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高一数学:不等式复习2期末复习练习新人教A版必修5


不 等 式 求 最 值 复 习 学 案
班级 姓名

巩固练习 1.设 a、b 为实数,且 a+b=3,则 2 a ? 2b 的最小值为 A.6 B. 4 2
1 4-x

( D.8



[定理]如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时,取“=” )

高 a?b 考 [定理]如果 a,b 是正数,那么 ab ? (当且仅当 a=b 时,取“=”) 2 资 1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。 源 2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的成因 网 在于使等号能够成立。 ( a?b 2 ( ) ; 3. “和定积最大, 积定和最小, 即 2 个正数的和为定值, ” 则可求其积的最大值 ab ?w w 2 w 积为定值,则可求其和的最小值 a ? b ? 2 ab 。 . 应用此结论求值要注意三个条件: k ⑴各项或因式非负; s ⑵和或积为定值; 一正二定三相等 5 ⑶等号能不能取到。 u 必要时要作适当的变形,以满足上述前提。 . 4 例 1、若 x<0,则 2 + 3x + x 的最大值是 ( ) c (A) 2 + 4 3 (B) 2±4 3 (C) 2-4 3 (D) 以上都不对
o m )

C. 2 2 ( )

2.若 x>4,则函数 y =-x+ A.有最大值—6 C.有最大值—2

B.有最小值 6 D.有最小值 2 4 3.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,当 x∈[-3,-1]时,记 f(x)的最大值为 m,最 x 小值为 n,则 m-n 等于 ( ) 3 A.2 B.1 C.3 D. 2 4、已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列四个数中最小的是 ( ) A、 a 2 ? b 2 B、 2ab C、 a D、
1 2

5、已知实数 x,y 满足 x+y-1=0,则 x2+y2 的最小值为( A.
1 2



B.2 C. 2

D.

2 2

2 1 例 2、已知 x,y 都是正数,且 ? ? 1 ,求 x+y 的最小值。 x y

6.设实数 x, y 满足 x + y=4, 则 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 的最小值为 A.





2

B.4

C.2 2

D.8 ( )

1 7.不等式 y ? x(1 ? 3x)( 0 ? x ? ) 的最大值是 3 4 1 1 1 A. B. C. D. 243 12 64 72

例 3、已知 a>b>0,则 a2 +

16 的最小值是_________。 b(a-b)

8、下列函数中, y 的最小值是 4 的是 A、 y ? x ?
4 x





B、 y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x

C、 y ? 3 x ? 4? ? x 3

D、 y ? lg x ? 4log x 10
1 a?b (lg a ? lg b ) 、 R ? lg 则 2 2

9、已知 a ? b ? 1, P ? lg a lg b 、 Q ? A、 R ? P ? Q B、 P ? Q ? R





C、 Q ? P ? R

D、 P ? R ? Q

10、设 a, b, x, y 均为正数,且 a 、 b 为常数, x 、 y 为变量.若 x ? y ? 1 ,则 ax ? by 的最大值为 A.
a? b 2

17、(本小题满分 12 分)某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本),并计划以后每年 比上一年多投入 100 万元(科技成本),预计产量年递增 10 万只,第 n 次投入后,每只 产品的固定成本为 g (n) ?
k (k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0),若产品销售价保持 n ?1

B.

a ? b ?1 2

C.

a?b

D.

( a ? b) 2 2

1 4 11.已知两个正数 x,y 满足 x+y=4,则使不等式 ? ≥m,恒成立的实数 m 的取值范围 x y 是 .

12.已知 a >b, a · 则 b=1

a2 ? b2 的最小值是 a?b
ma ? nb

. 。

不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

13、若直角三角形周长为 2,则它的最大面积为 14、已知 m, n ? R? , m ? n ? 1 ,则

m a? n 。 b

15、(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1, x ? R ? ) .若 x1 、 x2 ? R ? , 试比较
1 x ?x [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 与 f ( 1 2 ) 的大小,并加以证明. 2 2

16、已知 a, b, c, d ? R ,且 a2 ? b2 ? 1, c2 ? d 2 ? 1 ,求证: ac ? bd ? 1 (改为: a2 ? b2 ? m, c2 ? d 2 ? n 呢?)


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