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北京市海淀区2013届高三一模(数学文)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2 至 4 页, 共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡及答题纸上,在试卷上作答无效。 考试结束,将本试卷、答题卡、答题纸一并交回。

第 I 卷(选择题共 40 分)


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中。选出符 合题目要求的一项. 1.在复平面内,复数 i(1-i) ( i 是虚数单位)对应的点位于 A.第一象限
o o

B.第二象限
o o

C.第三象限

D.第四象限

2. sin 75 cos30 ? cos 75 sin 30 的值为

A.1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

3.已知向量 a , b ,则“ a // b ”是“ a ? b =0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 A.

S3 S 2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差是 3 2
D.3

1 2

B.1

C.2

5.在同一坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图像,可能正确的是

6.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三 棱柱的左视图的面积为 A. 6 3 C. 8 3 B.8 D.12

7.给出下列四个命题: ①若集合 A,B 满足 A ? B ? A ,则 A ? B ; ②给定命题 p, q ,若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真; ③设 a, b, m ? R, 若 a ? b ,则 am ? bm ;
2 2

④若直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 1 。 其中正确命题的个数是 A.1 B.2

C.3

D.4

8.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a , b 是实数) ,且 ?AOB 是直 角三角形(O 是坐标原点) ,则点 P (a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为 A. 2 ? 1 B.2 C. 2 D. 2 ? 1

第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9.若 x ? 0 ,则 y ? x ?

4 的最小值是 x



10.已知动点 P 到定点 (2, 0) 的距离和它到定直线 l : x ? ?2 的距离相等,则点 P 的轨迹方程 为 。

? y ? x, ? 11.已知不等式组 ? y ? ? x ,表示的平面区域的面积为 4,点 P( x, y ) 在所给平面区域内, ?x ? a ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值为 。

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,调查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时 间,绘成频率分布直方图(如图) 。则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时的同学为 人。 13.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 。

14.若点集 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1}, B ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1} 则: (1)点集 P ? {( x, y) | x ? x1 ? 1, y ? y1 ? 1,( x1 , y1 ) ? A} (2)点集 M ? {( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 ,( x1 ? y1 ) ? A,( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区 域的面积为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 如图所示。 (I) (II) 求 f ( x ) 的解析式; 求函数 g ( x) ? f ( x ? 区间 [0,

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图像

?

?
2

) ?f ( x ? ) 在 4 4

?

] 上的最大值及相应的 x 值。

6.(本小题满分 13 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以转动如 图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、10 元、0 元的三部分区域面积相等,假定 指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券。(例如:某顾 客消费了 218 元, 第一次转动获得了 20 元, 第二次获得了 10 元, 则其共获得了 30 元优惠券。 ) 顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. (I)若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?

17. (本小题满分 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 , PA ? 平面 ABCD,
o

点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 (I) 证明: BC ? 平面 AMN; (II) 求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III) 在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM // 平面 ACE;若存在,求出 PE 的长,若不存在,说明 理由。

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ?1 与函数 g ( x) ? a ln x(a ? 0) 。 (I) (II) 若 f ( x ) , g ( x) 的图像在点 (1, 0) 处有公共的切线,求实数 a 的值; 设 F ( x) ? f ( x) ? 2 g ( x) ,求函数 F ( x) 的值。

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (I) (II) 求椭圆 C 的方程; 过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ?AOB 的面积 1

1 3 ,且点 (1, ) 在该椭圆上。 2 2



6 2 ,求圆心在原点 O 且与直线相切的圆的方程。 7

20. (本小题满分 13 分)

?1 ? 2a n , n为偶数 ? 2 ? n ? 2,3, 4,... 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ? ? 1 n ? ? 2a n ?1,为奇数 ?2 ? 2
(I) (II) (III) 求 a3 , a4 , a5 得值; 设 bn ? a2n?1 ? 1, n ? 1, 2,3..., 求证: 数列 {bn } 是等比数列, 并求出其通项公式; 对任意的 m ? 2, m ? N ,在数列 {an } 中是否存在连续 的 2 项构成等差数 ..
*
m

列?若存在,写出这 2 项,并证明这 2 项构成等差数列;若不存在,说明 理由。

m

m

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