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高一数学2014必修一第一章集合章末知识练习题及答案解析


数学· 必修 1()

一、 元素与集合的关系

已知 A={x|x=m+n·2,m,n∈ Z}. 1 ,x2= 9-4 2, x3= (1-3 2)2,试判断 x1, 3-2 2
W w .x K b 1.c o M

(1)设 x1=

x2,x3 与 A 之间的关系;w

r />(2)任取 x1,x2∈ A,试判断 x1+x2,x1· x2 与 A 之间的关系; 1 (3)能否找到 x0∈A,使 ∈A,且 |x0|≠1? x0 分析:分清楚集合 A 中元素具备什么形式. 1 = 3+ 2 2,则 x1∈A, 3- 2 2

解析: (1)由于 x1=

由于 x2= 9- 4 2= ? 1- 2 2? 2=- 1+ 2 2, 则 x2∈A,由于 x3= (1- 3 2)2= 19- 6 2, 则 x3∈A. (2)由于 x1, x2∈ A, 设 x1=m1+ n1 2, x2= m2+ n2· 2(其中 m1, n1, m2, n2∈ Z). 则 x1+ x2= (m1+ m2)+ (n1+ n2) 2, 其中 m1+ m2, n1+ n2∈ Z,则 x1+ x2∈A.

由于 x1x2= (m1+ n1 2)(m 2+ n2 2) = (m1m 2+ 2n1n2)+ (m 1n2+m2n1)· 2, 其中 m1m2+ 2n1n2,m1n2+m2n1∈ Z,则 x1x2∈A. (3)假设能找到 x0= m0+ n0 2∈A(其中 m0, n0∈ Z)符合题意, 则: m0 - n0 1 1 = = 2 · 2∈A, 2+ 2 x0 m 0+ n0· 2 m0- 2n0 m0- 2n2 0 则 m0 - n0 ∈ Z , 2 2∈ Z . m2 m2 0- 2n0 0- 2n0

于是, 可取 m0= n0= 1, 则能找到 x0=- 1+ 2, 又能满足 |x0|≠ 1, 符合题意. 点评: 解决是否存在的问题主要采用假设法: 假设存在某数使结 论成立,以此为基础进行推理.若出现矛盾,则否定假设,得出相反 的结论; 若推出合理的结果, 则说明假设正确. 这种方法可概括为“假 设 —推理 —否定 (肯定 )假设 —得出结论”.

?变式训练 1.设集合 A= {x|x=3k,k∈ Z}, B= {x|x= 3k+1,k∈ Z}, C= {x|x= 3k+2, k∈ Z},任取 x1∈ B,x2∈ C,则 x1+x2∈ ________, x1x2∈________,x1-x2∈________,x2-x1∈________. (注:从 A,B,C 中选一个填空)

解析:设 x1= 3m+ 1,x2= 3n+ 2,m,n∈ Z,则 x1+ x2= 3(m+ n+ 1)∈ A; x1x2= 9mn+ 6m+ 3n+ 2= 3(3mn+ 2m+ n)+ 2∈C; x1-

x2= 3m- 3n- 1= 3(m- n- 1)+ 2∈C;x2- x1= 3n- 3m+ 1= 3(n- m) + 1∈B. 答案: A C C B

2.已知集合 A={x|ax2- 3x+2=0}.

(1)若 A=?,求实数 a 的取值范围;

(2)若 A 中只有一个元素,求实数 a 的值,并把这个元素写出来.

解析:(1)A= ?,则方程 ax2- 3x+ 2= 0 无实根, 9 即 Δ= 9- 8a<0, ∴a> . 8
? ? 9 ? ∴a 的取值范围是?a?a> ?. 8 ? ? ?

(2)∵A 中只有一个元素,
?2 ? ∴①a= 0 时, A=? ?满足要求. ?3 ?

②a≠0 时, 则方程 ax2- 3x+ 2= 0 有两个相等的实根. 故 Δ= 9- 8a= 0, 9 ?4 ? ∴a= ,此时 A=? ?满足要求. ?3 ? 8

9 综上可知:a= 0 或 a= . 8

二、集合与集合的关系

A= {x|x<-1 或 x>2},B= {x|4x+p<0},当 B?A 时,求 实数 p 的取值范围.

分析:首先求出含字母的不等式,其次利用数轴解决.
? ? p ? 解析:由已知解得,B=?x?x<- ?. 4 ? ? ?

又∵A= {x|x<- 1 或 x> 2},且 B?A,利用数轴. p ∴- ≤- 1. 4 ∴p≥4,即实数 p 的取值范围为 {p|p≥ 4}. 点评: 在解决两个数集包含关系问题时, 避免出错的一个有效手 段是合理运用数轴帮助分析与求解.

三、集合的综合运算

已知集合 A= {(x,y)|x2- y2- y=4},B= {(x,y)|x2-xy- 2y2= 0},C= {(x, y)|x- 2y=0}, D= {(x, y)|x+ y=0}.

(1)判断 B、C、 D 间的关系;

(2)求 A∩B.

分析:对集合 B 进行分解因式,读懂集合语言. 解析: (1)∵x2- xy- 2y2= (x+ y)(x- 2y), ∴B= {(x, y)|x2- xy- 2y2= 0} = {(x, y)|(x+ y)(x- 2y)= 0} = {(x, y)|x- 2y= 0 或 x+ y= 0} = {(x, y)|x- 2y= 0}∪ {(x, y)|x+ y= 0}= C∪D.
2 2 ? ?? x - y - y= 4, ? ? ? 2 (2)A∩B=?? x, y?? 2 ?? ? ??x - xy- 2 y = 0 ?

? ? ? ? ?

? ?? ?x 2- y2- y= 4, ? ? =?? x, y??? ?? x- 2 y?? x+ y?= 0 ? ?? ?
2 2 ? ?? ? ?x - y - y= 4, ? =?? x, y??? ?x+ y= 0 ? ?? ? 2 2 ? ?? ? ?x - y - y= 4, ? 或?? x, y??? ?x- 2 y= 0 ? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?

??8 4 ? ? =?? , ?, ?- 2,- 1?, ?4,- 4? ?. ??3 3 ? ?

设集合 A={x||x|<4}, B= {x|x2-4x+3>0}, 则集合?A(A∩B) =________.

分析:首先简化集合 A 和 B,再借助数轴求解. 解析: ∵A= {x|- 4<x<4}, B= {x|x<1 或 x>3}, ∴A∩B= {x|- 4<x<1 或 3<x<4}, X k B ∴?A(A∩B)= {x|1≤x≤3}. 答案: {x|1≤x≤ 3} 点评:解集合问题,重要的是读懂集合语言,明确意义,用相关 的代数或几何知识解决.
1 . c o m

?变式训练 3.已知 M, N 为集合 U 的非空真子集,且 M≠ N,若 M∩?UN =?,则 M∪ N= ( A. M C. U B. N D.? )

答案: B

? ? ?y-4 ? ? 4.已知全集 U= {实数对(x, y)}, A=?? x, y?? =3 ?,B= ?x-2 ? ? ? ?

{(x, y)|y= 3x-2},求 (?UA)∩B.

? ?y- 4 ? 解析: A=?? x, y?? = 3? = {(x,y)|y= 3x- 2, 且 x≠2},∴ (? ? ?x- 2 ?
UA)∩ B= {(x, y)|x= 2, y= 4}= {(2,4)}.

四、 空集的地位和作用 已知集合 A= {x|x2+ (m+2)x+1=0},若 A∩R+=?,则 实数 m 的取值范围是________[其中 R+= (0,+∞ )].

分析:从方程的观点来看,集合 A 是关于 x 的实系数一元二次 方程 x2+ (m+ 2)x+ 1= 0 的解集,而 x= 0 不是该方程的解,所以由 A∩ R+= ?可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式 转化为关于 m 的不等式,解出 m 的范围即可. 解析:由于 A∩R+=?和该方程没有零根,所以该方程只有两个 负根或无实数根,从而有
2 ? ?Δ= ?m+ 2? - 4≥0, ? 或 Δ= (m+ 2)2- 4<0, ?- ?m+ 2?<0 ?

解得 m≥0 或- 4<m<0,即 m>- 4. 答案: {m |m>-4} 点评:由于集合的联系性较强,应注意体会和提炼数学思想 (如 数形结合、方程思想和分类讨论思想 ).

?变式训练

5.集合 A= {x|-2≤x≤ 5},B= {x|m+1≤x≤2m-1}

(1)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围;

(2)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围.

解析:(1)A∩B= B?B?A, 当 m+ 1>2m- 1, 即 m<2 时,B=?, m+ 1≥- 2, ? ? 满足 B?A; 当 m+ 1≤2m- 1 时, 要使 B?A, 则?2m- 1≤5, ? ?m+ 1≤2m- 1 2≤m≤3. 综上,m 的取值范围为 {m |m≤3}. (2)当 m+ 1>2m- 1,即 m<2 时, B=?,满足 A∩B= ?.
? ?m+ 1≤2m- 1, 当 B≠ ? 时 , 要 使 A∩B = ? , 则 必 须 ? ? ?m+ 1>5 ? ?m+ 1≤2m- 1, ? ?m>4. ?2m- 1<- 2 ?

?



综上,m 的取值范围是 {m |m<2 或 m>4}.

五、 集合中的信息迁移题 约定“ ? ”与“?”是两个运算符号,其运算法则如下: a+b 对任意的 a, b∈R, 有 a ? b=a-b, a?b= .设 U= {c|c= (a ? b) ? a-b? 2+1

a?b + (a?b),-2<a≤b<1,且 a,b∈ Z}, A= {d|d= 2(a ? b)+ ,- b 1<a<b<2,且 a,b∈ Z},求?UA. 分析:本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法 则,关键是要按照规定,把符号“?”与 “?”表示的运算转化为通 常的“+,-,×, ÷ , ?”等运算.然后化简集合 U 及 A,最后再 由补集的定义求出?UA. 解析: 由- 2<a≤b<1 且 a, b∈Z 可知, a=- 1, b=-1 或 b= 0; a= 0, b= 0.根据题中对符号“? ”与 “?”及其运算法则的约定, 有: (1)若 a=- 1, b=- 1, 则 c= (a ? b)+ (a?b) 新-课 -标 -第- 一-网 = (- 1)- (- 1)+ ?- 1?+ ?- 1? =- 2; ?- 1+ 1? 2+ 1

(2)若 a=- 1, b= 0, 则 c= (a ? b)+ (a?b) = (- 1)- 0+ ?- 1?+ 0 3 =- ; 2 2 ?- 1- 0? + 1

(3)若 a= 0, b= 0, 0+ 0 则 c= (a ? b)+ (a?b)= 0- 0+ = 0. ? 0- 0? 2+ 1
? 3? 由 (1)、 (2)、 (3),可知 U=?- 2, 0,- ?. ? 2?

下面确定 A:由- 1<a<b<2,且 a, b∈Z, 可得, a= 0, b= 1,此时, 新-课 -标 -第- 一-网 a?b 0+ 1 3 ? 3? d= 2(a ? b)+ = 2×(0- 1)+ =- , 所以 A=?- ?, 2 b ? 2? 2 ? 0- 1? + 1

所以?UA= {0,- 2}. 点评: 在近几年的高考试题和各地的高中模拟考试试题中频频出 现新定义型集合, 这类问题的求解并不是很难, 只要按照其定义方式 求解即可. 这类题的目的在于培养学生的创新能力、 接受临时性定义 的能力.

?变式训练 6.设全集为 U,A、B 是 U 的子集,定义集合 A 与 B 的运算: A*B= {x|x∈A∪B 且 x?A∩B},则 (A*B)*A 等于 ( A. A B.B )

C. (? UA)∩B

D.A∩?UB

解析:利用 Venn 图. 答案:B
X| k |B| 1 . c|O |m

7.在集合 {a,b, c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

?
a b

a a b

b b b

c c b

d d B

c d

c d

b b

c b

B D

?
a b c d 那么 d ? (a ? c)= (

a a a a a

b a b c d

c a c c a

d a d a d

)

A. a B.b C. c D.d 解析:有定义可得 a ? c= c, ∴d? (a ? c)= d?c= a. 答案:A 新| 课 |标 |第 |一| 网


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