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数列求通项公式的五种重要方法


求通项公式的 5 种重要方法
一、Sn 法,根据等差数列、等比数列的定义求通项 an=Sn-Sn-1 例1

1 已知数列{an }的前n项为Sn,Sn ? (an ? 1)(n ? N * ) 3 (1)求a1 , a2 ; (2)求证 : 数列{an }是等比数列.

二、累加、累乘法
1、累加法 适用于: an?1

? an ? f (n)

a2 ? a1 ? f (1)
若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

,两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例2

已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。



2、累乘法 适用于: an?1 ? f (n)an



an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an

n an?1 两边分别相乘得, ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 5 已知

a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.

例 6 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。



三、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n)
分析:通过凑配可转化为 an?1 ? ?1 f (n) ? ?2 [an ? ?1 f (n)] ; 解题基本步骤: 1、确定 f ( n) 2、设等比数列 ?an ? ?1 f (n)? ,公比为 ?2 3、列出关系式 an?1 ? ?1 f (n) ? ?2 [an ? ?1 f (n)] 4、比较系数求 ?1 , ?2 5、解得数列 ?an ? ?1 f (n)? 的通项公式 6、解得数列 ?an ? 的通项公式

---------------------------------------------------------------------------------------例 7 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3 ,a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n?1



四、变性转化法
1、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 10 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

2、换元法 适用于含根式的递推关系 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

练习:
1、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ?n2 ,则这个数列( A.是等差数列,且 an ? 2n ? 1 C.是等差数列,且 an ? ?2n ? 1 )

B.不是等差数列,但 an ? 2n ? 1 D.不是等差数列,但 an ? ?2n ? 1 )

2、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 3 ,则 ?an ? 是(

A.等比数列 B.等差数列 C.从第 2 项起是等比数列 D.从第 2 项起是等差数列 3、数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an , (n ? N ? ) ,则 a5 ? ( an ? 2





A.

2 5

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

n

4、已知数列 ?an ? 中, a1 ? ?3 且 a n ? 2a n ?1 ? 1 ,则此数列的通项公式为( A. ? 3 ? 2
n ?1

B. ? 2

n

C. 2 ? 5
n

D. ? 2 ? 1

5、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 0 , an?1 ? an ? 4 ,则 an ?
2 2

A. 4n ? 3

B. 2 n ? 1

C. 4n ? 3

D. 2n ? 1

6、在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 , a1a9 ? 64 , a4 ? a6 ? 20,则 an ? A. 2
n?2

B. 2

8? n

C. 2

n?2

或2

8? n

D. 2

2? n

或2

n?2

7、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? an?1 ? 2n , ?n ? 1? ,求其通项公式 an .

8、设数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, a1 ? b1 ? 1 , a2 ? a4 ? b3 , b2 b4 ? a3 ,求 ?an ? ,

?bn ? 的通项公式.



参考答案
CABDCC
7、解:∵ an ? an?1 ? 2n , an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ,…, a2 ? a1 ? 4 , (叠加) ∴ an ? a1 ? 2n ? 2?n ? 1? ? ? ? 4 ,于是: an ? n?n ? 1?。 8、解:∵ b3 ? a2 ? a4 ? 2a3 ? 2b2 b4 ? 2b3 ,∴ b3 ?
n ?1 n ?1

2

1 2 ,q ? ? 。 , 2 2

? 2? ? 2? ? 或 bn ? ? ? ? 又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? ? ? 2 ? ? 2 ? 。 ? ? ? ? 1 1 3 11 ? 3n 2 ∵ a 3 ? b3 ? ,∴ d ? ?a 3 ? a1 ? ? ? ,又∵ a1 ? 1 ,∴ a n ? 4 2 8 8
解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所以 {bn ? 3}是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3




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