 1:已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) 2

设 g ( x) ?

x 2 ? 2 x ,若对任意

x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.
例题 2:已知 f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2 对一切 x ? ?0,??? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成
'

立,求实数 a 的取值范围.

第 2 页 共 2 页

例题3:已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x 2 ? ax, a ? 0 , ⑴若 x ?

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a ; 2

⑵讨论函数 f ( x) 的单调区间; ⑶若对于任意的 a ? [1, 2] ,不等式 f ? x ? ≤ m 在 [ ,1] 上恒成立,求 m 的取值范围. 例题 4:已知函数 是实数集 f ( x) ? ln(e x ? a ( ) a为常数) 上的减函数, 上恒成立,求 的取值范围 上的奇函数,函数

1 2

g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)若

证明不等式
2 例题 1: 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ) 若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 , 求 a 的取值范围; (Ⅱ)

证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .[来源:

例题 2:已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1 ,斜率为 1 的直线与 f ( x) 相切于 (1, 0) 点. (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? ( a ? x) ln x ? (Ⅲ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

1 2 ax 的极值点。 2

综合问题
2 例题1:已知函数 f ( x) ? ? x ? 8 x, g ( x) ? 6 ln x ? m.

⑴求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); ⑵是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

第 3 页 共 3 页

例题2:已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x . x 1 2

(Ⅰ)若函数在区间 (a, a ? ) 其中a >0,上存在极值,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

k 恒成立,求实数k的取值范围; x ?1

例题3:已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R, 恒有 f ?( x) ≤ f ( x) . ⑴证明:当 x ≥ 0时,f ( x) ≤ ( x ? c) 2 ; c, ⑵若对满足题设条件的任意b、 不等式 f (c) ? f (b) ≤ M (c 2 ? b 2 ) 恒成立, 求M的最小值。

例题4:已知函数 f ( x) ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 3 x ? t )e x , t ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c ) 处取到极值. ①求 t 的取值范围;②若 a ? c ? 2b 2 ,求 t 的值. (2)若存在实数 t ? ? 0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 f ( x) ? x 恒成立.求正整数 m 的最大值.

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