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聚焦高考数学中的高观点题


聚焦高考数学中的高观点题
江苏省姜堰中学 张圣官(225500) 所谓高观点题, 是指与高等数学相联系的数学问题, 这样的问题或以高等数学知识为背 景,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能,这类题往往 倍受命题者青睐。近年来的考题中,出现了不少背景新、设问巧的高观点题,成为高考题中 一道亮丽的风景。 下面就以近几年来年全国各地高考题为例, 说

明高观点题的几个主要特征。 1.语言叙述高观点 数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合。有些高考试题中的语言叙述 有浓烈的高等数学色彩。 例 1. (2003 年北京高考第 10 题)某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班 K 名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为 1,2,??,K。规定:同意按“1” ,不 同意(含弃权)按“0” 。令 aij=
1,第 i 号同学同意第 j 号同学当选, 0,第 i 号同学不同意第 j 号同学当选,其中

i=1,2,??,K 且 j=1,

2,??,K,则同时同意第 1,2 号同学当选的人数为( A.a11+a12+??+a1K+a21+a22+??+a2K C.a11a12+ a21a22+??+aK1 aK2



B.a11+a21+??+aK1+a12+a22+??+aK2 D.a11a21+ a12a22+??+a1K a2K

解析:同意第 1 号同学当选有如下同学:a11,a21,a31,??,aK1,同意第 2 号同学当 选有如下同学: a12, a22, a32, ??, aK2, 因而同时同意 1, 2 号同学当选应为 a11a12, a21a22, ??, aK1 aK2,其余值均为 0,故选(C) 。 点评:本题的叙述方式采用了符号语言,既有逻辑语言的特点,又有矩阵语言的特征。 例2. (1998年全国高考第10题)向高为H的水瓶中注水,注满为止, 如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是

解析:思路一,观察注水过程中随着水深 h 的增加注水量 V 的增加的趋势,发现其加 速度逐渐趋小但为正,因而(B)符合;思路二,取 h= 一些,通过分析,只有(B)符合。 点评:本题中对图象语言的翻译,以及其叙述方式都具有高等数学的特征。 2.知识背景高观点 有一些高考试题以中学数学知识为载体, 而设计直接来源于高等数学, 有高等数学的背 景。 例 3. (2003 年全国高考理科第 15 题)如图,一个地区 分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同
-1H 2

,发现注水量 V 比满瓶的一半要大

一颜色。现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有

种。 (以数字作答)

解析:先排 1 区,有 4 种方法,再排 2 区有 3 种方法。如果 3、5 两区同色,则 4 区有 2 种方法, 否则 4 区只剩一种方法。 另外, 3、 5 两区本身还有 2 种选择, 故共有 4· 3 (2+1) · 2=72 种。 点评:本题与 2003 年新课程卷理科 15 题一样,都有图论中“四色定理”的影子。当然 仅仅用加法原理和乘法原理等中学知识就可解决了。 例 4. (2003 年北京高考第 18 题)如图,椭圆的长轴 A1A2 与 x 轴平行,短轴 B1B2 在 y 轴上,中心为 M(0,r) (b>r>0) , (Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率; (Ⅱ)直线 y=K1x 交椭圆于两点 C(x1,y1) 、D(x2,y2) (y2>0) ;直线 y=K2x 交椭圆于两点 G(x3,y3) 、H(x4,y4) (y4>0) ,求证:

K1 x1 x2 K 2 x3 x4 ; ? x1 ? x 2 x3 ? x 4

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C、D、G、H,设 CH 交 x 轴于点 P,GD 交 x 轴于点 Q,求证: |OP|=|OQ|。 (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形) 解析: (Ⅰ) 椭圆方程为

x 2 ( y ? r) 2 2 2 ? ? 1, 焦点 F( 、 F( , a2 ? b2 , r ) 1 ? a ?b ,r ) 2 2 2 a b

离心率 e=

a2 ? b2 。 a

(Ⅱ)将 y=K1x 代入椭圆方程,得(b2+a2K12)x2-2K1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 ∴x1+x2=

2 K1 a 2 r b 2 ? a 2 K1
2

,x1x2=

a 2 r 2 ? a 2b 2 b 2 ? a 2 K1
2

,∴

K1 x1 x2 r 2 ? b 2 ? x1 ? x 2 2r



同理,将 y=K2x 代入椭圆方程,计算得

K 2 x3 x 4 r 2 ? b 2 ? x3 ? x 4 2r



由①、②得,

K1 x1 x2 K 2 x3 x4 ? x1 ? x 2 x3 ? x 4 x1 ? p K1 x1 ( K ? K 2 ) x1 x4 ,∴p= 1 ? x4 ? p K 2 x4 K1 x1 ? K 2 x4 ( K 1 ? K 2 ) x 2 x3 K 1 x 2 ? K 2 x3

(Ⅲ)设 P(p,0) ,Q(q,0) , 由 C、P、H 共线,得 ③

由 D、Q、G 共线,同理可得 q=



-2-



x 2 x3 K1 x1 x2 K 2 x3 x4 x1 x4 变形得, ? ? ? x1 ? x 2 x3 ? x 4 K1 x2 ? K 2 x 3 K1 x1 ? K 2 x4 ( K1 ? K 2 ) x2 x3 ( K1 ? K 2 ) x1 x4 , ∴|p|=|q|,即|OP|=|OQ| ? K1 x 2 ? K 2 x 3 K1 x1 ? K 2 x4

即?

点评:本题的背景毫无疑问是“蝴蝶定理”的推广形式。 “蝴蝶定理”的内容是:过圆 O 的弦 AB 的中点 M 作二弦 CD、EF,设 ED 和 CF 分别交 AB 于 P、Q,则 MP=MQ,因其 图酷似蝴蝶而得名。 该结论可推广到有心二次曲线或 “筝形” 中, 本题是其在椭圆中的应用。 3.推理方式高观点 3.1 加强了合情推理的考查 合情推理主要有毛估、类比、归纳等。高考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合 情推理能力。 例 5. (2003 年全国高考新课程卷文科第 15 题) 在平面几何里, 有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直,则 AB2+AC2= BC2。 ”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是: “设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则 ” 。 点评:这是由低维(平面)到高维(空间)的类比。三角形中的许多结论都可以类比 到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性) ,象直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两 垂直的三棱锥中,则有 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2= S△BCD2。需要指出的是,勾股定理的证明 过程也可进行类比。 如在 Rt△ABC 中, 过 A 作 AH⊥BC 于 H, 则由 AB2=BH· BC, AC2=CH· BC 相加即得 AB2+AC2=BC2;在三侧面两两垂直的三棱锥 A—BCD 中,过 A 作 AH⊥平面 BCD 于 H,类似地由 S△ABC2=S△HBC·S△BCD,S△ACD2=S△HCD·S△BCD,S△ADB2=S△HDB·S△BCD 相加 即得 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2= S△BCD2。 例 6. (2003 年上海高考第 19 题)已知数列{an} (n 为正整数)是首项为 a1,公比为
0 2 0 1 2 3 q 的等比数列。 (1)求和: a1c2 (2)由(1) ? a2 c1 2 ? a3 c2 , a1c3 ? a2 c3 ? a3 c3 ? a4 c3 ;

的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明。
0 2 2 2 解析: (1) a1c2 ? a2 c1 2 ? a3 c2 =a1-2a1q+a1q =a1(1-q) ; 0 1 2 3 = a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3。 a1c3 ? a2 c3 ? a3c3 ? a4 c3

(2)归纳概括的结论为:若数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列,则
0 2 3 n a1cn ? a2 c1 ) n an?1cn ? a1 (1 ? q) n , n 为正整 n ? a3 cn ? a4 cn ? ?? ? (?1

数。证明如下:
0 2 3 n n a1cn ? a2 c1 n ? a3 cn ? a4 cn ? ?? ? (?1) an?1cn

-3-

0 2 2 3 3 n ? a1cn ? a1qc1 ) n a1q n cn n ? a1q cn ? a1q cn ? ?? ? (?1

0 2 2 3 3 n ? a1[cn ? qc1 ) n q n cn ] ? a1 (1 ? q) n 。 n ? q cn ? q cn ? ?? ? (?1

点评:所谓归纳,是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律,它是发现和认识规律 的重要手段。 3.2 代数推理与高等数学接轨 代数推理题在高考中历来倍受重视。 近年来更是出现了不少观点高、 设问新颖的代数推 理题。 例 7. (2003 年江苏高考第 21 题)已知 a>0,n 为正整数, (Ⅰ)设 y=(x-a)n,证明 y ’=n(x-a)n; (Ⅱ)设 fn(x)=xn- ( x ? a) n ,对任意 n≥a,证明 f ’n+1 (n+1)>(n+1)f ’n(n) 。 解析: (Ⅰ)因为(x-a)n= 所以 y ’=
K ?0

?C
n

n

K n

(?a) n ? K x K
n? K

? KC
K ?1 n


n

K n

( ?a)

x

K ?1

K ?1 n ? K K ?1 ? ? nCn x ? n( x ? a) n?1 。 ?1 (?a) K ?1


n

(Ⅱ)对 fn(x)=x - ( x ? a) 求导:f ’n(x)=nxn 1-n ( x ? a) n?1 ∴f ’n(n)=n[nn 1-(n-a)n 1]


当 x≥a>0 时 f ’n(x)>0,∴当 x≥a 时,fn(x)=xn- ( x ? a) 是增函数,
n

因此,当 n≥a 时, (n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)n, ∴f ’n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1-a)n]>(n+1)[nn-(n-a)n] >(n+1)[nn-n(n-a)n 1]= (n+1)f ’n(n),从而命题成立。


点评:本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴,然而其形式到方法都已在更高层次 上考查学生的逻辑思维能力, 是命题者运用高等数学中的代数推理方法, 居高临下而设计的。 在对待高观点题时要注意以下两个方面:一是高观点题的起点高,但落点低,即试题的 设计虽来源于高等数学, 但解决的方法是中学所学的初等数学知识, 而不是将高等数学引入 高考; 二是高观点题有利于区分考生能力, 在今后高考中还会出现, 在复习时要加强 “双基” , 引导学生构建知识网络,提高学生的应变能力和创新能力,才能更适应新时期的高考要求。

-4-


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