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高二数学选修4-4教案08直线的参数方程


直线的参数方程
教学目的:使学生理解直线的参数方程的形式,了解其参数 t 的几何意义;会用直线的 参数方程解决一些问题。 一、问题情景 上节我们学习了曲线的参数方程,今天学习的直线的参数方程。 二、数学构建 【引例】求经过点M( x0 , y 0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的 参数方程。 分析:实际上是求直线上动点M的轨迹方程。 解:设M( x, y ) 是直线上

任意一点,过点M作 y 轴的平 行线,过点M 0 作 x 轴的平行线,两直线相交于点Q,规 . 定直线 ...l 向上方向为正方向。 ......... 当 MM 0 与 l 同方向或M与M0重合时,因

y x o x

M
0

M x

MM0= MM 0 ,由三角函数的定义,有M 0 Q =M0M cos? ,QM=M0M sin ? 当 MM 0 与 l 反方向时,因MM0、M0Q、QM同时改变符号上式仍然成立。即有 M 0 Q =M0M cos? ,QM=M0M sin ? 设 M0M= t ,取 t 为参数,? M0Q=( x ? x0 ) QM= ( y ? y0 )

? x ? x0 ? t cos? , y ? y0 ? t sin ?
即?

? x ? x0 ? t cos? (t 为参数) ? y ? y 0 ? t sin ?



这就是所求的直线的参数方程。 注意: t 表示定点M(X0,Y0)到相应动点Q(X,Y)有向线段 MQ 的数量。 t 表 示M、Q两点间的距离。 三、知识运用 直线参数方程的应用: 1、 t 可以解决有关弦长问题

?x ? x 0 ? at ? a 2 ? b 2 ? 1且b ? 0 时参数 t 才有意义。 ?y ? y ? bt 3、当 ? ? (0, ? ) 时,P在P0上方时, t ? 0 ,P在P0下方时, t ? 0 , P与P0重合时, t ? 0 ; 当 ? =0时 pp0 方向与 x 轴正向相同时, t ? 0 ; pp0 方向与 x 轴正向相反时, t ? 0 ,P与P0重合时, t ? 0 ; ?x ? x 0 ? t cos ? 当 ? =90°时 ? (t 为参数)可化为 x ? x0 因此在使用时,不必 ?y ? y 0 ? t sin ?
2、另 ? 研究直线斜率不存在时的情况。 4、?

?x ? x 0 ? t cos ? ?x ? 3 ? t cos 200? 如? (t 为参数) (t ? 不一定为直线的倾斜角, ?y ? 1 ? t sin 200? ?y ? y 0 ? t sin ?

为参数),倾斜角应为20°。 5、同一直线方程有多种表示方式,如:

? ?x ? 1 ? ? ? ?y ? 2 ? ? ?

2 t ?x ? 1 ? t 2 ( t 为参数)和 ? (t 为参数) 2 ?y ? 2 ? ? t t 2

表示同一条直线,但后者参数 t 没有几何意义。

a ? t, ?x ? x 0 ? 2 2 a ?b ? 5、对于 ? ( t 为参数)若 a , b 同号, ? 在第一象限; b , ?y ? y ? t 0 ? a 2 ? b2 ? 若 a , b 异号, ? 在第二象限。 b 为正数
【例 1】 设直线的参数参数方程为 ?

?x ? 5 ? 3t , (1) 求直线的直角坐标方程; (2) ?y ? 10 ? 4t

化上述参数方程为标准的参数方程 ①,指出两个方程中的参变量 t 的关系。

【例 2】求直线 l : 3x ? 2 y ? 1 ? 0 分连结 A(2,1)、B(3,2)所成的线段 AB 所 成的比 ? ?

2 ? 3? ? x? ? ? 1? ? (? 是参数,且不等于-1) 解:设AB的两点式参数方程是 ? ? y ? 1 ? 2? ? 1? ? ? 2 ? 3? 1 ? 2? 7 ?2 ? 1 ? 0 所以 ? ? ? 把它代入 3x ? 2 y ? 1 ? 0 有 3 1? ? 1? ? 12 7 由 ? 的几何意义知,直线 l 分线段 AB 的比是 ? 12
3 ? x ? 2? t ? ? 5 【例3】已知直线 l : ? ( t 为参数),求直线上的点到点M(2,-1)R的距 ?y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
离是2的点的坐标。 分析:利用 t 的几何性质可解即(

16 ? 13 4 3 )。 , )或( , 5 5 5 5

【例 4】直线过点 A(1,3),且与向量 (2,?4) 共线, (1)写出该直线的参数方程; ( 2) 求点 P (?2,?1) 到此直线的距离。 设直线 l 1 过点 A(2,?4) ,倾角为

5? ,( 1 )求 l 1 的参数方程;( 2 )设直线 l 2 : 6

x ? y ? 1 ? 0 与 l 1 的交点为 B,求 B 与 A 的距离,

四、课堂小结

1、直线方程的几种形式;2、参数的作用即求距离

(1)直线的参数方程

<1>标准形式: 过点M 0 (x 0 , y 0 ), 且倾角为 ?的直线的参数方程的标 准形式为 :

?x ? x 0 ? t cos? (t为参数) ? ?y ? y 0 ? t sin?

<2>一般形式:

?x ? x 0 ? at ' ( t ' 为参数且 a 2 ? b 2 ? 1) ? ?y ? y 0 ? bt'

(2)参数 t 的几何意义及其应用

标准形式:

?x ? x 0 ? t cos? ( t为参数)中, t的几何意义是表示定点 M 0 (x 0 , y 0 ) ? ?y ? y 0 ? t sin?

到直线上动点 M(x, y)的有向线段 M0 M 的数量 ,

即M 0 M ? t, 故 :

<1> 直线与圆锥曲

线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长|AB|=|t1-t2|

<2>定点 M0 是弦 M1、M2
tM ? t1 ? t 2 2

的中点 ?t1+t2=0

<3>设弦 M1, M2 中点为 M; 则点 M 相应的参数



? x ? 2 ? 3t l:? (t y ? ?1 ? 4t 参数)如何求解? 变:此题条件 ?


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