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复数乘除法公开课优秀教案


§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
【学习目标】
1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算; 2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题;

【重点难点】
重点:复数代数形式的除法运算. 难点:对复数除法法则的运用.

【学法指导】
复数乘法运算是按照多

项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将 i 换成 ?1 ;除法
2

是乘法的逆运算, 所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得, 但是也可由互为共轭复数的 两个复数的乘积为实数,先将复数的分母实数化,再化简可得,学习时注意体会第二种方法 的优势和本质.

【知识链接】
1.复数 z1 与 z2 的和的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; 2.复数 z1 与 z2 的差的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; 3.复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 4.复数的加法运算满足结合律:

?z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? ;

5.复数 z ? a ? bi?a, b ? R? 的共轭复数为 z ? a ? bi .

【问题探究】
探究一、复数的乘法运算 引导 1:乘法运算规则 设 z1 ? a ? bi 、 z2 ? c ? di ?a, b, c, d ? R ? 是任意两个复数,规定复数的乘法按照以下的法 则进行:

z1 ? z2 ?
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换成-1,并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导 2:试验证复数乘法运算律 (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1
2

(2) ?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? (3) z1 ? ?z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 点拨:两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换成-1,并且把实部与 虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导 1:复数除法定义: 满足 ?c ? di??x ? yi? ? ?a ? bi? 的复数 x ? yi?x, y ? R? 叫复数 a ? bi 除以复数 c ? di 的商,记为: ?a ? bi? ? ?c ? di?或者 引导 2:除法运算规则: 利用 ?c ? di??c ? di? ? c ? d .于是将
2 2
2

a ? bi ?c ? di ? 0? . c ? di

a ? bi 的分母有理化得: c ? di

原式=

a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

点拨: 利用初中我们学习的化简无理分式时, 都是采用的分母有理化思想方法, 而复数 c ? di 与复数 c ? di ,相当于我们初中学习的
2 2

3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理

数,而 ?c ? di??c ? di? ? c ? d 是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数 化法
王新敞
奎屯 新疆

【典例分析】
例 1 计算 ?1 ? 2i ??3 ? 4i ??? 2 ? i ? 引导:可先将前两个复数相乘,再与第三个复数相乘.

点拨:在复数的乘法运算过程中注意将 i 换成-1.

2

例 2 计算: (1) ?3 ? 4i ??3 ? 4i ? ; (2) ?1 ? i ? 引导:按照复数乘法运算展开即可.

2

.

点拨: 注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数, 记住一些特殊形式代数式的运 算结果,便于后续学习的过程中的化简、代换等. 例 3 计算 (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i)
王新敞
奎屯 新疆

引导:可按照复数除法运算方法,先将除式写成分式,再将分母实数化,然后化简即可.

点拨:本题可将除法运算转化为乘法运算,但是相对麻烦,易于采用先将除式写成分式,再 将分母实数化,然后化简的办法,学习时注意体会总结,寻求最佳方法. 例 4 计算

(1 ? 4i)(1 ? i) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

王新敞
奎屯

新疆

引导:可先将分子化简,再按照除法运算方法计算,注意计算的准确性. 点拨:对于混合运算,注意运算顺序,计算准确.

【目标检测】
1.复数 ?

? 2i ? ? 等于( ) ? 1+i ?
B. ?4i C. 2i ) C. 2 ? i ) C. ? 1
2

2

A. 4i 2.设复数 z 满足 A. ?2 ? i

D. ?2i

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( z
B. ?2 ? i
3

D. 2 ? i

?1 3 ? ? 3.复数 ? ? ? 2 2 i ? 的值是( ? ?
A. ? i B. i

D.1

4.已知复数 z 与 ?z ? 2? ? 8i 都是纯虚数,求 z . 提示:复数 z 为纯虚数,故可设 z ? bi ?b ? 0? ,再代入求解即可.

5*.(1)试求 i1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i 7 , i 8 的值. (2)由(1)推测 i n n ? N * 的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来. 提示:通过计算,观察计算结果,发现规律.

?

?

【总结提升】 复数的乘法和除法运算是复数的基本运算, 在学习时注意运算法则和方法, 在乘法运算中注 意把 i 换成-1,在除法运算中注意方法的本质依据,计算时注意准确性. 【总结反思】 知识 . 重点 . 能力与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
2

2011 年训练试题
i 2. (浙江理 2) 把复数 z 的共轭复数记作 z , 为虚数单位, z ? 1 ? i , 1 ?)z ? z ? 若 则(
3. (天津理 1) i 是虚数单位,复数 4. (四川理 2)复数 ?i ? ? .

1 ? 3i ? 1? i




1 i

1 ? 2i ,则复数 z ? i i?2 ? 13. (北京理 2)复数 . 1 ? 2i
9. (江西理 1)若 z ?



6. (全国新课标理 1)复数

2?i ? 1 ? 2i

. . . . .

7. (全国大纲理 1)复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? 12. (广东理 1)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 14. (安徽理 1)设 i 是虚数单位,复数

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a ? 2?i

15. (江苏 3) 设复数 z 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i( i 是虚数单位) 则 z 的实部是 ,


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