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高中理科数学解题方法篇(概率与数据)


概率与数据

概率
1. 随机事件 的概率 , 其中当 时称为必然事件; 当 时 称为不可能事件 P(A)=0;

2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=

。理解这里 m、n的意义。比如:

(1)将数字 1、2、3、4 填入编号为 1、2、3、4 的四个方格中,每格填一个数字,则

每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______(答:

);

(2)设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是 次品;②从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依

次取 5 件恰有 2 件次品。(答:①

;②

;③

;④



3、 互斥事件: B 互斥, (A、 即事件 A、 不可能同时发生) 计算公式: (A+B)=P(A)+P(B)。 B 。 P 比如: (1)有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,

从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。(答:

);

(2)甲、乙两个人轮流射击,先命中者为胜,最多各打 5 发,已知他们的命中率分别 为 0.3 和 0.4,甲先射,则甲获胜的概率是(0.42 =0.013,结果保留两位小数)______(答: 0.51); (3)有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有 n 个 人正在使用电话或等待使用的概率为 P(n),且 P(n)与时刻 t 无关,统计得
5



,那么在某一时刻,这个公用电话亭里一个人也没

有的概率 P(0)的值是

(答:



4、对立事件: (A、 对立,即事件 A、B 不可能同时发生, A、B 中必然有一个发生) B 但 。 计算公式是:P(A)+ P(B)=1;P( )=1-P(A);

5、独立事件:(事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 。提醒:

(1)如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与





及事件



也都是独立事件;

(2)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P(A B) =1-P(A)P(B);

(3)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P( =1-P( )P( )。比如:



①设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为

,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发

生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是______(答:

);

②某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问 题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的 概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分的概 率为_____________;这名同学至少得 300 分的概率为_____________(答:0.228;0.564); ③袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同

的概率是________(答:

);

④一项“过关游戏”规则规定:在第 关要抛掷一颗骰子 次,如果这 次抛掷所出现

的点数之和大于

,则算过关,那么,连过前二关的概率是________(答:

);

⑤有甲、乙两口袋,甲袋中有六张卡片,其中一张写有 0,两张写有 1,三张写有 2; 乙袋中有七张卡片,四张写有 0,一张写有 1,两张写有 2,从甲袋中取一张卡片,乙袋中 取两张卡片。 设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为 且 ,

其相应的概率记为

,则

的值为_____________(答:

);

⑥平面上有两个质点 A、B 分别位于(0,0)、(2,2)点,在某一时刻同时开始每隔 1 秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动 1 个单位,已知质点 A 向左、右移动的概

率都是

,向上、下移动的概率分别是

和 p,质点 B 向四个方向中的任何一个方向移动的

概率都是 q。①求 p 和 q 的值;②试判断最少需要几秒钟,A、B 能同时到达 D(1,2)点?

并求出在最短时间内同时到达的概率. (答:①

;②3 秒;



6、独立事件重复试验:事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 (是二项展开式 重复试验中事件 A 发生的概率。比如: 的第 k+1 项),其中

次的概率

为在一次独立

(1)小王通过英语听力测试的概率是

,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通

过的概率是_______(答:

);

(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料, 取用甲种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为

__________(答:



提醒:

(1)探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转 化思想和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常 采用排列组合的知识); 转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率; 利用对立事件的概率, 转化为相互独立事件同时发生的概率; 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率, 但 要注意公式的使用条件。 (2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必 要条件; (3)概率问题的解题规范:①先设事件 A=“?”, B=“?”;②列式计算;③作答。

解决几何概型疑难杂症的四步曲
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型(geometric models of probability),简称为几何概型. 在几何概型中,事件 A 的概率计算公式为:

.

用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的 几何度量. 对于一些简单的几何概型问题,可以快捷的找到解决办法. 例 1 如图,以正方形 ABCD 的边长为直径作半圆,重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷 一飞镖,求飞镖落在花瓣内的概率.

解:飞镖落在正方形区域内的机会是均等的,符合几何概型条件. 记飞镖落在花瓣内为事件 A,设正 方形边长为 2r,则

.

所以,飞镖落在花瓣内的概率为

.

点评:此题的关键是正确计算花瓣的面积. 这类题型中,试验全部结果的区域与构成事件 A 的区域, 都直接由题中条件给出,从而易解. 然而,有些几何概型的问题,既不容易分辩出属于几何概率模型,也难发现随机事件的构成区域, 但仔细研究此类问题后,我们可以发现一些解题的规律. 例 2 两人相约 7 点到 8 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时离去. 求两人能够会面的概 率.

解:设两人到达的时间分别为 7 点到 8 点之间的 x 分钟、y 分钟.用 所有可能结果为:

表示每次试验的结果,则



记两人能够会面为事件 A,则事件 A 的可能结果为:

.

如图所示,试验全部结果构成区域Ω 为正方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正方形内两条直线 , 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式,得到:

.

所以,两人能够会面的概率为

.

点评:题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中 分析得到存在的两个变量,如此题中两人到达的时间都是随机的,设为两个变量. 然后把这两个变量所满 足的条件写成集合形式,并把所研究事件 A 的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示,特别注意不 等式所表示区域. 我们可以发现,要表示二元一次不等式 作出直线 的平面区域,按两步解决:(1)

;(2)取一特殊点验证,直线的哪侧符合不等式,则哪侧就是所表示区域. 准

确得到随机事件的构成区域后,根据几何概型的概率公式,易求得概率. 根据以上的解法和分析,我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步: (1)构设变量. 从问题情景中,发现哪两个量是随机的,从而构设为变量 x、y.

(2)集合表示. 用

表示每次试验结果,则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω 和事件

A 所包含试验结果. 一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域. 把以上集合所表示的平面区域作出,先作不等式对应的直线,然后取一特殊点验证 哪侧是符合条件的区域. (4)计算求解. 根据几何概型的公式,易从平面图形中两个面积的比求得. 在以上四步曲中,第二步和第三步是解答的关键,通过这两步,可以发现随机事件所对应的几何图 形. 第三步的作图需理解其原理. 下面依据这四步曲再解一题. 例 3 一条直线型街道的 A、B 两盏路灯之间的距离为 120 米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两 盏路灯 C、D,顺序为 A、C、D、B. 问 A 与 C、B 与 D 之间的距离都不小于 40 米的概率是多少? 解:(1)构设变量. 设 A 与 C、B 与 D 之间的距离分别为 x 米、y 米. (2)集合表示. 用 表示每次试验的结果,则所有可能结果为:



记 A 与 C、B 与 D 之间的距离都不小于 40 米为事件 A,则事件 A 的可能结果为

.

(3)作出区域. 如图所示,试验全部结果构成区域Ω 为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件 A 所构成区域是三条直线 , , 所夹中间的阴影部分.

(4)计算求解. 根据几何概型公式,得到:

.

所以,A 与 C、B 与 D 之间的距离都不小于 40 米的概率为

.

点评:此题易错误的认为,把 AB 三等分,由于中间长度为 40 米,所以路灯 C 与 D 需安装在中间一

段,从而 CD 安装在中间的概率为

. 错误的原因是试验的结果不可能独立地安装在这三段,有可

能跨这三段中的两段安装. 用以上四步曲求解,我们可以得到清晰的解题思路.

随机事件的概率及古典概型

一、知识导学 1.必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件. 不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件. 随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件. 2. 概率: 实际生活中所遇到的事件包括必然事件、 不可能事件和随机事件.随机事件在现实 世界中是广泛存在的.在一次试验中,事件 A 是否发生虽然带有偶然性,但在大量重复试验

下,它的发生呈现出一定的规律性,即事件 A 发生的频率

总是接近于某个常数,在它附

近摆动,这个常数就叫做事件 A 的概率.记着 P(A). 0≤P(A)≤1 3.若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本 事件. 4.具有以下两个特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都 是等可能的.我们将满足上述条件的随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型

5.等可能事件的概率:如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结

果有m种,那么事件 A 的概率 P(A)= 二、疑难知识导析



1.必然事件、不可能事件、随机事件的区别与联系:必然事件是指在一定条件下必然发生 的事件; 不可能事件是指在一定的条件下不可能发生的事件; 随机事件是指在一定的条件下 可能发生也可能不发生的事件.要辨析清事件的条件和结果,理解事件的结果是相应于“一 定条件”而言的,必须明确什么是事件发生的条件,什么是在此条件下产生的结果.上述三 种事件都是在一定条件下的结果. 2.频率与概率:随机事件 A 的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值,它是随 着试验次数的改变而变化的,它具有一定的稳定性,即总在某个常数p附近摆动,且随着试 验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小,于是,我们给这个常数取个名字,叫随机事件 的概率.因此,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小;而频率在大量重复试验 的前提下,可近似地作为这个事件的概率.即概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值. 3.必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,随机事件的概率:0<P(A)<1,这里要 辩证地理解它们的概率: 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端, 它们虽是两 类不同的事件,但在一定的情况下又可以统一起来,即任意事件 A 的概率满足: 0≤P(A)≤1 4.等可能事件的理解:一次试验中所有可能的n个基本结果出现的可能性都相等,这n个 结果对应着n个基本事件.对等可能事件的理解,其实质在于对等可能性的理解.“等可能 性”指的是结果,而不是事件.例如抛掷两枚均匀的硬币,可能出现“两个正面”“两个反 面”“一正一反”“一反一正”这四种结果,每一种结果的可能性相等,都是 0.25;而出 现“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果就不是等可能的. 5.注意用集合的观点来看概率,运用图式法来弄清各事件之间的关系.对古典概率来说,一 次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合 I,其中各基本事件均为集合 I 的含有一个元 素的子集,包括m个基本事件的子集 A,从而从集合的角度来看:事件 A 的概率是子集 A 的

元素的个数与集合 I 的元素个数的比值,即 P(A)=

.因此,可以借助集合的表示法来

研究事件,运用图示法弄清各事件的关系,从而做到较深刻的理解. 三、经典例题导讲 [例 1] 某人有 5 把钥匙,但忘记了开房门的是哪一把,于是,他逐把不重复地试开,问恰 好第三次打开房门锁的概率是多少?

错解:有 5 把钥匙,每次打开房门的概率都是

,不能打开房门的概率是

,因而恰好第

三次打开房门的概率是

×

×



.

错因:上述解法忽略了条件“逐把不重复地试开”. 正解:我们知道最多开 5 次门,且其中有且仅有一次可以打开房门,故每一次打开门的概率

是相同的,都是

.开三次门的所有可能性有

种.第三次打开房门,则房门钥匙放在第 3 种可能.从而

号位置上,前两次没能打开门,则前 2 个位置是用另 4 把钥匙安排的,故有

恰好第三次打开房门锁的概率是 P(A)=

.

[例 2] 某组有 16 名学生,其中男、女生各占一半,把全组学生分成人数相等的两小组,求 每小组里男、女生人数相同的概率. 错解:把全组学生分成人数相等的两小组,有 种分法,事件 A 为组里男、女生各半

的情形,它有

种,所以 P(A)=

.

错因:这里没注意到均匀分成两组与分成 A、B 两组的区别.

正解:基本事件有

,事件 A 为组里男、女生各半的情形,它有

种,所

以 P(A)=

. .

[例 3] 把一枚硬币向上连抛 10 次,则正、反两面交替出现的概率是

错解: 抛掷一枚硬币出现正、 反两面的可能性都相等, 因而正、 反两面交替出现的概率是

.

错因:没审清题意.事实上,把一枚硬币向上连抛 10 次,出现正面 5 次的概率同样也不等于

. 正解:连抛 10 次得正、反面的所有可能的情况共有 种,而题设中的正、反两面交替出

现的情况只有 2 种,故所求的概率为

.

[例 4](2003.上海卷)某科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个 中国人组成, 现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家 的概率为 (结果用分数表示).

解:设“从 20 名成员中随机选出的 2 人来自不同国家”为事件 A,则 A 所包含 的基本事件数为 ,又基本事件数为 .

故 P(A)=

.

[例 5] 将 4 个编号的球放入 3 个编号的盒中, 对于每一个盒来说, 所放的球数k满足 0≤k ≤4.在各种放法的可能性相等的条件下,求: (1)第一个盒没有球的概率; (2)第一个盒恰有 1 个球的概率; (3)第一个盒恰有 2 个球的概率; (4)第一个盒有 1 个球,第二个盒恰有 2 个球的概率. 解:4 个不同的球放入 3 个不同的盒中的放法共有 (1)第一个盒中没有球的放法有 种.

种,所以第一个盒中没有球的概率为:

P1=

. 种,所以第一个盒中恰有 1 个球的概率为:

(2)第一个盒中恰有 1 个球的放法有

P2=

. 种,所以第一个盒中恰有 2 个球的概率为:

(3)第一个盒中恰有 2 个球的放法有

P3=

. 种,所以所求的概率

(4)第一个盒中恰有 1 个球,第二个盒中恰有 2 个球的放法有

为:P4=

.

[例 6] 一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球,分别求下列事件的的概率: (1)事件 A:从中摸出一个放回后再摸一个,两回摸出的球是一白一黑; (2)事件 B:从袋中摸出一个黑球,放回后再摸出一个是白球; (3)事件 C:从袋中摸出两个球,一个黑球,一个白球; (4)事件 D:从从袋中摸出两个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球.

解:(1)基本事件总数是 10×10.事件 A 包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球 后摸出黑球”,摸出白球及黑球分别有 7 种和 3 种可能.所以 A 发生共有 2×7×3 种可能.

∴P(A)=

=0.42.

2)事件 B 与事件 A 不同,它确定了先摸黑球再摸白球的顺序.

P(B)=

=0.21 ,事件 C 包

(3)事件 C 说明摸出两个球不放回,且不考虑次序,因此基本事件总数是 含的基本事件个数是 .

P(C)=

≈0.47.

(4)与事件 A 相比,D 要考虑摸出两球的先后次序.

P(D)=

≈0.23

评注:注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别.本例(1)(2)是放回抽样,(3)(4) 是不放回抽样. 四、典型习题导练 1.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:

抽取台数 优等品数

50 40

100 92

200 192

300 285

500 478

1000 954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少? 2.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是





A、

B、

C、

D、

3.停车场可把 12 辆车停放一排,当有 8 辆车已停放后,则所剩 4 个空位恰连在 一起的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

4.有 5 条线段,其长度分别为 1、3、5、7、9,现从中任取 3 条线段,求 3 条线段构成三 角形的概率.

5.把 10 个运动队平均分成两组进行预赛,求最强的两队被分在(1)不同组内;(2)同一 组内的概率. 6.甲、乙两人参加普法知识问答,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个, 甲、乙两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少? §9.5 几何概型及互斥事件的概率 一、知识导学 1. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区 域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法 处理随机试验,称为几何概型. 一般地, 在几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“该点落在其内部一个区域d内” 为事件A,则事件A 发生的概率

P(A)=



这里要求D 的测度不为0,其中“测度”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面 图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等 2.互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C,其中任何两个都是互斥事件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A,B 是互斥事件时,那么事件 A+B 发生(即 A,B 中有一个发生)的概率,等于 事件 A,B 分别发生的概率的和. P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A1、A2、?、An彼此互斥,那么事件 A1+A2+?+An发生(即 A1、A2、?、A n中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和. 3.对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事件通常记着 对立事件的概率和等于 1. P( )=1-P(A) .

4.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件. 当 A,B 是相互独立事件时,那么事件 A B 发生(即 A,B 同时发生)的概率,,等 于事件 A,B 分别发生的概率的积. P(A B)=P(A) P(B ). 如果事件 A1、A2、?、An相互独立,那么事件 A1 A2 ? An发生(即 A1、A2、?、A n同时发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的积. 5.独立重复试验

如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P, 那么在n次独立重复试验中这个试验恰好 发生k次的概率

二、疑难知识导析 1.对互斥事件、对立事件的理解: 从集合角度看,事件 A、B 互斥,就是它们相应集合的交集是空集(如图 1);事件 A、 B 对立,就是事件 A 包含的结果的集合是其对立事件 B 包含的结果的补集(如图 2).

“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的, 互斥事件是不可能同时发生的两 个事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件,因此,对立事件必须是互斥事件,但 互斥事件不一定是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件. 根据对立事件的意义, (A+ 互斥,于是有 P(A)+P( ) 是一必然事件, 那它发生的概率等于 1, 又由于 A 与 )=1,从而有 P( )=1-P(A).当某一事

)=P(A+

件的概率不易求出或求解比较麻烦,但其对立事件的概率较容易求出时,可用此公式,转而 先求其对立事件的概率. 2.对相互独立事件的理解: 相互独立事件是针对两个事件而言的,只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性, 即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 、 与 B、 与 也都是相互独立的.

3.正确理解 A B 与 A+B 的关系:设 A、B 是两个事件,则 A B 表示这样一个事件,它的 发生表示 A 与 B 同时发生;而 A+B 表示这一事件是在 A 或 B 这两个事件中,至少有一个发 生的前提下而发生的.公式 P(A+B)=P(A)+P(B)与 P(A B)=P(A) P(B)的使 用都是有前提的.

一般情况下,P(A+B)=1-P( =P(A)+P(B)-P(A B) 它可用集合中的韦恩图来示意. 三、经典例题导讲



[例 1] 从 0,1,2,3 这四位数字中任取 3 个进行排列,组成无重复数字的三位数,求排 成的三位数是偶数的概率. 错解:记“排成的三位数是偶数”为事件 A,

P(A)=



.

错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零. 正解:记“排成的三位数的个位数字是 0”为事件 A,“排成的三位数的个位数字是 2”为 事件 B,且 A 与 B 互斥,则“排成的三位数是偶数”为事件 A+B,于是

P(A+B)=P(A)+P(B)=





.

[例 2] 从 1,2,3,?,100 这 100 个数中,随机取出两个数,求其积是 3 的倍数的概率. 错解:从 1,2,3,?,100 这 100 个数中,随机取出两个数,其积是 3 的倍数,则须所取两 数至少有一个是 3 的倍数. 记事件 A 为任取两整数相乘为 3 的倍数,则

P(A)= 错因: 这里相关的排列组合问题没有过关. 正解:基本事件数有 种.在由 1 到 100 这 100 个自然数中,3 的倍数的数组成的集合 M

中有 33 个元素,不是 3 的倍数组成的集合 N 中有 67 个元素,事件 A 为任取两整数相乘为 3 的倍数,分两类:(1)取 M 中 2 个元素相乘有 相乘有 种.因为这两类互斥,所以 种;(2)从集合 M、N 中各取 1 个元素

P(A)= [例 3]

.

在房间里有 4 个人,问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 是“任何两个人的生日都

解: 由于事件 A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件 不同月”.因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为:

P(A)=1-P(

)=1-

=1-

.

[例 4] 某单位 6 名员工借助互联网开展工作, 每个员工上网的概率都是 0.5 相 ( 互独立).求(1)至少 3 人同时上网的概率;(2)至少几人同时上网的概率小 于 0.3? 解:(1)至少 3 人同时上网的概率等于 1 减去至多 2 人同时上网的概率,即

1-





=1-

.

(2)6 人同时上网的概率为

<0.3;

至少 5 人同时上网的概率为



<0.3;

至少 4 人同时上网的概率为





>0.3.

故至少 5 人同时上网的概率小于 0.3. 说明:本题是 2002 年全国高考新课程卷试题,以互联网为题设的背景,有很强 的时代气息.所提出的问题(至少几人同时上网)难度适当,切合考生的实际. 解答时应具备适度的逻辑思维能力, 体现了以素质和能力为考查重点的试题设计 理念.
[例 5]设甲、 乙两射手独立地射击同一目标, 他们击中目标的概率分别为 0.9、 0.8, (1) 求: 目标恰好被甲击中的概率;(2)目标被击中的概率. 解:设事件 A 为“甲击中目标”,事件 B 为“乙击中目标”. 由于甲、乙两射手独立射击,事件 A 与 B 是相互独立的, 故A与 、 与 B 也是相互独立的. 发生. )=0.9×(1-0.8)=0.18.

(1)目标恰好被甲击中,即事件 A P(A· )=P(A)×P(

∴目标恰好被甲击中的概率为 0.18. (2)目标被击中即甲、乙两人中至少有 1 人击中目标,即事件 A· 由于事件 A· 、 ·B、A·B 彼此互斥, 、 ·B、A·B 发生.

所以目标被击中的概率为 P(A· + ·B+A·B)=P(A· )+P( )+P( ·B)+P(A·B)

=P(A)·P(

)·P(B)+P(A·B)

=0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8=0.98.

评注:运用概率公式求解时,首先要考虑公式的应用前提.本题(2)也可以这样考虑:排除 甲、乙都没有击中目标.因为 P( 所以目标被击中的概率为 1-P( · )=1-0.02=0.98. · )=P( )·P( )=0.1×0.2=0.02.

[例 6] 06 年高考四川) ( 某课程考核分理论与实验两部分进行, 每部分考核成绩只记“合格” 与“不合格” ,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论 考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9, 所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2)求这三人课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数) 解: 记“甲理论考核合格”为事件 A1, “乙理论考核合格”为事件 A2, “丙理论考核合格” 为事件 A3,“甲实验考核合格”为事件 B1,“乙实验考核合格”为事件 B2,“丙实验考核合 格”为事件 B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C. 则 P(C)=P(A1 A2 =P(A1 A2 +A1 A3+ A2 A3+A1 A2 A3) A2 A3)+P(A1 A2 A3)

)+P(A1

A3)+P(

=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7 =0.902 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D. 则 P(D)=P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)] =P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3) =P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3) =0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9 ≈0.254 所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902; 这三人该课程考核都合格的概率为 0.254。 四、典型习题导练 1.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有 1 个黑球,都是黑球 B.至少有 1 个黑球,至少有 1 个红球 C.恰有 1 个黑球,恰有 2 个红球 D.至少有 1 个黑球,都是红球 )

2. 取一个边长为2 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求 豆子落入圆内的概率.

3. 某小组有男生 6 人,女生 4 人,现从中选出 2 人去开会,求至少有 1 名女生的概率. 4.设有编号分别为 1,2,3,4,5 的五封信,另有同样编号的五个信封,现将五封信任意装 入五个信封,每个信封装入一封信,试求至少有两封信配对的概率.

5.某班级有 52 个人,一年若按 365 天计算,问至少有两个人的生日在同一天的 概率为多大? 6.九个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队,抽签分成甲、乙、丙三组(每组 3 队)进行预赛,试求:(1)三个组各有一个亚洲国家队的概率;(2)至少有两 个亚洲国家队分在同一组的概率

高考真题 辽宁在题外

1、 (福建卷) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,??,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙 厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的 执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系 数组成一个样本,数据如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. 在(I)(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购 、 买性?说明理由. 注: (1)产品的“性价比”=

产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 2、 (广东卷) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的 测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样

本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随机抽取 2 件, 求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的 分布列极其均值(即数学期望) 。 3、江西某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料, 公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元;否则月工资定为 2100 元.令 X 表示此人 选对 A 饮料的杯数.假设次人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解答: (1)选对 A 饮料的杯数分别为 ? ? 0 , ? ? 1, ? ? 2 , ? ? 3 , ? ? 4 ,
1 3 2 2 0 4 C4 C4 16 C4 C4 36 C4 C4 1 ? ? ? 其概率分布分别为: P ?0? ? , P ?1? ? , P ?2 ? ? , C84 70 C84 70 C84 70 3 1 C4 C4 16 C 0C 4 1 ? , P ?4 ? ? 4 4 4 ? 。 4 C8 70 C8 70

P ?3? ?

(2) ??? ? ?

1 16 ? 36 16 1 ? ? 3500 ? ? 2800 ? ? ? ? ? ? 2100 ? 2280 。 70 70 ? 70 70 70 ?

山东
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

陕西
如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方 案,求 X 的分布列和数学期望。 解 (Ⅰ)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站” i 表示事件“乙选择 ,B

路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站” ,i=1,2.用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

? P(A ) >P(A ),
1 2

?甲应选择 L ?乙应选择 L

i

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

? P(B ) >P(B ),
2 1

2.

(Ⅱ) 分别表示针对 A,B (Ⅰ) 的选择方案, 甲、 乙在各自允许的时间内赶到火车站, (Ⅰ) 由 知 P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.9 ,又由题意知,A,B 独立,

P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A)( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54
所以 X 的分布列为:

? EX ? 0? 0.04 ?1? 0.42 ? 2? 0.54 ? 1.5.
四川
本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每 车每次租不超过两小时免费, 超过两小时的收费标准为 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计

算) 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分 别为

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过 4 2 2 4

四小时。 (Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ; 解析: (1)所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为 P ? 1 4 元为 P ? 3

1 1 1 1 1 1 ? ? ,付 2 元为 P2 ? ? ? ,付 4 2 8 2 4 8

1 1 1 ? ? 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P ? P ? P2 ? P ? 1 3

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4,6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

?
P

0
1 8

2
5 16

4
5 16

6
3 16

8

1 16

5 5 9 1 7 E? ? ? ? ? ? 8 4 8 2 2

天津
学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个 白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球, 若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

(Ⅰ)求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X )

全国
某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值 大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式 为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率) 解

(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配 100

(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

重庆
某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望。

北京市 2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编
一、填空题: 14. (2012 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科)已知集合 A ? ( x, y ) x ? y ? 4 ,集合
2 2

?

?

B?

?? x, y ? y ? m x , m 为正常数? .若 O 为坐标原点, M , N 为集合 A 所表示的平


面区域与集合 B 所表示的平面区域的边界的交点,则 ?MON 的面积 S 与 m 的关系式 为

4m 1 ? m2

二、解答题: 16. (北京市西城区 2012 年 1 月高三期末考试理科)(本小题满分 13 分) 盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经使用.

【命题分析】 本题考查随机事件的概率和独立事件的概率问题。 利用等可能事件的定义求概 率,不要忘记等可能事件的两大特征:基本事件总数有限及基本事件的发生等可能 .求概 率的题目,找准“基本事件”很重要,因此一定要明确以什么“事件”作为 基本事件,某 事件 A 所包含的基本事件必须与此相对应. 求解等可能性事件 A 的概率一般遵循如下步骤:

多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须 做到不重复不遗漏.本题的第二问采用组合的知识,确定 m 、 n 的值。 (Ⅰ)解:记“从盒中随机抽取 1 个零件,抽到的是使用过的零件”为事件 A , 则 P( A) ?

2 . 7
1

??????2 分

所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率 P ? C3 ( )( ) ?
2

2 5 7 7

150 . ??5 分 343

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 2,3, 4 .

??????7 分

P( X ? 2 ? )

C2 1 2 ? ; 2 C7 2 1
2 C5 10 ? . 2 C7 21

P ( X ? 3) ?

C1 C1 10 5 2 ? ; 2 C7 21
??????10 分

P ( X ? 4) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

X P

2 1 21

3 10 21

4 10 21
?????11 分 ??????13

EX ? 2 ?


1 10 10 24 . ? 3? ? 4 ? ? 21 21 21 7

率) (17)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图可得:

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . ???????????????2 分
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为:

0.003? 2 ? 20 ? 0.12 ,
因为 600 ? 0.12 ? 72 ,

???????????????4 分

所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ???????????????6 分 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4. ???????????????7 分

所以 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

P

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

????????? ??????12 分

EX ? 0 ?


81 27 27 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4
???????????????13

所以 X 的数学期望为 1.

(16) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题设可知, a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . ?????2 分 (Ⅱ) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为:

50 ? 1, 300 50 第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 300 200 第 3 组的人数为 6 ? ? 4, 300
第 1 组的人数为 6 ?

16. (北京市西城区 2012 年 4 月高三第一次模拟文)(本小 题满分 13 分) 某校高一年级开设研究性学习课程, 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 18 和 (

27 .现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班
抽取了 3 名同学.

(a1 , a1 ) , (a1, a2 ) , (a1 , b1 ) , (a1, b2 ) , (a1 , b3 ) ,

(a2 , a1 ) , ( a2 , a2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (b1, a1 ) , (b1, a2 ) , (b1 , b1 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b2 , b1 ) , (b2 , b2 ) , (b2 , b3 ) ,
(b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) , (b3 , b1 ) , (b3 , b2 ) , (b3 , b3 ) ,共 25 种.
?9 分

2 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:

(a1 , b1 ) ,(a1, b2 ) ,(a1 , b3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(b1, a1 ) ,(b1, a2 ) ,(b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) ,共 12 种.
???12 分

所以 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 P ?

12 . 25

??13 分

(16) (共 13 分) 解 :( Ⅰ ) 由 题 设 知 , X 的 可 能 取 值 为 10 , 5 , 2 , ?3 . ????2 分

P( X ? 10) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 , P( X ? 2) ? 0.8 ? 0.1 ? 0.08 P( X ? ?3) ? 0.2 ? 0.1 ? 0.02 .
由此得 X 的分布列为:

P( X ? 5) ? 0.2 ? 0.9 ? 0.18 ,


???? 6 分

X
P

10 0.72

5

2
0.08

?3 0.02

0.18
????8 分

(Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件. 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ? 又 n ? N 且 n ? 4 ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 .
?

14 , 5
??10 分

512 ) 625 答 : 生 产 4 件 甲 产 品 所 获 得 的 利 润 不 少 于 10 万 元 的 概 率 为
所求概率为 P ? C4 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8192 .(或写成
3 3 4

0.8192 .

????13 分

(16)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)(本小题共 13 分)

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为

m, n,

????2 分

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ( A, m) ,

( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)

, (C, m) , (C , n) , (m, n) .

????5 分

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它 们是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C, m) , (C , n) . 故所求概率为 P( D) ? ???7 分 ????8 分

6 3 ? . 10 5
????10 分

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳 族”. 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,????12 分 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. ????13 分

16. (2012 年 3 月北京市丰台区高三一模文科)(本小题共 13 分) 对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查,得到统 计数据如下: 教师 教龄 教师人数 经常使用信息技术实 施教学的人数 5 年以下 8 2 5 至 10 年 10 4 10 至 20 年 30 10 20 年以上 18 4

(Ⅰ)求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率; .

(Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai (i=1,2) ,教龄在 5 至 10 年的教师为 bi (j=1,2,3,4) ,那么任选 2 人的基本事件为 ( a1 , a2 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,

(a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , ( a2 , b4 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , b4 ) , (b2 , b3 )
个. ,

(b2 , b4 )



(b3 , b4 )



15

B,

????????9 分 设 “ 任 选 2 人 中 恰 有 一 人 的 教 龄 在 5 年 以 下 ” 为 事 件 ????????10 分 包括的基本事件为 (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a1 , b4 ) , (a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) ,

(a2 , b3 )
个, ???11 分 则



( a2 , b4 )



8 ?????

P( B) ?

8 . 15 8 . 15

????????13 分

所以恰有一人教龄在 5 年以下的概率是

16. (2012 年 4 月北京市房山区高三一模理科(本小题共 13 分) 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生 的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

答: 若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动, 他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的 概 率 ?????????4 分 为

15 . 38

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率 均 以 为

1 3

. ?????????6 分



随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81
??????? ??12 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3

32 81

8 27

8 81

1 81
???????13 分

北京市 2012 年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、填空题:

数是 84

;若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 组.乙

后,两组数据的平均数中较大的一组是





0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3

内的频率是 ..



【答案】50,0.12

二、解答题:

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设从( 1 )班抽取的人数为 m ,

m 3 ,所以 m ? 2 , ? 18 27 研究性学习小组的人数为 m ? 3 ? 5 .
依题意得

??5 分

(Ⅱ)设研究性学习小组中( 1 )班的 2 人为 a1 , a2 , 2 )班的 3 人为 b1 , b2 , b3 . (

2 次发言的学 生恰好来自不同班级的基本事件为:
(a1 , b1 ) ,(a1, b2 ) ,(a1 , b3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(b1, a1 ) ,(b1, a2 ) ,(b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) ,共 12 种.
???12 分

所以 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 P ? 20.(本小题满分 13 分)

12 . 25

??13 分

(Ⅰ) 数列 A : 2,6, 4 不能结束, 解: 各数列依次 为 4, 2, 2 ; 0, 2 ; 2, 0 ; 2, 2 ; 0, 2 ; ?. 2, 2, 0, 2, 以下重复出现,所以不 会出现所有项均为 0 的情形. ???3 分

(Ⅱ)解: (ⅰ)因为 B 的各项之和为 2012 ,且 a ? b , 所以 a 为 B 的最大项,

(ⅱ)方法一:由 B : b, 2, b ? 2 ,则 B 经过 6 次“ T 变换”得到的数列分别为:

b ? 2, b, 2 ;2, b ? 2, b ? 4 ;b ? 4, 2, b ? 6 ;b ? 6, b ? 8, 2 ;2, b ?10, b ? 8 ;b ? 12, 2, b ? 10 .

从以上分析可知,以后重复出 现,所以数列各项和不会更小. 所以经过 498 ? 4 ? 502 次“ T 变换”得到的数列各项和最小, k 的最小值为 502 . ?????13 分 方法二:若一个数列有三项,且最小项为 2 ,较大两项相差 2 ,则称此数列与数列 B “结构相同” . 若数列 B 的三项为 x ? 2, x, 2( x ? 2) ,则无论其顺序如何,经过“ T 变换”得到的数 列的三项为 x, x ? 2, 2 (不考虑顺序) . 所以与 B 结构相同的数列经过“ T 变换”得到的数列也与 B 结构相同,除 2 外其余 各项减少 2 ,各项和减少 4 . 因此,数列 B :1004, 2,1006 经过 502 次“ T 变换”一定得到各项为 2, 0, 2 (不考虑

顺序)的数列.

?????13 分 (16)(北京市东城区 2012 年 4 月高考一模文科)(本 小题共 13 分)

(Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如 2

图 1 所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这 时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为

m, n,

????2 分

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它 们是 ( A, B) ,( A, C ) ,( A, m) ,

( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)

, (C, m) , (C , n) , (m, n) .

????5 分

2012 高考真题分类汇编:概率
1.【2012 高考真题辽宁理 10】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分 别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为

x(12? x )cm2,
由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率 为

2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的 能力,属于中档题。 2.【2012 高考真题湖北理 8】如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直 径作两个半圆. 在扇形 OAB

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. 1 ?
2 π 【答案】A 2 π 1 1 ? 2 π 1 D. π

B.

C.

【解析】 OA ? 1 , 令 扇形 OAB 为对称图形, ACBD 围成面积为 S1 , 围成 OC 为 S 2 ,作对称轴 OD,则过 C 点。 S 2 即为以 OA 为直径 的 半 圆 面 积 减 去 三 角 形
2

OAC

的 面 积 ,

1 ?1? 1 1 1 ? ?2 S S2 ? ? ? ? ? ? ? ? 。 在扇形 OAD 中 1 为扇形面 2 ?2? 2 2 2 8 2
积减去三角形 OAC 面积和

S 2 S1 1 1 S ? ?2 2 , , ? ? ?1? ? ? 2 ? 2 2 8 8 2 16 1 ? ?2 ,扇形 OAB 面积 S ? ? ,选 A. S1 ? S2 ? 4 4

第 8 题图

3.【2012 高考真题广东理 7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数 为 0 的概率是 A.

4 9

B.

1 2 C. 3 9

D.

1 9

【答案】D 【解析】法一:对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型:一是 十位数是奇数,个位数是偶数,共有 5 ? 5 ? 25 个,其中个位数为 0 的有 10,30,50,70,90 共 5 个;二是十位数是偶数,个位数是奇数,共有 4 ? 5 ? 20 ,所以 P ?

5 1 ? .故选 D. 25 ? 20 9

法二:设个位数与十位数分别为 x, y ,则 x ? y ? 2k ? 1 , k ? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,所以 x, y 分 别为一奇一偶,第一类 x 为奇数, y 为偶数共有 C5 ? C5 ? 25 个数;第二类 x 为偶数, y 为
1 1

奇数共有 C4 ? C5 ? 20 个数。两类共有 45 个数,其中个位是 0,十位数是奇数的两位有
1 1

10,30,50,70,90 这 5 个数,所以其中个位数是 0 的概率是

5 1 ? ,选 D。 45 9

4.【2012 高考真题福建理 6】如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P

恰好取自阴影部分的概率为

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

【答案】C. 【 解 析 】 根 据 定 积 分 的 几 何 意 义 可 知 阴 影 部 分 的 面 积
1 2 1 1 S ? ? ( x ? x)dx ? ( x 2 ? x 2 ) |1 ? ,而正方形的面积为1,所以点P恰好取自阴影部 0 0 3 2 6 3

分的概率为

1 .故选C. 6
?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随 ?0 ? y ? 2

5.【2012 高考真题北京理 2】设不等式组 ?

机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

【答案】D 【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示,而动点 D ?0 ? y ? 2

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 ,故选 D。 P? ? 2? 2 4
6.【2012 高考真题上海理 11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择 其中两个项目, 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数 表示) 。 【答案】

2 3
2 2 2

【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有 C 3 C 3 C 3 ? 27 中,若有且仅有两人选择的 项目完成相同,则有 C 3 C 3 C 2 ? 18 ,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为
2 2 1

18 2 ? 。 27 3

7.【2012 高考真题新课标理 15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作, 则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命 (单位: 小时) 均服从正态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超 过 1000 小时的概率为
2

【答案】

3 8
2

【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,50 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p) 2 ? 1 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?

3 4

3 . 8

8.【2012 高考江苏 6】 分)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等 (5 比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 【答案】

3 。 5

【考点】等比数列,概率。 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数,1 个正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是 9.【2012 高考真题四川理 17】(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为

6 3 = 。 10 5

1 和p。 10

49 ,求 p 的值; 50 (Ⅱ) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? , ? 的概率分布 求
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 列及数学期望 E? 。 【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查实际问题的数学建模能力,数据的分析处理能力和基本运算能力.

【解析】 10. 【2012 高考真题湖北理】 (本小题满分 12 分) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y

X ? 300
0

300 ? X ? 700
2

700 ? X ? 900
6

X ? 900
10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3, 0.7,0.9. 求: (Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 【答案】 (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

所以 Y 的分布列为:
Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E(Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;
D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3) 2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 .

(Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . P(300 ? X ? 900) 0.6 6 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? ? ? . P( X ? 300) 0.7 7 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7 11.【2012 高考江苏 25】 (10 分)设 ? 为随机变量, 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条, 当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,

? ? 1.
(1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 【答案】解: (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰 有 3 条棱,
2 ∴共有 8C3 对相交棱。

∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴

P(? ? 2)=

6 6 1 ? ? 2 C12 66 11



P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ?

4 1 6 ? = 。 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P(? )
∴其数学期望 E (? )=1?

0

1

2

4 11

6 11

1 11

6 1 6? 2 。 ? 2? = 11 11 11

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】 (1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) 。 (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 ,因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数 P(? ? 1) (两条棱平行且距离为 1 和两条棱异面) 学期望。

12.【2012 高考真题广东理 17】 (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频 率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是: [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ? ,求 ? 得数学期望.

【答案】 本题是在概率与统计的交汇处命题, 考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型 随机变量的分布列及期望,考查学生应用数学知识解决实际问题的能力,难度中等。 【解析】

13.【2012 高考真题全国卷理 19】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续 发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球, 发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) 【答案】 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望.

14.【2012 高考真题浙江理 19】(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规 定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的 机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【答案】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ; ? 3 C9 42

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ; ? 3 42 C9 3 C4 2 . ? 3 C9 42

1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ? 3 ?
i?4 6

5 10 5 1 91 . ? 4? ? 5? ? 6? ? ? 42 21 14 21 21

15.【2012 高考真题重庆理 17】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望 【答案】

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且 3 2

16.【2012 高考真题江西理 29】 (本题满分 12 分) 如图,从 A1(1,0,0) 2(2,0,0) 1(0,2,0) 2(0,2,0) 1(0,0,1) 2(0,0,2)这 ,A ,B ,B ,C ,C

6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ,记该“立体” 的体积为随机变量 V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内, “立体” 此时 的体积 V=0) 。

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望。 【答案】

【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中, 概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数 据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概 率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 17.【2012 高考真题湖南理 17】本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分 钟/人) 1 至 4 件 5 至 8 件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以 上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ...

(注:将频率视为概率) 【答案】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10 p( X ? 1) ?

X 的分布为
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面 , 第 i 位顾客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X 1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)

?

3 3 3 3 3 3 9 . ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

【解析】 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分 析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求
得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... 18.【2012 高考真题安徽理 17】 (本小题满分 12 分) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用 后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题, 则使用后该试题回库, 此次调题工作结束。 试题库中现共有 n ? m 道试题, 其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题, X 表示两次调题工作完成后, 以 试题库中 A 类 试题的数量。 (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。

【答案】本题考查基本事件概率、条件概率,离散型随机变量及其分布列,均值等基 础知识,考查分类讨论思想和应用于创新意识。 【解析】 (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

n n ?1 ? m?n m?n?2

1 , 2

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?

X
P

1 1 1 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P( X ? n ? 2) ? p 2 ? 4 2 4 n n ?1 n?2
1 4 1 2 1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 。 4 2 4 n n ?1 答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 , ? m?n m?n?2 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1。
19.【2012 高考真题新课标理 18】 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由. 【答案】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) ( n ? 16) ? 80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7

X 的分布列为
X

60 0.1

70 0.2

80 0.7

P

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4

76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
20.【2012 高考真题山东理 19】 (19) (本小题满分 12 分) 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,命中得 1 分,没有命中得 4

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手 3

每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 【答案】

21.【2012 高考真题福建理 16】 (本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的 时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两 种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出, 记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1, 生产一辆乙品牌轿 车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿 车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 【答案】

22.【2012 高考真题北京理 17】 (本小题共 13 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾” 箱 “可回收物” 箱 “其他垃圾” 箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 (Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率; (Ⅲ) 假设厨余垃圾在 “厨余垃圾” “可回收物” “其他垃圾” 箱、 箱、 箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a>0, a ? b ? c =600。当数据 a, b, c 的方差 s 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求
2

证明) ,并求此时 s 的值。 (注: s ?
2

2

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数) n
400 2 ? = 600 3 。

解: (?)由题意可知:

(?)由题意可知:

200+60+40 3 ? = 1000 10 。

1 (?)由题意可知: s 2 ? ( a 2 ? b2 ? c 2 ?120000),因此有当 a ? 600 , b ? 0 , c ? 0 时,有 3

s2 ? 80000 .?

23.【2012 高考真题陕西理 20】 (本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时。 (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望。 【答案】

24.【2012 高考真题天津理 16】 (本小题满分 13 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味 性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; 用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? . 【答案】

2012 年高考真题理科数学解析汇编:概率
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(辽宁理) 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作 )

一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 ( A.

2



1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5 21 世纪教育网

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北理) 如图,在圆心角为直角的扇形 )

OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此
点取自阴影部分的概率是 A. 1 ? C.
2 π 2 π




1 1 B. ? 2 π

D.

1 π

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(广东理) (概率)从个位数与十位数之和 )

为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 A.

( D.



4 9

B.

1 3

C.

2 9

1 9

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(北京理) 设不等式组 ? )

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 ?0 ? y ? 2

概率是 A.

D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的 ( ) B.

? 4

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4
4 5

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (上海理) 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 , x5 ? 10 . 随 )

机变量 ?1 取值 x1 、 2 、 3 、 4 、 5 的概率均为 0.2,随机变量 ? 2 取值 x x x x
x 4 ? x5 2

x1 ? x 2 2

、22

x ? x3

、3 2

x ? x4





x 5 ? x1 2

的概率也为 0.2. ( )

若记 D?1 、 D? 2 分别为 ?1 、 ? 2 的方差,则 A. D?1 > D? 2 . B. D?1 = D? 2 . C. D?1 < D? 2 .

D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关.
二、填空题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海理) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. )

若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) 某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担 ) 任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用 数值表示). 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江苏) 现有 10 个数, 它们能构成一个以 1 为首项, ?3 ) 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概 率是____. 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(新课标理) 某个部件由三个元件按下图方式连接而成, ) 元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子 元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为_________
2

元件1 元件3 元件2

三、解答题 错误!未指定书签。(201 2 年高考(天津理) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、 . )

乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决 定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加 乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、 乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

21 世纪教育网

错误!未指定书签。(2012 年高考(新课标理) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若 . )

干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由.

错误!未指定书签。(2012 年高考(浙江理) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取 . )

出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均 等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

错误!未指定书签。(2012 年高考(重庆理) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 . )

分.) 甲、 乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或 每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 为

1 ,乙每次投篮投中的概率 3

1 ,且各次投篮互不影响. 2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望

错误!未指定书签。(2012 年高考(四川理) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简 . )

称系统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

1 和p. 10

49 ,求 p 的值; 50 (Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分
布列及数学期望 E? .

错误!未指定书签。(2012 年高考(陕西理) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理 . )

业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果 如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

错误!未指定书签。(2012 年高考(山东理) 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命 . )

中的概率为

3 2 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每 4 3

命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以 上三次射击. (Ⅰ)求该 射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX .

错误!未指定书签。(2012 年高考(辽宁理) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类 . )

体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观 众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若 每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

附: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 , n1? n2? n?1n?2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012

年 高 考 ( 江 西 理 )) 如 图 , 从

A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望.

错误!未指定书签。(2012 年高考(江苏) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中 . )

任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条 棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

错误!未指定书签。(2012 年高考(湖南理) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, . )

安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物 量 1 至 4 件 5 至 8 件 30 1.5 9至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件 及以 上 10 3

顾 客 数 (人) 结算时间 ( 分 钟 / 人)

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该 顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率. ... (注:将频率视为概率)

21 世纪教育网

错误! 未指定书签。 2012 年高考 . ( (湖北理) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单 )

位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X

X ? 300

300 ? X ? 700

700 ? X ? 900

X ? 900

工期延误天 0 2 6 10 数Y 历 年 气 象 资 料 表 明 , 该 工 程 施 工 期 间 降 水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9. 求:[来源:21 世纪教育网] (Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

错误!未指定书签。(2012 年高考(广东理) (概率统计)某班 50 . )

位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中 成绩分组区间是: ? 40,50 ? 、 ?50,60 ? 、 ? 60,70 ? 、 ? 70,80 ? 、

?80,90? 、 ?90,100? .
(Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

错误!未指定书签。(2012 年高考(福建理) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业 . )

生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种 品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数

据如下: 品 甲 牌 首 次 出 现 故 障 时 间 乙

0 ? x ?1

1? x ? 2

x?2

0? x?2

x?2

x
年 轿 车 数 2 量 (辆 ) 每 3 45 5 45

2.9
辆 利 1 2 3

1.8

润 (万 元) 将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品 牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙 品牌轿车的利润为 X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿 车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.

错误!未指定书签。(2012 年高考(大纲理) (注意:在试题卷上作答无效)21 世纪教育网 . ) .........

乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续 发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、 乙的比赛中,每次发球, 发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、 乙的一局比赛中,甲先 发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率;21 世纪教育网 (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望.

错误!未指定书签。(2012 年高考(北京理) 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生 . )

活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居 民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据 统计如下(单位:吨): “厨余 垃 “可回 收 “其他 垃 圾”箱 物”箱 圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a, b, c ,其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 . 当数据 a, b, c 的方差 S 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明),并求此时 S 的值.
2 2

1 (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均数) n

错误!未指定书签。(2012 年高考(安徽理) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道 . )

试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类 型试题入库, 此次调题工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调 题工作结束.试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题 库中 A 类试题的数量. (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望).

2012 年高考真题理科数学解析汇编:概率参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为

x(12 ? x) cm2,
由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率
2



2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问 题的能力,属于中档题. 错误!未找到引用源。 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为 S 2 , 作对称轴 OD,则过 C 点. S 2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面

1 ?1? 1 1 1 ? ?2 S 积, S 2 ? ? ? ? ? ? ? ? .在扇形 OAD 中 1 为扇形面积减去 2 ?2? 2 2 2 8 2
2

三角形 OAC 面积和 形 OAB 面积 S ?

S 2 S1 1 ? ?2 1 S ? ?2 2 , , S1 ? S2 ? ,扇 ? ? ?1? ? ? 2 ? 2 2 8 4 8 2 16
第 8 题图

1 ? ,选 A. 4
5 1 ? . 45 9

错误! 未找到引用源。 解析:D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数

有 45 个,个位数为 0 的有 5 个,所以概率为
错误!未找到引用源。

【答案】D 表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正

【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公 式、概率. 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 [ 解 析] E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =t, E? 2 ? 0.2(
x1 ? x 2 2



+

x 2 ? x3 2

+

x3 ? x 4 2

+

x 4 ? x5 2

+

x 5 ? x1 2

)=

t,

D?1 ? 0.2[( x1 ? t )2 + ( x2 ? t ) 2 + ( x3 ? t ) 2 + ( x4 ? t ) 2 + ( x5 ? t ) 2 ]
2 2 2 2 ? 0.2[( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;



x1 ? x 2 2

? ? x1 ,

x 2 ? x3 2

? ? x2 ,,

x 5 ? x1 2

? ? x5 ,同理得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D? 2 ? 0.2[( x1 2 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ,
? ? ? ? ? 只要比较 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 与 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 有大小,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ? x1 2 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ? 1 [( x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ] 4
2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2 x1 x2 ? 2 x2 x3 ? 2 x3 x4 ? 2 x4 x5 ? 2 x5 x1 )] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x32 ? x4 ? x52 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x32 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x52 ? x12 )] 4 2 2 2 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ,所以 D? 2 ? D?1 ,选 A.

[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项 D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了 阴招!稍加计算,考生会发现 E?1 和 E?2 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一 组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得

D?1 > D? 2 而迅即攻下此题.
二、填空题 错误! 未找到引用源。

[解析] 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选二 n
2 2 2 2 1

人,让他们选择的项目相同,有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有 C3 种;③ 确定另一人所选的项目,有 C2 种. 所以 k ? C3 ? C3 ? C2 ? 18 ,故 p= 18 ? 2 . 27 3
1
2 1 1

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

14 15
【答案】

3 . 5

【考点】等比数列,概率. 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数,1 个正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概 率是
错误!未找到引用源。

6 3 = . 10 5

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为
2

3 8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,50 )

1 [来源:21 世纪教育网] 2 3 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p) ? 1 4
得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

那么该 部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?
三、解答题

3 8

错误!未找到引用源。 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事

件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识 解决简单实际问题的能力. 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 .设 3 3

3, “ 这 4 个 人 中 恰 有 i 人 去 参 加 甲 游 戏 ” 为 事 件 Ai (i ? 0 , 1 , 2 , , 则4 )

2 i 1 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i . 3 3
(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ?
2 2 2

1 3

2 3

8 . 21 世纪教 27

育网 (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件 B ,则

B ? A3 ? A4 ,由于 A3 与 A4 互斥,故

2 1 3 1 4 1 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? 3 3 3 9
所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

1 . 9

(3) ? 的所有可能的取值为 0, 2, 4 ,由于 A1 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
所以 ? 的分布列为

8 40 17 , P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? 27 81 81

?
p

0

2

4

8 40 27 81 8 40 17 148 随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? . ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81

17 81

【点评】应用 性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常 考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质, 将问题成功转化为古典概型,独立事件、 互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性 问题,理解是基础,转化是关键..
错误!未找到引用源。 【解析】(1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80

当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) ( n ? 16) ? 80

(2)(i) X 可 取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7

X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4

76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ; ? 3 C9 42 1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ; ? 3 42 C9 3 C4 2 . ? 3 C9 42

P( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42
13 . 3

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)= ? i ? P( X ? i) ?
i?4

6

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

13 . 3

错误!未找到引用源。 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件

的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率 互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

?

? ?

?

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3

2

2

1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27
(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1B1 ?

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? 9
综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?

?

2

2

?
P
从而, E? ? 1?

1

2

3

2 3

2 9

1 9

2 2 1 13 ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 9 9 9
,解得 P=

错误!未找到引用源。 [解析](1)设:“至少有 一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 4 分 5 1 0 1 3 (2)由题意,P( ? =0)= C( ) ? [来源:21 世纪教育网] 3 10 1000 1 27 1 1 2 P( ? =1)= C3 ( ) 1? ) ( ? 10 10 1000 1 2 243 2 1 P( ? =2)= C( ) 1 ? ) ? ( 3 10 10 1000 1 3 729 3 1 0 P( ? =3)= C( ) 1 ? ) ? ( 3 10 10 1000
1-P(C)=1所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

1 49 P= 10 50

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 X 的数学期望为:21 世纪教育网 E ? =0 0 ?

1 27 243 729 27 . ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、 数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 错误!未找到引用源。 解析:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分 布列如下:

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时
间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟. 所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 所以 X 的分布列为

X
P
解法二

0 0.5

1 0.49

2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49
所以 X 的分布列为 0 0.5 1 0.49 2 0.01

X
P

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 3 1 2 1 1 1 2 7 错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ) P ? ? ( ) ? ? C 2 ? ? ? ; 4 3 4 3 3 36
(Ⅱ) X ? 0,1,2,3,4,5

P( X ? 0) ?

1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 2) ? C 2 ? ? 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3
0 1 2 3 4 5

,

21 世纪教育网

P( X ? 3) ?
X P

1 1 1 1 9 3 36 12 1 1 1 1 1 1 41 5 EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = ?3 . 9 3 9 3 12 36 12 12
错误!未找到引用源。 【答案及解析】

1 9

1 3

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如 下:

由 2×2 列联表中数据代入公式计算,得:

因为 3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频 率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中 抽取一名“体育迷”的概率为

1 ,由题意, 4

,从而 X 的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布 列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决问题的能力、 运算求解能力,难度适中.准确 读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.
错误!未找到引用源。 . 【解析】

解:(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C6 ? 20 种选法,选取的 3 个点与原点 O 在同
3

一个平面上的选法有 C3C4 ? 12 种,因此 V=0 的概率 P(V ? 0) ?
1 3

12 3 ? 20 5

(2)V 的所有可能值为 0, , , , V 0

1 1 2 4 ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 1 1 6 3
1 20 3 20

2 3
3 20

4 3
1 20

P

3 5

由 V 的分布列可得: EV= 0 ?

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40

【点评】 本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、 期望等. 高考中, 概率解答题一般有两大方向的考查.一、 以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的 数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、 以应用题为载体,考查条件概 率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.
错误!未找到引用源。 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,

过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,
2 ∴共有 8C3 对相交棱.

∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? . 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

4 1 6 6 6 1 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = . 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P(? )
∴其数学期望 E (? )=1?

0

1

2

4 11

6 11

1 11

6 1 6? 2 . ? 2? = 11 11 11 【考点】概率分布、数学期望等基础知识. 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) .
(2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 P(? ? 1) (两 条棱平行且距离为 1 和两条棱异面),因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望.
错误! 未找到引用源。 【解析】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10 X 的分布为 p( X ? 1) ?
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟”, X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第

i 位顾客的结算时间,则
P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X 1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
21 世纪教育网

?

3 3 3 3 3 3 9 . ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、 分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而

求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率. ...
错误!未找到引用源。考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概
P

率分布列的期望与方差. 解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,
A
4

G F
3

5

D E C

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

B

图 ①

所以 Y 的分布列为:
Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E(Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;
D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3) 2 ? 0.1 ? 9.8 .

故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ?
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . P( X ? 300) 0.7 7
6 . 7

故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是

错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 .

(Ⅱ)分数在 ?80,90 ? 、90,100? 的人数分别是 50 ? 0.018 ?10 ? 9 人、 ? 0.006 ?10 ? 3 人. 50 ? 所以 ? 的取值为 0、1、2.

P ?? ? 0 ? ?

0 C3 C92 36 6 C1C1 27 9 C 2C 0 3 1 , P ?? ? 2 ? ? 3 2 9 ? , ? ? , P ?? ? 1? ? 3 2 9 ? ? ? 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

所以 ? 的数学期望是 E? ? 0 ?

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2

错误!未找到引用源。 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机

变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然 思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件 A ,则 P( A) ?

2?3 1 ? . 50 10

(2)依题意 X 1 , X 2 的分布列分别如下:

X2

1.8

2.9

p

1 10

9 10

1

2

3

X1

p

1 25

3 50

9 10

(3)由(2)得

E ( X 1 ) ? 1?

1 3 9 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 25 50 10

E ( X 2 ) ? 1.8 ?

1 9 ? 2.9 ? ? 2.79 10 10

E ( X 1 ) ? E ( X 2 ) ,所以应生产甲品牌的轿车.
错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布

列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结 合独立事件的概率求解结论. 解 : 记

Ai

为 事 件 “ 第 .

i

次 发 球 , 甲 胜 ”,i=1,2,3, 则

P( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4

(Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 由 互斥事件有一个发生的概率加法公式得

A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,

P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )
? 0.352 .

? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4

即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)由题意 ? ? 0,1, 2,3 .

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144

;

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )
? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.408;

P(? ? 2) ? 0.352 ;
P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096
所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3? 0.096 ? 1.4 【点评】 首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上 求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题. 情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 错误!未找到引用源。 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是 对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理 由,但是要求学生对方差意义的理解非常深 刻. (1)由题 意可知:
400 2 = 600 3
1000 10

(2)由题意可知: 200+60+40 = 3

(3)由题意可知: s 2 ? 1 (a 2 ? b2 ? c2 ? 120000) ,因此有当 a ? 600 , b
3

?0

, c ? 0 时,

有 s 2 ? 80000 .
错误!未找到引用源。 【解析】(I)

X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为

n n ?1 ? m?n m?n?2
(Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

1 2

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?

X
P

1 1 1 2 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4 n n ?1 n?2
1 4 1 2 1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 n n ?1 答:(Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 ? m?n m?n?2 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1


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