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高一数学


考点 1 等比数列的通项与前 n 项和 题型 1 已知等比数列的某些项,求某项
【例 1】已知

?a n ?为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162 ,则 a10 ?
?a 2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ?a6 ? a1q ? 162

【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 【解

析】方法 1:? ?

? a10 ? a1q 9 ? a6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122
方法 2:? q
4

?

a6 162 ? ? 81 ,? a10 ? a6 q 4 ? 162 ? 81 ? 13122 a2 2

方法 3:?

?a n ?为等比数列
2

? a 2 ? a10 ? a6 ? a10 ?

a6 162 2 ? ? 13122 a2 2

2

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.

题型 2 已知前 n 项和 S n 及其某项,求项数.
【例 2】⑴已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, S n
? a1q

? 93 , a n ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数 n ?

.

⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中间两数之和为 36 ,求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式 a n
n ?1

a1 (1 ? q n ) 及 Sn ? 求出 a1 及 q ,代入 S n 可求项数 n ;⑵利用等差 1? q

数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数. 【解析】⑴由 S n

?a ( 2 n ? 1) ? 93 ? 2 n ? 32 ? n ? 5 . ? 93 , a n ? 48 ,公比 q ? 2 ,得 ? 1 n ?1 a1 ? 2 ? 48 ?

? 2b ? a ? c ?c 2 ? bd ? ⑵方法 1:设这四个数分别为 a, b, c, d ,则 ? ; ?a ? b ? 37 ?b ? c ? 36 ?

4 方法 2:设前 2 个数分别为 a, b ,则第 3、 个数分别为 36 ? b, ? a ,则 37
99 ? ? 2b ? (36 ? b) ? a ?a ? 12 ?a ? 4 ,解得 ? 或? ; ? 2 ? b ? 16 ? b ? 81 ?(36 ? b) ? b(37 ? a ) ? 4
方法 3:设第 2、个数分别为 b,c ,则第 1 个数为 2b ? c ,第 1 个数为 3

c2 b

,则

? ? c2 ?b ? 16 ?b ? ?2b ? c ? ? b ? ?c ? 20 或 ? ? ?b ? c ? 36 ?c ? ? ?

81 4 ; 63 4
a ? c 2c 2 , 2 a?c


方法 4:设第 2、个数分别为 b,c ,设第 1,4 个数分别为 3

方法 5:设第 3、 个数分别为 c, d ,则设第 1,2 个数分别为 37 ? d ,36 ? c ,则 4

?2(36 ? c ) ? (37 ? d ) ? c ?c ? 20 ? 16 63 49 ?? 或c ? ,d ? . ? 2 4 4 ?c ? d (36 ? c ) ?d ? 25
【名师指引】平时解题时,应注意多方位、多角度思考问题,加强一题多解的练习,这对提高我们的解题能力大有裨益.

题型 3 求等比数列前 n 项和
【例 3】等比数列 1,2,4,8,? 中从第 5 项到第 10 项的和. 【解题思路】可以先求出 S10 ,再求出 S 4 ,利用 S10 由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解. 【解析】由 a1

? S 4 求解;也可以先求出 a 5 及 a10 ,

? 1, a2 ? 2 ,得 q ? 2 ,

? S10 ?

1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023 , S 4 ? ? 15 ,? S10 ? S 4 ? 1008 . 1? 2 1? 2

【例 4】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, an

? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ,求 S n

【解题思路】可以先求出 a n ,再根据 a n 的形式特点求解.

【解析】? a n

? 1? 3 ? 3 ? 3 ??? 3
2 3

n ?1

1(1 ? 3n ) 3n 1 ? ? ? , 1? 3 2 2

? Sn ?

1 1 1 3(1 ? 3n ) 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? n ? ? ? n 2 2 2 1? 3 2 3n 1 3 ? n? . 4 2 4

即 Sn

?

【例 5】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 S n .

【解题思路】分析数列通项形式特点,结合等比数列前 n 项和公式的推导,采用错位相减法求和. 【解析】? an

? (2n ? 1) ? 3n

? S n ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ,----------------①
3S n ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1 -------------②
①—②,得 ? 2 S n

? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1

? 3? 2?

9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 6 1? 3

? S n ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? 3.
【名师指引】根据数列通项的形式特点,等比数列求和的常用方法有:公式法、性质法、分解重组法、错位相减法,即数列求 和从“通项”入手. 【新题导练】 1.已知

?a n ?为等比数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的值. ?a n ?的公比为 q ,
a 4 ? a5 ? a 6 ? 2 ,? a11 ? a12 ? a13 ; a1 ? a 2 ? a3
.

【解析】设等比数列

? a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,? q 5 ?

2.如果将 20,50,100 依次加上同一个常数后组成一个等比数列,则这个等比数列的公比为

x,50 ? x,100 ? x 成等比数列, 5 50 ? 5 4 ? 205 ? 41 . ? (50 ? x ) 2 ? (20 ? x )(100 ? x ) ,解得 x ? ,? q ? 5 4 85 17 20 ? 4
3.已知 S n 为等比数列 【解析】 ?

【解析】设这个常数为 x ,则 20 ?

?a n ?的前 n 项和, a2 ? 3, a6 ? 243, Sn ? 364 ,则 n ?



?a 2 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1, q ? 3 或 a1 ? ?1, q ? ?3 , 5 ?a 6 ? a1q ? 243

1(1 ? 3n ) ? 364 ? n ? 6 ; 1? 3 ? 1 1 ? ( ?3) n ? 364 ? n 无整数解. 当 a1 ? ?1, q ? ?3 时, S n ? 1? 3
当 a1

? 1, q ? 3 时, S n ?

?

?

4.已知等比数列

?a n ?中, a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是

.

? 1? 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ? ? ? 1 ? q ? q? q ? 1 1 ∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ? ? 1 ? 2 q ? ? 3 ; q q
【解析】∵等比数列

? an ? 中 a2 ? 1

∴ S3

当公比 q

? ? 1? 1? ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 , q? ? ? q?

∴ S3 ?

? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

5.已知 S n 为等比数列 【解析】由 a n

?a n ?前 n 项和, an ? 0 , S n

? 80 , S 2 n ? 6560 ,前 n 项中的数值最大的项为 54,求 S100 .

? 0 , S n ? 80 , S 2 n ? 6560 ,知 q ? 1 ,

? Sn ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q 2 n ) ? 80, S 2 n ? 1 ? 6560 . 1? q 1? q

?

Sn 1 ? q 2n ? ? 82 ? q n ? 81 ,? q ? 1 ,又?前 n 项中的数值最大的项为: S2n 1 ? q n

an ? a1q n ?1 ? 54 ,?

a1 2 ? ,? a1 ? 2, q ? 3 ? S100 ? 3100 ? 1. q 3

考点 2 证明数列是等比数列
【例 6】 已知数列

?a n ?和 ?bn ?满足:a1 ? ? ,an?1 ? 2 an ? n ? 4 ,bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) , ? 为实数,n ? N ? . 其中
3

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?a n ?不是等比数列;
⑵ 试判断数列

?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论.

【解题思路】⑴证明数列 常用:①定义法;②中项法.

?a n ?不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列 ?bn ?是等比数列, ?a n ?是等比数列,则有 a22 ? a1 ? a3 ,

【解析】⑴ 证明:假设存在一个实数 ? ,使 即(

2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 ?a n ?不是等比数列. 所以
⑵ 解:因为 bn

? ( ?1) n (an ? 3n ? 21) ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( an ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 (an ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以 b 当 ? ? ?18, bn ? 0( n ? N ? ) ,此时 ? n ?不是等比数列; bn ?1 2 当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时,由上可知 bn ? 0,? ? ? (n ? N ? ) ,此时 ?bn ?是等比数列. bn 3
【名师指引】等比数列的判定方法: ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?a n ?是等比数列; an
2

⑵中项法: a n ?1 【新题导练】

? a n ? a n ?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?a n ?是等比数列.

2an 1 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?.证明:数列 { ? 1} 是等比数列; an ? 1 an 3 2an a ?1 1 1 1 1 【解析】? an ?1 ? ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2an 2 2 an 1 1 1 1 1 2 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? an ?1 2 an a1 2 3 1 1 1 ?数列 { ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 2 2
6.已知数列 {an } 的首项 a1

?

考点 3 等比数列的性质
【例 7】已知 S n 为等比数列

?a n ?前 n 项和, S n

? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ?

.

【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 【解析】?

?a n ?是等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列,
182 3
.

? 54( S3n ? 60) ? 36 ? S3n ?
【新题导练】 7.已知等比数列 【解析】?

【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.

?a n ?中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ?

.

?a n ?是等比数列, an ? 0

? (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 ) 2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
考点 4 等比数列与其它知识的综合
【例 8】设 S n 为数列 ⑴证明:当 b ? 2 时, ⑵求

?a

?a n ?的前 n 项和,已知 ban ? 2n ? ? b ? 1? Sn
n

? n ? 2n ?1? 是等比数列;

?an ? 的通项公式
?Sn , an , n? ? 0 求数列的通项公式 a n
? f (n ) ,主要利用:

【解题思路】由递推公式

? S ( n ? 1) an ? ? 1 ,同时注意分类讨论思想. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)
【解析】由题意知 a1 两式相减,得 b

? 2 ,且 ban ? 2n ? ? b ? 1? Sn , ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? Sn ?1
an ?1 ? ban ? 2n


? an?1 ? an ? ? 2n ? ? b ? 1? an?1 ,即
an ?1 ? 2an ? 2n

⑴当 b ? 2 时,由①知 于是

an ?1 ? ? n ? 1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ? 1? ? 2n
n ?1

又 a1 ? 1 ? 2

? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2n ?1? 是首项为 1 ,公比为 q ? 2 的等比数列。 ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2n ?1

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?

⑵当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an 当b ?

因此

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b 1 b ? ? ? 2n ? ? ban ? ? 2n ? b ? an ? 2?b 2?b ? ? 2 ?1 ? b ? n 1 1 ? ? ?b an ?1 ? ? 2n ?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

2 时,由①得 an?1 ?



n ?1 ? 2 ? an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
【名师指引】退一相减是解决含有 S n 的递推公式的重要手段,使其转化为不含 S n 的递推公式,从而针对性的解决;在由递推

公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键. 【新题导练】

8.设 S n 为数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N* . n ⑴ 设 bn ? S n ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
⑵ 若 a n ?1

? an (n ? N ? ) ,求 a 的取值范围.
? an ?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn ?1 ? 2Sn ? 3n ,

【解析】⑴依题意, Sn ?1 ? S n 由此得 Sn ?1 ? 3
n ?1

? 2( Sn ? 3n ) .因此,所求通项公式为


bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N ? .
⑵ 由①知 当n

Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N ? ,于是,

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2
? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
n ?2 ? ? ? 3? ?12 ? ? ? ? a ? 3? , ?2? ? ? ? ?

an ?1 ? an ? 4 ? 3
n ?2

n ?1

? (a ? 3) ? 2

n ?2

?2

n ?2

n ?2 ? ? ? 3? 当 n ? 2 时, an ?1 ? a n ? 2 ?12 ? ? ? ? a ? 3? ? 0 ? a ? ?9 ,又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 . ?2? ? ? ? ? ? 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9, ? ? .

7.(2009 执信中学) 等差数列

?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . ?an ? 的公差为 d ,则
a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d
2 ? a6 ,

【解析】解:设数列

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d ,



由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3 a10 整理得 10d 当d
2

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2

? 10d ? 0 ,

解得 d

? 0 或 d ? 1.

? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 ;当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 ,
? 20a1 ? 20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2

于是 S20

8.(2009 金山中学)已知数列 ⑴求 a1 , a2 的值; ⑵证明数列

?an ? 的前 n 项和为 S n , Sn ?

1 (an ? 1) ? n ? N ? ? ; 3

?an ? 是等比数列,并求 S n .
1 S1 ? (a1 ? 1) 3


【解析】⑴由 由 S2

a1 ? ?

1 2

1 1 1 1 1 ? (a2 ? 1) 即 a1 ? a2 ? (a2 ? 1) ? - ? a2 ? (a2 ? 1) ,得 a2 ? 3 3 2 3 4 1 1 1 1 ⑵? S n ? ( an ? 1) ? an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? ( an ?1 ? 1) ? (an ? 1) ? (an?1 ? an ) 3 3 3 3

显然 an

?0 ?

an ?1 1 1 1 1 1 ? ? ,所以, ?an ? 是以 ? 为公比的等比数列, Sn ? ? (? )n?1 ? ?( ) n an 2 2 2 2 2

9.(2008 湖北)

已知数列

?a n ?和 ?bn ?满足: a1 ? ? , an?1 ? 2 an ? n ? 4 , bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ,
3

其中 ? 为实数, n ? N ? .

若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】⑴证明:假设存在一个实数 ? ,使 即(

?a n ?不是等比数列; b ⑵ 证明:当 ? ? ?18 ,数列 ? n ?是等比数列; b ⑶设 S n 为数列 ? n ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12 ?
⑴ 对任意实数 ? ,证明数列

?a n ?是等比数列,则有 a22 ? a1 ? a3 ,

2 4 4 4 ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9 所以 ?a n ?不是等比数列.
⑵ 解:因为 bn

? ( ?1) n (an ? 3n ? 21) ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3(n ? 1) ? 21? 2 ? ( ?1) n ?1 ?an ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( an ? 2n ? 14 ) 3 2 2 ? ( ?1) n ?1 (an ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以,当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时, b 2 由上可知 bn ? 0,? n ?1 ? ? ( n ? N ? ) , bn 3 2 b 此时 ? n ?是以 ? (? ? 8) 为首项, ? 为公比的等比数列. 3 2 n?1 ⑶当 ? ? ?18 时,由⑵得 bn ? ?(? ? 8) ? ( ? ) ,于是 3 3 2 ? ? S n ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? , 5 3 ? ? 当 ? ? ?18 时, bn ? 0 ,从而 Sn ? 0. 上式仍成立.要使对任意正整数 n , 都有 S n ? ?12 .即

3 2 ? 20 ? ? (? ? 8) ? ?1 ? ( ? ) n ? ? ?12 ? ? ? ? 18. 2 n 5 3 ? ? 1 ? (? ) 3 2 n 5 令 f ( n ) ? 1 ? ( ? ) ,则 ? f ( n ) ? 1 3 9 5 5 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n ) ? ;当 n 为正偶数时, ? f ( n ) ? 1 . 3 9 3 5 ? f (n ) 的最大值为 f (1) ? . 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6 . 5 3
综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n

? ?12 , ? 的取值范围为 ?? ?,?6? .


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