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2012年三角恒等变换高考真题


【必修四】第三章
一、选择题 1 . (2012 年高考(重庆文) )

三角恒等变换
( )

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17
1 2
C.

A. ?

3 2

B. ?

1 2

2

D.

3 2

2 . ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) ) 设 tan ? , tan ? 是 方 程 x ? 3x ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 则 tan(? ? ? ) 的 值 为

( A. ? 3 B. ? 1 C .1 D.3



3 . (2012 年高考(陕西文) )设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于

A

2 2

B

1 2

C .0

D.-1

4 . (2012 年高考(辽宁文) )已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (
2 2
D.1



A. ? 1

B. ?

2 2

C.

5 . (2012 年高考(辽宁理) )已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =
2 2
D.1





A. ? 1

B. ?

2 2

C.

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 3 3 A.B. 4 4 1 7. (2012 年高考(江西理) )若 tan ? + tan ? 1 1 A. B. 5 4
6. (2012 年高考(江西文) )若

?

1 ,则 tan2α = 2 4 C .3

( D.



4 3
( )

=4,则 sin2 ? = C.

1 3

D.

1 2
( )

8. (2012 年高考(大纲文) )已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

A. ?

24 25

B. ?

12 25

C.

12 25

3 ,则 sin 2? ? 5 24 D. 25

9 . (2012 年高考(山东理) )若 ? ? ?

3 7 ?? ? ? ,则 sin ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2?
C.





A.

3 5

B.

4 5

7 4
1

D.

3 4

10. (2012 年高考(湖南理) )函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6
D.[-





A.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

3 , 2

3 ] 2
( )

11. (2012 年高考(大纲理) )已知 ? 为第二象限角, sin ?

? cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 3 5 3

A. ?
二、填空题

5 3

B. ?

5 9

C.

5 9

D.

1. (2012 年高考(大纲文) )当函数 y ? sin x ?

3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取最大值时, x ? ____.

2. ( 2012 年高考(江苏) )设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? 3. (2012 年高考(大纲理) )当函数 y ? sin x ?

? ?

? ?? 4 ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12

3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? _______________.

三、解答题 1. (2012 年高考(四川文) )已知函数 f ( x) ? cos
2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

2. (2012 年高考(湖南文) )已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

的部分图像如图 5 所

示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

3. (2012 年高考(湖北文) )设函数

f ( x) ? sin2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ? ?( x ? R) 的图像关于
1 2

直线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1)

2

(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期;(2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 (

?
4

, 0) ,求函数 f ( x) 的值域.

4. (2012 年高考(福建文) )某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15?
2

(3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12?
2

(4) sin 2 (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48? (5) sin 2 (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

5. (2012 年高考(北京文) )已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

6. (2012 年高考(天津理) )已知函数 f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

3

7. (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分)

设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

8. (2012 年高考 (四川理) ) 函数 f ( x) ? 6 cos

2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A

为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

9. (2012 年高考(山东理) )已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x,

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的 3

最大值为 6. (Ⅰ)求 A ;

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 2 12 5? ] 上的值域. 纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

10. (2012 年高考(湖北理) )已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x) ,

b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称 , 其中 ? , ? 为

1 常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4

4

11. (2012 年高考(广东理) )(三角函数)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ?

? ?

??

? (其中 ? ? 0 x ? R )的最小正周期 6?

为 10? . (Ⅰ)求 ? 的值;

5 ? 6 5 ? 16 ? ?? ? ? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 5? ? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 3 ? 5 6 ? 17 ? 2? ? ?

12. (2012 年高考(福建理) )某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15?
2

(3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12?
2

(4) sin 2 (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48? (5) sin 2 (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

13. (2012 年高考(北京理) )已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间.

5

14. (2012 年高考(安徽理) )设函数

f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , 有 g ( x ?

?

? 1 ) ? g ( x ) , 且当 x ? [0, ] 时 , g ( x) ? ? f ( x) , 求函数 2 2 2

g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式.

6

参考答案 一、选择题 1.

【答案】:C 【解析】:

sin 47 ? sin17 cos30 sin(30 ? 17 ) ? sin17 cos30 ? cos17 cos17

?

sin 30 cos17 ? cos 30 sin17 ? sin17 cos 30 sin 30 cos17 1 ? ? sin 30 ? cos17 cos17 2

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 47 ? 30 ? 17
2.

【答案】A 【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2 ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ? 3 ? ?3 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.

3. 4.

解析: a ? b ? 0 , ?1 ? 2cos ? ? 0 , cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 0 ,故选 C.
2 2

【答案】A 【解析】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

5.

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 【答案】A 【解析一】

sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 3? ? ? (0,? ),?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4

?

?

【解析二】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4

? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解 能力,难度适中. 6. 【答案】B 【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以 cos ? 可得 tan ? ? ?3 ,带入所求式可得结果. 7. D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为 tan ? ?

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? 4 ,所以. sin 2? ? . 1 2 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2

8.答案 A

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. 【 解 析 】因 为 ? 为 第 二 象限 角 , 故 cos ? ? 0 , 而 sin ? ?

3 4 2 , 故 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? , 所 以 5 5

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 ,故选答案 A. 25
7

9.

? 1 , ] , 所以 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? 0 , 所以 cos 2? ? ? 1 ? sin2 2? ? ? , 又 4 2 2 8 1 9 3 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? ,所以 sin 2 ? ? , sin ? ? ,选 D. 8 16 4
【解析】因为 ? ? [

? ?

10. 【答案】B

【解析】 f(x)=sinx-cos(x+

? ? 3 1 ? ) ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , sin( x ? ) ? ? ?1,1? , ? f ( x) 6 6 2 2 6

值域为[- 3 , 3 ]. 【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ???1,1? ,求得 f ( x ) 的值域. 11. 答案 A 【 解 析 】

sin ? ? cos ? ?

3 3

,













1 ? sin 2? ?

1 2 ? sin 2? ? ? 3 3
?
2?

? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
所以 cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 1 ?
2

2 15 ?? 3 3
5 法二 : 单位圆中函数线 + 估算 , 因为 3

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?

? 是第二象限的角,又 sin? ? cos? ? 1 ? 1

3 2

所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故 cos2? 的“余弦线”应选 A .
二、填空题 1.答案:

5? 6

【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?

3 3 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值. 3 2 6 3 2 6

? x?

?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

2. 【答案】

17 2. 50
8

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? . 3

?? 4 ?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ? = . ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? .∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 6? 5 6? 5 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? . 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?
3

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 4 3 4 3? 4 ? ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2. 25 2 25 2 50

3.答案:

5? 6

【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?
3

3 ? 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值. 3 2 6 3 2 6
三、解答题 1. [解析](1)由已知,f(x)= cos
2

? x?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ). 5

所以 sin 2? ? ?cos (
2 ? 1 ? 2cos( ??

?

?
4

2

? 2?) ? ?cos ( 2 ?? 18 7 ? , 25 25

?
4



) ? 1?

2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ? 2. 12 12 T
9

5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
因为点 ( 又点 在函数图像上,所以 A sin (0,1)

?

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 6

?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
3. 【解析】(1)因为

f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6
由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? 所以 2? x ?

?

?
6

) ? ?1

k 1 ? (k ? Z ) 6 2 2 3 1 5 6? 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x ) 的最小正周期是 . 2 5 6 ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?
(2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( 即 ? ? ?2sin( ?

?

?

?

5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x ) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
4.

, 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4

?

解:(1)选择(2)式计算如下 sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ?
2

1 3 sin 30? ? 2 4

(2)证明: sin

2

? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )
10

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
? 3 2 3 3 sin ? ? cos 2 ? ? 4 4 4

5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得

非常容易入手. 解:(1)由 sin x ? 0 得 x ? k? ,(k ? Z ) ,故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k? , k ? Z} .

(sin x ? cos x) sin 2 x ? = 2cos x(sin x ? cos x) = sin 2 x ? cos 2 x ? 1 = 2 sin(2 x ? ) ? 1 , sin x 4 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? 3? ](k ? Z ) . (2)函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? , 2k? ? 2 2 ? ? 3? 3? 7? , x ? k? ( k ? Z ) 得 k? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ) 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8
因为 f ( x) ?
6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知

识.

? ? ? ? ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? ?? . 所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? ? (2) 因 为 f ( x ) 在 区 间 [ ? , ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ , ] 上 是 减 函 数 , 又 4 8 8 4 ? ? ? ? ? f (? ) ? ?1 , f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 ,故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 4 4 4
f (x)= sin 2 x cos
【点评】 该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x +? ) 的数学模型,再根据此三角模型的 图像与性质进行解题即可. 7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? ? 分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列 ? ,从而解得 ? 的取值范围, ? ?? ? ? ? 2 4?
即可得 ? 的最在值. 解:(1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 ? 2 cos ? x ? 2 sin ? x ? ? sin ? x ? cos 2? x ? ?
11

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

(2) 因 y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ?

?

?

??

? k? ? k? ? ? , ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ? ? ? k ? Z ? 上为增函数. ? ? 4? ? 4? ? ?
依题意知 ? ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?
8. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos
2

?x
?
2 )

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

3

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

12

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

?

7 6 5

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式 等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
9.解析:(Ⅰ)

f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ?

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?

则 A ? 6;

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 1 ? 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? ) . 2 3 5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 当 x ? [0, 24 3 3 6 3 2 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故函数 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 另解:由 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? 则 4x ?

?

? 5? ] ,则 x ? , 24 3 2 24 ? ? ? 5? 7? ? ?3 , 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3 , g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin 3 24 2 24 6 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g ( x) 在 [0, 24
? k? ? (k ? Z ) ,而 x ? [0,
10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.

?

?

3

) 可得 g ?( x) ? 24 cos( 4 x ?

?

3

) ,令 g ?( x) ? 0 ,

解析:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6
所以 2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3

5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期是

6π . 5

π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4
13

5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4
5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6
由0? x ?

3π π 5 π 5π ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6

1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6
故函数 f ( x) 在 [0,
11.解析:(Ⅰ) T ?

3π ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5

2?

1 ? 10? ,所以 ? ? . 5 ?
, 所 以

(Ⅱ)

?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? ? f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 ? 6? 2? 5 ? ? ?5 ?

s ?? i

3 . nf 5

?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 8 ? , 所 以 c o? .因为 ? 、 s? ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? 6 ? 6 ? 6? 17 17 ? ?5 ?

4 15 ? ?? ? ? ?0, ? ,所以 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 5 17 ? 2?
所以 cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 特殊与一般思想、化归与转化思想. 解:(1)选择(2)式计算如下 sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ?
2

4 8 3 15 13 ? ? ? ?? . 5 17 5 17 85

12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、

1 3 sin 30? ? 2 4

(2)证明: sin 2 ? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
? 3 2 3 3 sin ? ? cos 2 ? ? 4 4 4

13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.

解 :

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x sin 2 x ? 1 ? cos 2 x f ( x) ?

=

(sin x ? cos x)2sin x cos x sin x

=

2(sin x ? cos x) cos x

=

= 2 sin(2 x ?

?
4

) ? 1 , {x | x ? k? , k ? Z }

(1) 原函数的定义域为 {x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ;
14

(2)原函数的单调递增区间为 [?
14. 【解析】

?
8

? k? , k? ) k ? Z , ( k ? ,

3? ? k? ]k ? Z . 8

f ( x) ?

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2

2? ?? 2 ? 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 2
(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 当 x ? [?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? ? 2 2 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? ? 2 2

15


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