tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高中教育 >>

浙江省湖州市菱湖中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷(文科)【解析】


2014-2015 学年浙江省湖州市菱湖中学高二 (上) 10 月月考数学 试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.空间四点最多可确定平面的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



2.已知直线 a∥平面α,直线 b? 平面α,则( ) A. a∥b B. a 与 b 异面 C. a 与 b 相交 D. a 与 b 无公共点 3.若直线 l 不平行于平面α,且 l? α,则( ) A. α内存在直线与 l 异面 B. α内存在与 l 平行的直线 C. α内存在唯一的直线与 l 平行 D. α内的直线与 l 都相交 4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π 5.已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 则原△ABC 的面积为( )21cnjy.com A. a B.
2

a 的正三角形,

a C.

2

a D.

2

a

2

6.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面α,β平行的是( A. m,n 是平面α内两条直线,且 m∥β,n∥β B. α内不共线的三点到β的距离相等 C. α,β都垂直于平面γ D. m,n 是两条异面直线, m? α,n? β,且 m∥β,n∥α 7.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为( )



1

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 将正三棱柱截去三个角如图 1 所示 A、 B、 C 分别是△GHI 三边的中点, 得到几何体如图 2, 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为( ) 21*cnjy*com

A.

B.

C.

21 世纪教育网 D. )

9.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面积与全面积之比为( A. B. C. D.

10.如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且 AB∥CD,正方体的六个面 所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 11.棱柱至少有 个面,面数最少的一个棱锥有

个顶点.

12.一个球的体积为

,则此球的表面积为



13.圆锥表面积为πa,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面半径为



2

14.若直线 a∥b,a∥平面α,则直线 b 与平面α的位置关系是 15.一个体积为 为 .



的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积

16.球面上有四个点 P、A、B、C,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1,则该球的 表面积是 . 17.a∥α,α与β相交,则 a 与β的位置关系是 .

18.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 21·cn·jy·com

三、解答题(共 68 分) 19.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ABC 绕直线 BC 旋转 一周得到一个旋转体. 【来源:21·世纪·教育·网】 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

3

20.已知几何体由正方体和直三棱柱组成,其三视图和直观图(单位:cm)如图所示.设两 条异面直线 A1Q 和 PD 所成的角为θ,求 cosθ的值.

21.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小.

22.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, 且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1 (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 C﹣MAD 的体积.

4

2014-2015 学年浙江省湖州市菱湖中学高二(上)10 月 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.空间四点最多可确定平面的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



考点: 构成空间几何体的基本元素. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 空间四点确定的直线的位置关系进行分类:空间四点确定的两条直线平行或有且只 有三点共线;四点确定的两条直线异面;空间四点在一条直线,故可得结论. 解答: 解:根据题意知,空间四点确定的直线的位置关系有三种: ①当空间四点确定的两条直线平行或有且只有三点共线时,则四个点确定 1 个平面; ②当四点确定的两条直线异面时,四点不共面,如三棱锥的顶点和底面上的顶点,则四个点 确定 4 个平面. ②当空间四点在一条直线上时,可确定 0 个平面. 故空间四点最多可确定 4 个平面. 故选:D 点评: 本题的考点是平面的基本性质及推论,主要利用平面的基本性质进行判断,考查分 类讨论的数学思想,考查空间想象能力.21 教育名师原创作品 2.已知直线 a∥平面α,直线 b? 平面α,则( ) A. a∥b B. a 与 b 异面 C. a 与 b 相交 D. a 与 b 无公共点 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据空间直线与平面平行的定义,判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置 关系,从而判定答案.21*cnjy*com 解答: 解:∵a∥平面α,b? α,∴直线 a 与直线 b 的位置关系是:a∥b 或 a 与 b 异面, ∴选项 A、B、C 错误,D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线与平面之间的位置关系. 3.若直线 l 不平行于平面α,且 l? α,则( ) A. α内存在直线与 l 异面 B. α内存在与 l 平行的直线 C. α内存在唯一的直线与 l 平行 D. α内的直线与 l 都相交 考点: 直线与平面平行的性质;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离.

5

分析: 根据线面关系的定义,我们根据已知中直线 l 不平行于平面α,且 l? α,判断出 直线 l 与α的关系,利用直线与平面相交的定义,我们逐一分析四个答案,即可得到结论. 解答: 解:直线 l 不平行于平面α,且 l? α, 则 l 与α相交 l 与α内的直线可能相交,也可能异面,但不可能平行 故 B,C,D 错误 故选 A 点评: 本题考查线线、线面位置关系的判定,考查逻辑推理能力和空间想象能力.其中利 用已知判断出直线 l 与α的关系是解答本题的关键. 4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计 算出组合体的体积选出正确选项 解答: 解:由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是 3,圆锥底面圆的半 径是 3,圆锥母线长为 5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为 4, 则它的体积 V=V 圆锥+V 半球体= =30π

故选 C 点评: 本题考查由三视图求体积,解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的 数据,熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键 5.已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 则原△ABC 的面积为( ) A. a B.
2

a 的正三角形,

a C.

2

a D.

2

a

2

考点: 斜二测法画直观图;三角形的面积公式;平面图形的直观图. 专题: 计算题;作图题. 分析: 根据斜二测法画直观图的步骤,把给出的直观图还原回原图形,然后直接利用三角 形的面积公式求解.

6

解答: 解:把边长为 a 的正三角形 A B C 还原回原三角形如图, ′ ′ ′ ′ ′ ′ 过 C 作 C D 垂直于 x 轴于 D,因为△A B C 是边长为 a 的正三角形, 所以 过 C 作 C E 平行于 x 轴交 y 轴于 E,则 所以,C 对应的原图形中的点 C 在平面直角坐标系 xoy 下的坐标为 即原三角形 ABC 底边 AB 上的高为 , 所以, 故选 D. .
′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′

, , ,

点评: 本题考查了斜二测画直观图的方法,运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观 图时, 在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或在坐标 轴上, 平行于 x 轴或在 x 轴上的长度不变, 平行于 y 轴或在 y 轴上的, 长度变为原来的一半, 该类问题有个二级结论, 即原平面图形的面积和其直观图的面积比为 , 此题是基础题. 【来
源:21cnj*y.co*m】

6.α,β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面α,β平行的是( A. m,n 是平面α内两条直线,且 m∥β,n∥β B. α内不共线的三点到β的距离相等 C. α,β都垂直于平面γ D. m,n 是两条异面直线,m? α,n? β,且 m∥β,n∥α



考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: A:根据面面平行的判定定理可得:α∥β或者α与β相交.B:根据面面得位置关 系可得: α∥β或者α与β相交. C: 则根据面面得位置关系可得: α∥β或者α与β相交. D: 在直线 n 上取一点 Q,过点 Q 作直线 m 的平行线 m′,所以 m′与 n 是两条相交直线,m′? β,n? β,且 m′∥β,n∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β. 解答: 解:A:若 m,n 是平面α内两条直线,且 m∥β,n∥β,则根据面面平行的判定定 理可得:α∥β或者α与β相交.所以 A 错误.

7

B:若α内不共线的三点到β的距离相等,则根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β 相交.所以 B 错误. C:若α,β都垂直于平面γ,则根据面面得位置关系可得:α∥β或者α与β相交.所以 C 错误. D: 在直线 n 上取一点 Q, 过点 Q 作直线 m 的平行线 m′, 所以 m′与 n 是两条相交直线, m′ ? β,n? β,且 m′∥β,n∥α,根据面面平行的判定定理可得α∥β,所以 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查平面与平面平行的判定与性质, 考查学生严密的思维能力和空间想象能力. 7.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,由 D1C∥A1B,知∠DA1B 是异面直线 A1D 与 D1C 所成的角, 由此能求出结果. 解答: 解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵D1C∥A1B, ∴∠DA1B 是异面直线 A1D 与 D1C 所成的角, ∵A1D=A1B=BD, ∴△A1BD 是等边三角形, ∴∠DA1B=60°, ∴异面直线 A1D 与 D1C 所成的角是 60°. 故选:C. 点评: 本题考查异面直线所成的角的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 8. 将正三棱柱截去三个角如图 1 所示 A、 B、 C 分别是△GHI 三边的中点, 得到几何体如图 2, 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为( )

8

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 因为光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图叫做几何体的侧视图.据此我 们可以过 D 作一个平面与 ED 垂直,可知 ED、HG、CB 在此平面上的正射影为一个点,进而由 图 1 和图 2 可知图 2 的侧视图应是一个直角梯形,其上底是△ABC 的边 BC 上的高,下底为 △DEF 的边 DE 上的高,直角腰为△AED 的边 ED 上的高,根据以上分析可得出答案. 解答: 解:由图 1 和图 2 可知图 2 的侧视图应是一个直角梯形,其上底是△ABC 的边 BC 上的高,下底为△DEF 的边 DE 上的高,直角腰为△AED 的边 ED 上的高,故侧视图为 A. 故选 A. 点评: 理解侧视图的定义及正投影的含义是解决问题的关键. 9.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面积与全面积之比为( A. B. C. D. )

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 可得答案. 解答: 解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h, 则 则 , , , , ,进而求出圆柱的侧面积与全面积,

则 S 侧=2πr? h= S 全=

故圆柱的侧面积与全面积之比为



故选 B. 点评: 本题考查的知识点是旋转体,圆柱的侧面积与全面积,其中根据已知分析出圆柱的 底面半径 r,高 h,满足 ,是解答的关键. 10.如果,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且 AB∥CD,正方体的六个面 所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=( )

9

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 判断 CE 与 EF 与正方体表面的关系, 即可推出正方体的六个面所在的平面与直线 CE, EF 相交的平面个数分别记为 m,n,求出 m+n 的值. 解答: 解:由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四 个侧面不平行,所以 m=4, 直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行, 与正方体的上下底面相交, 前后侧面相交, 所以 n=4, 所以 m+n=8. 故选 A. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力. 二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 11.棱柱至少有 5 个面,面数最少的一个棱锥有 4 个顶点. 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 常规题型;空间位置关系与距离. 分析: 棱柱有两个底面,至少有三个侧面,故至少有 5 个面,棱锥至少有 4 个面,即三棱 锥. 解答: 解:棱柱有两个底面,至少有三个侧面,故至少有 5 个面, 棱锥至少有 4 个面,即三棱锥,此时有 4 个顶点. 故答案为:5,4. 点评: 本题考查了棱柱与棱锥的结构特征,属于基础题.

12.一个球的体积为

,则此球的表面积为 4π .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据球的体积公式,可算出球的半径 R=1,再结合球的表面积公式即可算出该球的 表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,则 ∵球的体积为 ∴ ×R =
3

, ,解之得 R=1
2

由此可得球的表面积为 S=4πR =4π 故答案为:4π

10

点评: 本题给出球的体积,求它的表面积,着重考查了球的表面积、体积公式及其应用的 知识,属于基础题.

13.圆锥表面积为πa,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面半径为



考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设出圆锥的底面半径,由它的侧面展开图是一个半圆,分析出母线与半径的关系, 结合圆锥的表面积为πa,构造方程,可求出半径.2·1·c·n·j·y 解答: 解:设圆锥的底面的半径为 r,圆锥的母线为 l, 则由πl=2πr 得 l=2r,
[来源:21 世纪教育网]

而 S=πr +πr? 2r=3πr =πa 故r= 解得 r= 故答案为: . .
2

2

2

点评: 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住 两者之间的两个对应关系: (1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径; (2)圆锥的底面 周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键. 14.若直线 a∥b,a∥平面α,则直线 b 与平面α的位置关系是 b? α或 b∥α . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系. 解答: 解:∵a∥b,∴a 与 b 可以确定平面β. 若β∥α,则 b∥β; 若α∩β=l,∵a∥平面α,∴a∥l.取 l 为 b,则 b? α. 故答案为 b? α或 b∥α. 点评: 熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理是解题的关键. 15.一个体积为 . 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为

11

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 此几何体是一个正三棱柱,正视图即内侧面,底面正三角形的高是 ,由正三角 形的性质可以求出其边长,由于本题中体积已知,故可设出棱柱的高,利用体积公式建立起 关于高的方程求高,再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可. 解答: 解:设棱柱的高为 h, 由左视图知,底面正三角形的高是 ,由正三角形的性质知,其边长是 4,故底面三角形 的面积是 =4

由于其体积为 ,故有 h× = ,得 h=3 由三视图的定义知, 侧视图的宽即此三棱柱的高, 故侧视图的宽是 3, 其面积为 3× = 故答案为: 点评: 本题考点是简单空间图形的三视图,考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能 力以及利用体积公式建立方程求参数的能力,三视图的投影规则是: “主视、俯视 长对正; 主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等” .三视图是高考的新增内容,不时出现在高考试题 中,应予以重视.21·世纪*教育网 16.球面上有四个点 P、A、B、C,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1,则该球的 表面积是 3π . 【版权所有:21 教育】 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,分别以 PA、PB、PC 为长、宽、高作出正方体,求出该正方体的外接球表 面积,即为本题所求表面积. 【出处:21 教育名师】 解答: 解:∵PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1, ∴分别以 PA、PB、PC 为长、宽、高,作出正方体 设所得正方体的外接球为球 O,则 P、A、B、C 四点所在的球面就是球 O 表面 就是正方体的对角线长等于球 O 的直径 即 2R= =
2

,得 R= ) =3π
2

∴球 O 的表面积为 S=4πR =4π(

故答案为:3π 点评: 本题给出两两垂直且相等的线段 PA、PB、PC,求则 P、A、B、C 四点所在的球的表 面积,着重考查了球内接多面体和球的表面积公式等知识,属于基础题. 17.a∥α,α与β相交,则 a 与β的位置关系是 平行、包含、相交 . 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 以正方体为载体,利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AA1∥平面 BCC1B1,平面 BCC1B1∩平面 CDD1C1=CC1,

12

AA1∥平面平面 CDD1C1; AA1∥平面 BCC1B1,平面 BCC1B1∩平面 ABB1A1=BB1, AA1? 平面 ABB1A1; AA1∥平面 BCC1B1,平面 BCC1B1∩平面 ABCD=BC, AA1 与平面 ABCD 相交. ∴a∥α,α与β相交, a 与β的位置关系为平行、包含、相交. 故答案为:平行、包含、相交.

点评: 本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要注意空间思维 能力的培养. 18.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ①④ 2-1-c-n-j-y

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 分别根据平面 MNP 的位置确定直线 AB 是否与平面平行. 解答: 解:①连结 BC,则平面 ABC∥平面 MNP,所以 AB∥平面 MNP.所以①正确. ②取底面正方形对角线的中点 O,则 ON∥AB,所以 AB 与面 PMN 相交,不平行,所以②不合 适. ③AB 与面 PMN 相交,不平行,所以③不合适. ④因为 AB∥NP,所以 AB∥平面 MNP.所以④正确. 故答案为:①④.

13

点评: 本题主要考查线面平行的判定,利用线面平行的判定,只要直线 AB 平行于平面 MNP 内的一条直线即可.21 世纪教育网版权所有 三、解答题(共 68 分) 19.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M,与 BC 交于点 N) ,将△ABC 绕直线 BC 旋转 一周得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据旋转体的轴截面图,利用平面几何知识求得球的半径与 AC 长,再利用面积公式 与体积公式计算即可. 解答: 解: (1)连接 OM,则 OM⊥AB

设 OM=r,OB=
2

﹣r,在△BMO 中,sin∠ABC=

= ? r=

∴S=4πr = π. (2)∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC= ∴V=V 圆锥﹣V 球= π×AC ×BC﹣ πr = π×
2 3

,∴AC=1. =
2

﹣ π×

π.
3

点评: 本题考查旋转体的表面积与体积的计算.S 球=4πr ;V 圆锥= πr .

14

20.已知几何体由正方体和直三棱柱组成,其三视图和直观图(单位:cm)如图所示.设两 条异面直线 A1Q 和 PD 所成的角为θ,求 cosθ的值.www-2-1-cnjy-com

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由 PQ∥CD,且 PQ=CD,知 PD∥QC,得∠A1QC 为异面直线 A1Q、PD 所成的角(或其补 角) .由此能求出两条异面直线 A1Q 和 PD 所成的角的大小. 解答: 解:由 PQ∥CD,且 PQ=CD,知 PD∥QC, 故∠A1QC 为异面直线 A1Q、PD 所成的角(或其补角) . 由题设知 , 取 BC 中点 E,则 QE⊥BC,且 QE=3, QC =QE +EC =3 +1 =10. 由余弦定理, 得 = . .
2 2 2 2 2



∴两条异面直线 A1Q 和 PD 所成的角θ=arccos

点评: 本题考查两条异面直线所成角的大小的标法,是中档题,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养. 21.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点.

15

(1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小.

考点: 直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)设 BC1 与 CB1 交于点 O,连接 OD,利用三角形中位线性质,证明 OD∥AC1,利用 线面平行的判定,可得 AC1∥平面 CDB1.21 教育网 (Ⅱ)因为 AC∥A1C1,得到异面直线 AC 与 BC1 所成角为∠BC1A1,通过勾股定理的逆定理可 求为 90°. 解答: (I)证明:设 BC1 与 CB1 交于点 O,则 O 为 BC1 的中点.

在△ABC1 中,连接 OD,∵D,O 分别为 AB,BC1 的中点, ∴OD 为△ABC1 的中位线, ∴OD∥AC1, 又 AC1? 平面 CDB1,OD? 平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (Ⅱ)解:∵AC∥A1C1, ∴异面直线 AC 与 BC1 所成的角为∠BC1A1, ∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 2 2 2 2 2 2 2 ∴A1B =AA1 +AB =41,BC1 =CC1 +BC =32,A1C1 =9, 2 2 2 ∴A1B =BC1 +A1C1 , ∴∠A1C1B=90°, ∴异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小为 90°. 点评: 本题考查了直三棱柱中的线面关系以及线线关系, 熟练直棱柱的性质是解答的关键. 22.如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,

16

且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1 (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 C﹣MAD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面平行的判定定理证明; (2) 利用勾股定理证明 BC⊥AC, 由 PA⊥平面 ABCD, 可得 PA⊥BC. 从而可证得 BC⊥平面 PAC:
www.21-cn-jy.com

(3)在直角梯形 ABCD 中, 过 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边形 ADCE 为矩形,AE=DC,AD=EC. 求 得 CE, 计算△ACD 的面积,根据 M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半,求得棱锥的高, 代入体积公式计算. 解答: 解: (1)∵底面 ABCD 是直角梯形,且∠DAB=90°,∠ABC=45°, ∴AB∥CD, 又 AB? 平面 PCD,CD? 平面 PCD, ∴AB∥平面 PCD. (2)∵∠ABC=45°,CB= ,AB=2, ∴AC =AB +BC ﹣2AB? BC? cos45°= 则 AC +BC =AB ,∴BC⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (3)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥AB 于点 E, 则四边形 ADCE 为矩形,∴AE=DC,AD=EC. 在 Rt△CEB 中,可得 BE=BC? cos45°= CE=BC? sin45°= ∴S△ADC= = ,
2 2 2 2 2 2

=2.

,∴AE=AB﹣BE=2﹣1=1 = . ,

∵M 是 PC 的中点,∴M 到平面 ADC 的距离是 P 到平面 ADC 距离的一半, ∴VC﹣MAD=VM﹣ACD= ×S△ACD×( PA)= × × = .

17

点评: 本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判断,考查了三棱锥的换底性及棱锥的体 积公式,涉及知识较多,对学生的推理论证能力有一定的要求.

18

19



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com