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函数的值域及其求法


函数值域及其求法
一 相关概念 1、值域:函数 y ?

f ( x),x ? A ,我们把函数值的集合 { f ( x) / x ? A} 称为函数的值域。

2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域中存在一个 最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其实质是相

同的,只是提 问不同而已。 二 确定函数值域的原则 1、当函数 y ? f ( x) 用表格给出时,函数的值域指表格中实数 y 的集合; x y=f(x) 则值域为{1,2,3,4} 2、数 y ? f ( x) 的图像给出时,函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合; 3、数 y ? f ( x) 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; 4、由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域 1、一次函数 y ? kx ? b(a ? 0) 的值域为 R; 2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;
a ? 0时, 值域是[ 4ac ? b 2 4ac ? b 2 3、反比例函数 k ,? ?); a ? 0时, 值域是(??, ] y ? ( k ? 0) 的值域为 4a 4a x

0 1

1 2

2 3

3 4

x { y / y ? 0} ;4、数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的值域为 { y / y ? 0} ;5、对数函数

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的值域为 R。6,函数 y=sinx、y=cosx 的值域是 ?? 1,1?
四 求函数值域的方法 1、观察法: “直线类,反比例函数类”用此方法; 2、配方法.:“二次函数”用配方法求值域; 例 1. 求函数y ? 3x 2 ? x ? 2

x ? (?3,5] 的值域;

1 23 解: 求函数 y ? 3 x 2 ? x ? 2=3( x ? ) 2 ? 6 12

画出图像(图略)从图可知, x ? 1 时,y
6

min

?

23 ; x ? 5时,y 12

max

? 3(5 ?

1 2 23 ) ? ? 72. 6 12

所以此函数的值域为 [ 例 2. 求 函数y 解:设 ?

23 ,72 ] . 12

?

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域;

? ? x 2 ? 6 x ? 5,则? ? 0; ? ? ? x 2 ? 6x ? 5 ? ?( x ? 3) 2 ? 4 ? 4;
? ?[0, 2],?值域为 [0, 2].

又? ? 0, ?0 ? ? ? 4.

3、换元法: 形如 y ? ax ? b ? cx ? d (a、b、c、d为常数, 且a ? 0)的函数 ; 常用换元法求值域 例 3. 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域

解:设 t ? 1 ? x ? 0则x ? 1 ? t 2 ,? y ? ?2t ? 4t ? 2 ? ?2(t ?1) ? 4 ? 4 , ?值域为 ?? ?, 4? .
2 2
2 4、判别式法:形如 y ? a1 x ? b1 x ? c1 (a1,a2不同时为零)的函数用判别式法求值 域; 2 a2 x ? b2 x ? c2

例 4 求函数 y ? x ?

1 的值域; x
要上面的方程有实数根, ? ? (? y) 2 ? 4 ? 1 ? 1 ? y 2 ? 4 ? 0

2 解: y ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 2 ? yx ? 1 ? 0

x

x

求出 y ? 2或y ? ?1,所以函数的值域为 (??,

? 2] ? [2, ? ?).

5、反函数法:直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 cx ? d 3 x ? 4 值域。 形如 y ? ( a ? 0) 的函数用反函数法求值域;例 求函数 y= ax ? b 5x ? 6

cx ? d (a ? 0) 的函数也可用此法求值域; ax ? b 3x ? 1 例 5 求函数 y ? 的值域; x ?2
6、分离常数法:形如 y ? 解:方法一: (反函数法)求出函数 y ? 所以原函数的值域为 { y / y ? R且y ? 3} 方法二: (分离常数法)? y ?
?

2x ? 1 3x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x / x ? R且x ? 3}, x?3 x?2

3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 ? ?3? , x?2 x?2 x?2

3x ? 1 7 7 的值域为{ y / y ? R且y ? 3}. ? 0, ? 3 ? ? 3. ? y ? x?2 x?2 x?2

7、函数有界性法 (通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容) 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就
x 是三角函数的单调性。例 求函数 y= e ? 1 , y ? 2 sin ? ? 1 ,的值域 x 1 ? sin ? e ?1

8、数形结合法。例 6 求函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | 的值域 (方法一可用到图象法) 方法二: (单调性)

时, y ? 2 x ? 3为增函数 x ? ?4时, y ? ?2 x ? 3为减函数? y ? ?2 ? (?4) ? 3 ? 5; 当x ? 1

? y ? 2 ? 1 ? 3 ? 5;

当 ? 4 ? x ? 1时,y ? 5; 所以此函数的值域为 ?5, ?

??

注:不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。 一.回顾与应用 1.若函数 y=f(x)的值域是[-2,3],则函数 y=∣f(x)∣的值域是 A.[-2,3] B.[2,3] C.[0,2] D.[0,3] 2.函数 y=log0.3(x2+4x+5)的值域是 . 3.函数 f ( x) ?





? 4 x 2 ? 4 x ? 8 的值域为

. ( )

4.定义域为 R 的函数 y = f(x)的值域为[a,b],则 f(x+a)的值域为 A.[2a,a+b] B.[0,b-a] C.[a,b] D.[-a,a+b] 5.若函数 f(x)= 2 log1 x 的值域是[-1,1],则函数 f –1(x)的值域是(
2



2

A

[

2 , 2] 2

B

[-1,1]

C

1 [ ,2] 2

D

(??,

2 ] ? [ 2 ,??) 2
( )

6.函数 y=x+ 2x-1的值域是 1 1 A.{y|y≥ } B.{y|y≤ } 2 2 二.题型举例 1.求下列函数的值域: (1) y ?

C.{y|y≥0}

D.{y|y≤0}

x2 ? x x2 ? x ?1

(2) y ? x ? 1 ? 2 x

2.已知 x1、x2 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k ? R)的两个实根,求 x12+x22 的最大值。

3.已知函数 y ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R. (1) 求实数 m 的取值范围。 (2)当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求 f(m)的值域。

三.课后练习 1.函数 y ?

2.函数 y=-x(x+2)(x ? 0)的反函数的定义域是
2 2

3? x 的值域是 2x ? 5

; .函数 y ?

3? x ( x ? 0) 的值域是 2x ? 5
。 )



3.若函数 y ? log 1 ( x ? 2kx ? k ) 的值域为 R,则 k 的取值范围是( A 0<k<1 B 0 ? k<1 C k?0 或 k?1 D

k=0 或 k ? 1 )

4.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为 [ ? A

(0,4]

B

3 [ ,4] 2

C
y?

3 [ ,3] 2
ex ?1 ex ?1

25 ,?4] ,则 m 的取值范围是( 4 3 ( ,?? ) D 2

5.求下列函数的值域: (1) 6.若函数 y ?

(2) y ? x ? 4 2 ? x

1 2 3 x ? x ? 的定义域和值域都是[1,b](b>1),求 b 的值。 2 2
3

7.已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a>1)。 (1)求 f(x)的值域。 (2)若 x ? [-2,1]时,函数的最小值为-7,求 a 及 f(x)的最大值。

答案参考

1.D

2. (??,0] 3. [0,3 ] 4. C 5. A 提示:反函数的值域是原函数的定义域;令 6.A

? 1 ? 2 log1 x ? 1 ,求 x。
2

二.1.求下列函数的值域:

1 2 3 3 1 1 4 ,而 ( x ? ) ? ? ,所以 0 ? ? 1 3 1 3 3 2 4 4 (x ? )2 ? (x ? )2 ? 2 4 2 4 1 1 1 ? ? 1? ? 1 ; 所以函数的值域是 [ ? ,1) 1 3 3 3 (x ? )2 ? 2 4 1 1 1 (2) y ? ? (1 ? 2 x) ? 1 ? 2 x ? ? ? [(1 ? 2 x) ? 2 1 ? 2 x ? 1] ? 1 2 2 2 1 1 1 1 2 = ? ( 1 ? 2 x ? 1) ? 1 ? ? ? 1 ? ,所以函数的值域是 (?? , ] 。 2 2 2 2 4 2. 解:令 ? =(k-2)2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-16 ? 0,得 ? 4 ? k ? ? 。 3
解: (1) y ? 1 ? x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19 因 为

?4? k ? ?

4 3

,所以

121 ;-(k+5)2+19 ? 19-1=18。 故 x12+x22 的最大值是 18。 9 3. 解: (1) m=0 满足条件。当 m ? 0 时,令 1 ? ( k ? 5) 2 ?
m?0 ? ? 2 ?36m ? 4m(m ? 8) ? 0
解得 0<m ? 1,所以 m 的取值范围是[0,1]。

(2) y ? m( x 2 ? 6 x ? 9) ? 8 ? 8m ? m( x ? 3) 2 ? 8 ? 8m 所以 f(m)= 8 ? 8m (0 ? m ? 1) ; 0 ? f (m) ? 2 2 。故 f(m)的值域为[0,2 2 ]。 三.课后练习 1 3 1 1. { y | y ? R, y ? ? } ( ? , ] 2. (??,0] 3. C 4. C 解: f(0)= -4, f( 3 )= ? 25 , f(3)=f(0), 2 5 2 2 4 所以 m ? [ ,3]

3 2

5. 解: (1) y ? 1 ?

2 2 ,0 ? x ? 2 ;所以-1<y<1。即函数的值域是(-1,1) e ?1 e ?1 1? y x 法二:y(ex+1)=ex-1, ex(y-1)= -y-1; e ? ,又 ex>0;从而解得。 1? y
x

(2) y ? ?(2 ? x) ? 4 2 ? x ? 2 ? 6 ? ( 2 ? x ? 2) 2 ? 2 ;函数的值域是 (??,2] 。
4

法二: y ? 1 ?
'

2 2? x

〉0,所以函数 y 是 (??,2] 上的增函数,当 x=2 时,y 有最大值 2,从而得

结论。

1 ( x ? 1) 2 ? 1 ,y 在[1,b]上为增函数,f(1)=1,f(b)=b; 2 1 (b ? 1) 2 ? 1 ? b ;解得:b=1(舍去)、b=3。所以 b=3 所以 2 7.解: (1)f(x)= -(ax+1)2+2<1;所以 f(x)的值域是 (??,1) 。
6.解: y ? (2)f /(x)<0,所以 f(x)为 R 上的减函数,所以 f(1)= -7;即 f(-2)= -(2 –2+1)2+2= -(a+1)2+2= -7;a=2.

7 7 。所以 a=2,f(x)的最大值是 。 16 16
2.D 3. - 4 4. B 5.D 6.B 7. 解析:本题路程 S
0 ? t ? 5, 5 ? t ? 6.5, 6.5 ? t ? 10.5.

必修 1 复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) ----------答案 【你会做哪些】1.π +1

与时间 t 的关系有 3 种情况,应分 3 个时间段处理.答案:

?52t , ? ? S ? ?260, ? ? ?260 ? 65(t ? 6.5),

8. 18

4 或- 6

9. a ? 3 2. A 3. C

10. V= x(a-2 x) 2 {x|0<x<a/2} 4. D 5. B 6. D 7. {x|-1≤x<8} 8. (0, 5] 9. y=

【训练反馈】 1. B
? x,0 ? x ? 1, ? 2 ? x ? 2 x ? 2 ,1 ? x ? 2, ? 2 ? x ? 6 x ? 10,2 ? x ? 3, ? ?4 ? x,3 ? x ? 4.

10.提示:若 k=0,则函数的定义域为 R;若 k≠0,则对任意 x∈R,kx2+4kx+3

3 3 ≠0,从而,△<0,解得 0<k< .从而所求 k 的取值范围为{k|0≤k< }. 4 4 (2)增函数; (3)3<x≤4. 补充专题 1----如何求复合函数的定义域?

12. (1)f(1) =0,f(4)=2;

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定 义 域 是 _____________ 。

?

?

已知 (答: a, ? a ) 复合函数定义域的求法:

?

?

y ? f ( x) 的定义域为 ?m, n? , 求 y ? f ?g ( x)? 的定义域,

可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。 例 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? 1 ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为
? ?2 ? ?



分析:由函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? 1 ,2? 可知: 1 ? x ? 2 ;所以 y ? f (log2 x) 中有
? ?2 ? ?

2

1 ? log 2 x ? 2 。 2

解:依题意知: 1 ? log 2 x ? 2 解之,得
2

2?x?4 ∴

f (log2 x) 的定义域为 ?x | 2 ? x ? 4?

补充专题二-----映射的扩展 【知识在线】 1.对于映射 f:A→B,下列说法正确的是
5





A.A 中某一元素的象可以不止一个 B.B 中某一元素的原象可以不止一个 C.A 中两个不同元素的象必不相同 D.B 中两个不同元素的原象可能相同 2.设集合 A={a,b,c},B={m,n,p},那么从集合 A 到 B 可以建立 个一一映射. 3.已知 A=B=R,x∈A,y∈B,且 f:x→y=ax+b,若 5 和 20 的原象分别是 5 和 10,则 7 在 f 下的象 为 . 4.下列函数中,表示同一函数的是 ( ) A.f(x)=1,g(x)=x°B.f(x)=x+1,g(x)= x2-1 C.f(x)= x -1 x2,g(x)=|x| D.f(x)=x,g(x)=( x)2

【讲练平台】例 1 在对应法则“f”下,给出下列从集合 A 到集合 B 的对应: (1)A=N,B=R,f:x→y=

1 ; (2)A=N,B=Z,f:x→y= (?1) x ; x

(3)A={x∣x 是平面内的三角形},B={y∣y 是平面内的圆},f:x→y 是 x 的外接圆. 其中能构成映射的是( 分析 )A. (1) 、 (2) B. (1) 、 (3) C. ( 2) 、 (3) D. (2)

判断一个对应是不是映射,应紧扣映射的定义,即在对应法则 f 下,对于集合 A 中的任一 元素 ..

在 B 中是否都有唯一 的象. .. 解 在(1)中,元素“0”在 B 中没有象,不满足“任意性” ,故不能构成映射.在(2)中,当 x 为 偶数时,其象为 1;当 x 为奇数时,其象为-1,而 1,-1∈B,即 A 中任一元素在 B 中都有唯一的象. 在(3)中,因为任一三角形都有唯一的外接圆,所以(2) 、 (3)能构成映射.答案选 C. 点评 ①判断一个对应是否能构成映射,应紧扣映射定义.②在课本中,已规定 0 是自然数,忽视了

这一点,将误认为对应(1)是映射.③在映射 f:A→B 中,A、B 的地位是不对等的,它并不要求 B 中元素均有原象,或有原象也未必唯一.一般地,若 A 中元素的象的集合为 C,则 C ? B.如(2)中 除 1,-1 以外的任何元素均无原象, (3)中任一圆的内接三角形都有无数个.④映射中的集合元素的 对象是任意的,可以是数集、点集或其他任意对象,如(3)中的集合对象是几何图形. 变题 设集合 A={x∣x 是平面内的圆},B={y∣y 是平面内的矩形},f:x→y 是 x 的内接矩形.试问它 能否构成映射? 答案:不能

例 2(1999 年全国高考) 已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的 元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意 a∈A,在 B 中和它们对应的元素是|a|,则集合 B 中元 素的个数是 分析 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7

本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解.解本题应抓住:①对应法则 f 是什么?②集合

B 中的具体元素是什么?而②的解决由①来决定. 解 依题意,由 A→B 的对应法则为 f:a→|a|.于是,将集合 A 中的 7 个不同元素分别取绝对值后依 次得 3,2,1,1,2,3,4.由集合元素的互异性可知,B={1,2,3,4},它有 4 个元素,答案选 A. 点评 ①准确理解题目本身所给的信息,捕捉对解题有用的成份,是解决问题的关键. ②不能忽视

集合元素的三大特性在解题中的应用.本能中如果忽视集合元素的互异性,将导致错选 D.
6

例 3 设 A={(x,y)∣x∈R,y∈R }.如果由 A 到 A 的一一映射,使象集合中的元素(y-1,x+2)和原象 集合中的元素(x,y)对应,那么象(3,-4)的原象是 ( )

A. (-5,5) B. (4,-6) C. (2,-2) D. (-6,4) 分析 由象与原象的概念可知,本题中的对应法则是 f:(x,y)→(y-1,x+2),问题即:当点(y-1,x+2)

是(3,-4)时,对应的 x,y 的值分别是多少?于是由
? x ? ?6 ,即象(-3,4)的原象是(-6,4) ?y ?1 ? 3 ,选 D. ?? ? ?y ? 4 ? x ? 2 ? ?4

点评

①已知原象要求象,只需根据对应法则直接代入计算;已知象元素,反求原象,需逆向思考,

通常借助方程思想,通过解方程组来解决.②在映射 f:A→B 中,A 是原象集合,B 是象的集合,对 应法则是 f:原象→象,二者顺序不能颠倒,否则将误选 A;点(x,y)是有序数对,x,y 的顺序不能搞 错,否则将误选 B. 例 4 设 A={x∣0≤x≤2},B={y∣1≤y≤2},图 1 中表示 A 到 B 的函数是

分析

可根据映

射观点下的函数

定义直接求解.首先 C 图中,A 中同一个元素 x(除 x=2)与 B 中两个元素对应,它不是映射,当然更 不是函数;其次,A、B 两图中,A 所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2},而{y∣0≤y≤2}? B={y ∣1≤y≤2},故它们均不能构成函数.从而答案选 D. 点评 函数首先必须是映射,是当集合 A 与 B 均为非空数集时的映射.因此,判断一个对应是否能

构成函数,应判断:①集合 A 与 B 是否为非空数集;②f:A→B 能否为一个映射.另外,函数 f:A →B 中,象的集合 M 叫函数的值域,且 M?B. 【知能集成】1.理解映射的概念,应紧紧抓住映射的两个特性:①任意性;②唯一性.2.判断一个 对应是不是映射或一一映射,应“回到定义去” ;说明一个对应不是映射或一一映射,只须找出一个 反例.3.深化对函数概念的理解,能从函数三要素(定义域、值域与对应法则)的整体上去把握函 数概念.在函数三要素中,定义域和对应法则是函数的核心,两个函数当且仅当二者均相同时才表示 同一个函数,而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件. 【知识在线】1.B 2.6 3. 11 4. C

7


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