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陕西省延安中学2013届高三第一次模拟考试理科数学试卷


陕西省延安中学 2013 届高三第一次模拟考试

数学(理科)试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分) 第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2
A. (2, ??) C. ? 0,1? ? (2, ??)

? , B ? ?y

y ? 3x , x ? 0

D. ? 0,1? ? [2, ??) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设向量 a , b 满足: a ? 1 , b ? 2 , a ? (a ? b ) ? 0 ,则 a 与 b 的夹角是

B. ? 0,1? ? (2, ??)

? ,则 A *B=





(

) A. 30? B. 60? C. 90? ( ) D. 120?

3.下列命题错误的是

A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为”若 x ? 1, 则x 2 ? 3x ? 2 ? 0 B.若命题 p : ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 都有x2 ? x ? 1 ? 0 C.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D. " x ? 2" 是x 2 ? 3 x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件 3 4 ? 4.若 z ? sin ? ? ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan(? ? ) 的值为 5 5 4 ( ) 1 A. ? 7 B. ? C. 7 7

D. ?7 或 ?

1 7

? ?? ? 5.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位后,所得的图象对应的解析式 6 6? ?
为( ) B. y ? cos 2x C. y ? sin(2 x ?

A. y ? sin 2x

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ? ) 6

?

6.由曲线 y ? x2 , y ? x3 围成的封闭图形面积为 A.
1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

7 12

·1·

7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第 一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有 ( ) B.48 种 C.96 种 D.144 种

A.34 种

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 8 . 设 x, y 满 足 约 束 条 件 ? y ? x , 则 的 取 值 范 围 是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
( ) B. ? 2, 6?
2

A. ?1,5?

C. ?3,10? ( ) C. 7 4

D. ?3,11?

9.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点, A, B 是抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 ,则线段 AB 的 中点 M 到 y 轴的距离为 A. 3 4 5 B. 4

D.1

10.已知数列{ an }满足 1 ? log 3 a n ? log 3 a n ?1 (n ? N ? ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则

log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是 3 1 1 A. B. ? 5 5

C. ?5

D. 5

第Ⅱ卷(非选择题, 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。. 把答案填在答题卡相应题号后的横线上. 11.在 (1 ? x3 )(1 ? x)5 的展开式中, x5 的系数是 .

开始 x=1,y=1,z=2

12.今年“3·5”,某报社做了一次关于“什么是新时 代的雷锋精神?”的调查,在 A、B、C、D 四个单位回收 的问卷数依次成等差数列, 共回收 1000 份, 因报道需要, 再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 150 的样本, 若在 B 单位抽 30 份, 则在 D 单位抽取的问卷是 13.执行如右图所示的程序框图,输出的结果 是 . 份. z≤ 10 否 输出 z 结束
·2·

z=x+y y=z x=y 是

(第 13 题图)

14.对于三次函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ,定义 y ? f ' ' ( x) 是函数 y ? f ' ( x) 的导函数。 若方程 f ' ' ( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f (x) 的“拐点”。有同学发 现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这一发现, 1 2 3 2011 1 1 1 对于函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? , g ( 则 ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g( ) 的值 3 2 12 2012 2012 2012 2012 为 . 15.(考生注意:请在下列 A、B、C 三题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评分) A.(不等式选做题)不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的 取值范围为 B B.(几何证明选做题)如右图, AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆
O 相切于点 C , AD ? CE 于点 D ,若圆 O 的面积为 4? , ?ABC ? 30? ,



O A C D E

则 AD 的长为



?? ? C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2, ? ,曲线 C 的方 4? ?
程为 ? ? 2cos ? ? 0 , OA( O 为极点) 则 所在直线被曲线 C 所截弦的长度为 .

三、解答题:本大题有 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; ??? ??? ? ? (2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c .

17.(本小题共 12 分)
甲、 乙两人参加某种选拔测试. 规定每次考试每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测 试, 在备选的 6 道题中, 甲答对其中每道题的概率都是 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

3 , 乙只能答对其中的 3 道题. 答对一题加 10 5

(Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试 的概率.
·3·

18.(本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, ?CD, = 1, PD= 2 , PA PA

E 为 PD 上一点,PE = 2ED.
(Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值;

P

E D C

(Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC?若存在, A 指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
B

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
x ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) (n ? N ? ) x?3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;
(Ⅱ )若数列 ?bn ? 满足 bn ?

3n an an ?1 , 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求证: S n <

1 . 2

20.(本小题共 13 分)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论函数 h( x) ?

a 3 2 ? x ln x , g ( x) ? x ? x ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整 数M ;
1 (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

21.(本题满分 14 分) 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点.

???? ??? ? ①若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率;

·4·

②设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积 的最小值.

延安中学 2013 届高三第一次模拟试题参考答案
一、选择题答案 1-5、CBCAD 二、填空题 11、-9 12、60 6-10、ACDBC 13、13 14、3016.5 15、A.[—1,4] B.1 C. 2

16.(1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,… 2 分 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,∴ sin ? B ? C ? ? 3sin A cos B ,… 4 分 ∴ sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 , cos B ? ∴ 6分
1 3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

??? ??? ? ? 1 (2) BA ? BC ? 2 得 ac cos B ? 2 , cos B ? , ac ? 6. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 由 又 ∴ 。 。 。 。 。 。 。 。 。 3 8分 由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,b ? 2 2 可得 a 2 ? c 2 ? 12 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。。。。。。。。。。。 10 分
∴ ?a ? c? ? 0 , a ? c , a ? c ? 6 . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 即 ∴ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。
2

12 分 17、 设乙的得分为 X ,X 的可能值有 0,10, 20,30 .. . . . . . . . . . . . 解: ...........1 分

P( X ? 0) ?

C33 C6
3

1 ? 20
? 9 20

P( X ? 10) ?

C32C31 C6
C33 C6
3

3

?
1 20

9 20

P( X ? 20) ?

C31C32 C6
3

P( X ? 30) ?

?

. . . . . . . . . . . . . . . 5

分 乙得分的分布列为:
X

0

10

20

30

·5·

P

1 20

9 20

9 20

1 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . 6



EX ? 0 ?

1 9 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 15 20 20 20 20
.............8 .............

所以乙得分的数学期望为 15 分 (2) 乙通过测试的概率为 分

1 9 1 ? ? 20 20 2

............. ............9

3 3 2 81 ? 甲通过测试的概率为( )3 ? C32( )2 . . . . . . . . . . . . . 11 ............. 5 5 5 125
分 甲、乙都没通过测试的概率为(1 ?

1 81 22 ) ? (1 ? )? 2 125 125 22 103 ? 125 125
. . . . . . . . . 12

因此甲、 乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ? 分 18 题参考答案

·6·

或建立坐标系用向量法求解。 (Ⅲ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , (1,1,0), 2 1 , ), AC = 3 3

AE = (0 ,

2 1 , 3 3



设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则

?n ? AC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ,即: ? , 令y = 1 , ? ?n ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
则 n = (- 1,1, - 2 ) 分 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF = ? CP , (0 ? ? ? 1), 使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0. 又因为: BF = BC + CF = (0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ), -------------10

·7·

? BF

? n = ? + 1- ? - 2 ? = 0 , ? ? =

1 , 2 ----------------12

所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC. 分 19.解:(Ⅰ)由已知: an?1 ?
? 1 a n ?1 ?

an 1 3 ? ? ? 1. an ? 3 an?1 an
, .......... ........ 分 2 .......... 3分 ....... .......... ........ 分 6
...........8分

1 1 1 1 1 3 ? 3( ? ),并且 ? ? 2 an 2 a1 2 2

? 1 1? 3 ? 数列? ? ?为以 为首项, 3为公比的等比数列, 2 ? an 2 ? 1 1 3 2 ? ? ? ? 3 n ?1 ,? a n ? n . an 2 2 3 ?1
(Ⅱ)bn ? 2 ? 3n (3 ? 1)(3 ? 1)
n
n?1

?

1 1 ? 3n ? 1 3n?1 ? 1

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? n ? ? ? ? ...........12分 3 ? 1 32 ? 1 3 ? 1 3n?1 ? 1 2 3n ?1 ? 1 2

20. 【解】(Ⅰ) h( x) ? 分

a 2a 1 x 2 ? 2a , ? ln x , h?( x) ? ? 3 ? ? x x2 x x3

.......1

① a ? 0,h? x) ? 0 , 函数 h( x)在(0, ??)上单调递增 ( 分 ② a ? 0 , h? x) ? 0, x ? (
h? x) ? 0,0 ? x ? (

.. . . . . . . 2 . . . . .. . .

2a ,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a , ??) .....3 分

2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )

..........4

分 (Ⅱ)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,................5 分
2 考察 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) , 3 分 2 2 2 x 0 (0, ) ( , 2] 2 3 3 3
·8·

. . . . . . . . . . . . . . . 6

g '( x)
g ( x)

0

?
递减

0
极 (最) 小值 ? 85
27

?
递增
1

?3

.................8 分 由上表可知: g ( x) min ? g ( 2 ) ? ? 85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 ,
3 27 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 112 , 27

. . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ........

分 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; 分
1 a (Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? ? x ln x ? 1 恒成立 2 x

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 分 记 h( x) ? x ? x 2 ln x ,所以 a ? hmax ( x)
h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h '(1) ? 0 。

...........11

1 记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 2 1 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 2

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 (1, 2] 上递减,
x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1

. . . . . . . . . 12 . . . . . . . . .

分 所以 a ? 1 。 分 另解 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2 ln x ,
·9·

. . . . . . . . . 13 ... .. ... .

1 由于 x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2 ln x ? 0 , 2 1 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 2 1 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 2 1 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 2

在区间 (1, 2] 上递减, 分 所以 h( x) max ? h(1) ? 1 , 所以 a ? 1 。 分 21 题答案

. . . . . . . . . 12 .........

. . . . . . . . 13 ........

..............10 分

...............13 分
·10·

.........14 分

·11·


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