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高二数学复数的几何意义综合测试题


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选修 2-2
一、选择题

3.1.2 复数的几何意义

1.如果复数 a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点在第二象限, 则( ) A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 [答案] D [解析] 复数 z=a+bi 在复平面内的对应点坐标为(a,b),该点 在第二象限,需 a<0 且 b>0,故应选 D. 2.(2010· 北京文,2)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点 分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i [答案] C 6-2 [解析] 由题意知 A(6,5), B(-2,3), AB 中点 C(x, y), 则 x= 2 5+3 =2,y= 2 =4, ∴点 C 对应的复数为 2+4i,故选 C. 2 3.当3<m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点 )

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位于(

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] D 2 [解析] ∵3<m<1,∴3m-2>0,m-1<0, ∴点(3m-2,m-1)在第四象限. 4. 复数 z=-2(sin100° -icos100° )在复平面内所对应的点 Z 位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C [解析] z=-2sin100° +2icos100° . ∵-2sin100° <0,2cos100° <0, ∴Z 点在第三象限.故应选 C. 5.若 a、b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i 对应的点 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] D
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[解析] a2-6a+10=(a-3)2+1>0,-b2+4b-5 =-(b-2)2-1<0.所以对应点在第四象限,故应选 D. 6.设 z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的 是( ) A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不是纯虚数 C.z 对应的点在实轴上方 D.z 一定是实数 [答案] C [解析] ∵2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为 0,t2 +2t+2=(t+1)2+1≥1,∴排除 A、B、D,选 C. 7.下列命题中假命题是( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数 z1>z2 的充要条件是|z1|>|z2| [答案] D [解析] ①任意复数 z=a+bi(a、 b∈R)的模|z|= a2+b2≥0 总成 立.∴A 正确;
? ?a=0 ②由复数相等的条件 z=0?? .?|z|=0,故 B 正确; ?b=0 ?

)

③若 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、b1、a2、b2∈R) 若 z1=z2,则有 a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2| 反之由|z1|=|z2|,推不出 z1=z2, 如 z1=1+3i,z2=1-3i 时|z1|=|z2|,故 C 正确;

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④不全为零的两个复数不能比较大小, 但任意两个复数的模总能 比较大小,∴D 错. 8.已知复数 z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于 10,则实数 x 的取值 范围是( )

4 A.-5<x<2 B.x<2 4 C.x>-5 4 D.x=-5或 x=2 [答案] A [解析] 由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10, 4 解之得-5<x<2.故应选 A. 9.已知复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=-1+ai,若|z1|<|z2|,则实 数 b 适合的条件是( A.b<-1 或 b>1 B.-1<b<1 C.b>1 D.b>0 [答案] B [解析] 由|z1|<|z2|得 a2+b2< a2+1, ∴b2<1,则-1<b<1. → 表示的复数为 1+i,将OA → 向右平移一个单 10.复平面内向量OA → → 位后得到向量 O′ A′ ,则向量 O′ A′ 与点 A′对应的复数分别为 ( )
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)

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A.1+i,1+i B.2+i,2+i C.1+i,2+i D.2+i,1+i [答案] C → → ,对应复数为 1+i,点 A′对应复 [解析] 由题意O′ A′=OA 数为 1+(1+i)=2+i. 二、填空题 11.如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在 第一象限,则实数 m 的取值范围为________________.
? ? -1- 5? ?3 ?∪? ,+∞? [答案] ?-∞, ? 2 ? ? ?2

[解析] 复数 z 对应的点在第一象限
2 ? ?m +m-1>0 -1- 5 3 需? 2 解得:m< 或 m > 2 2. ?4m -8m+3>0 ?

12.设复数 z 的模为 17,虚部为-8,则复数 z=________. [答案] ± 15-8i [解析] 设复数 z=a-8i,由 a2+82=17, ∴a2=225,a=± 15,z=± 15-8i. 13. 已知 z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(m∈R), 若复数 z 对应点 位于复平面上的第二象限,则 m 的取值范围是________. [答案] 3<m<5 [解析] 将复数 z 变形为 z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i ∵复数 z 对应点位于复平面上的第二象限
2 ? ?m -8m+15<0 ∴? 2 解得 3<m<5. ?m -m-6>0 ? 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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1+t t 14.若 t∈R,t≠-1,t≠0,复数 z= + t i 的模的取值范 1+t 围是________. [答案] [ 2,+∞)
? t ? ?1+t?2 ? t ? 1+t ? ≥2? ?· =2. [解析] |z|2=?1+t?2+? ? ? ? t ? ?1+t? t

∴|z|≥ 2. 三、解答题 15.实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z=2m+(4-m2)i 的 点 (1)位于虚轴上; (2)位于一、三象限; (3)位于以原点为圆心,以 4 为半径的圆上. [解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上,则 2m=0,即 m=0. (2)若复平面内对应点位于一、三象限,则 2m(4- m2)>0,解得 m<-2 或 0<m<2. (3)若对应点位于以原点为圆心,4 为半径的圆上, 则 4m2+(4-m2)2=4 即 m4-4m2=0,解得 m=0 或 m=± 2. 16.已知 z1=x2+ x2+1i,z2=(x2+a)i,对于任意的 x∈R,均 有|z1|>|z2|成立,试求实数 a 的取值范围. [解析] |z1|= x4+x2+1,|z2|=|x2+a| 因为|z1|>|z2|,所以 x4+x2+1>|x2+a| ?x4+x2+1>(x2+a)2?(1-2a)x2+(1-a2)>0 恒成立.

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? ?1-2a>0 不等式等价于 1-2a=0 或? 2 ?Δ=-4(1-2a)(1-a )<0 ?

1 解得-1<a≤2 1? ? 所以 a 的取值范围为?-1,2?.
? ?

17.已知 z1=cosθ+isin2θ,z2= 3sinθ+icosθ,当 θ 为何值时 (1)z1=z2; (2)z1,z2 对应点关于 x 轴对称; (3)|z2|< 2.
? ?cosθ= 3sinθ [解析] (1)z1=z2?? ?sin2θ=cosθ ?

?tanθ= 3 3 ?? ?2sinθcosθ=cosθ

π ?θ=2kπ+6(k∈Z).

(2)z1 与 z2 对应点关于 x 轴对称

?θ=kπ+ (k∈Z) ?cosθ= 3sinθ ? 6 ?? ?? ?sin2θ=-cosθ ?
7 ?θ=2kπ+6π(k∈Z). (3)|z2|< 2? ( 3sinθ)2+cos2θ< 2 1 ?3sin2θ+cos2θ<2?sin2θ<2 π π ?kπ-4<θ<kπ+4(k∈Z).

π

?2sinθcosθ=-cosθ

1 3 18.已知复数 z1= 3-i 及 z2=-2+ 2 i. (1)求| z1 |及| z2 |的值并比较大小;
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(2)设 z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的轨迹是什么图形? [解析] (1)| z1 |=| 3+i|= ( 3)2+12=2
? 1 3? | z2 |=?- - i?=1.∴| z1 |>| z2 |. 2 ? ? 2

(2)由|z2|≤|z|≤|z1|,得 1≤|z|≤2. 因为|z|≥1 表示圆|z|=1 外部所有点组成的集合. |z|≤2 表示圆|z|=2 内部所有点组成的集合,

∴1≤|z|≤2 表示如图所示的圆环.

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