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3.2.1函数的单调性


函数的单调性教学设计

教材分析
? ?

?

从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第 一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念. 函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变 化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了 直观感受、文字描述和严格定义三

个阶段,即都从图象观察,以 函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析 解释定性结果的过程. 函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据. 本章研究的单调性是从观察函数图象的特性,然后给出一般的定 义,作为代数方面证明的开始和基础这也是学生接受的难点所 在.从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等 其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培 养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.

教学重点和难点
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?

?

理解函数的单调性概念 掌握判断一些简单函数的单调性的方法,主要 是能根据函数的图像来判断函数的单调性 本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、 证明函数的单调性 难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定 义以及根据定义证明函数的单调性.

学情分析
?

?

首先,要求用准确的数学符号语言去刻画图象 的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上 升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观 到抽象的转变对高一的学生来说比较困难 其次,单调性的证明是学生在函数学习中首次 接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的 推理论证能力是比较薄弱的

教法建议
?

本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学 目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲授,学 生探究学习的教学方法.教学过程中,根据教材提供的 线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学 思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶 段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究, 从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法, 培养能力.教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教 学.目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为 学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解 和认识.

教学过程的设计
?

为达到本节课的教学目标,突出重点, 突破难点,把教学过程设计为四个阶段: 创设情境,引入课题;归纳探索,形成 概念;掌握证法,适当延展;归纳小结, 提高认识.

德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 …

记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%


1. 艾宾浩斯遗忘曲线
保持量(百分数)
100

80
60 40 20 0 1 2 3 4 5 6

天数

2. 某市一天24小时的气温变化图
θ/?C
10 8

y=f(x),x∈[0,24]

6
4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

t/h

说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?

问题1 作出下列函数的图象,并指出图 象的变化趋势:

(1) y ? x ? 1
(3) y ? ? x
2

(2) y ? ?2x ? 2

1 (4) y ? x

y

y

y ? x ?1

1
O

y ? ?2x ? 2

2
1
O

-1

x

x

y

y ? ?x2
O

y

1 y? x
O

x

x

问题2 你能明确地说出“图象呈逐 渐上升趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时,函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时,函数值y反而减小
函数的这种性质称为函数的单调性.

问题3 如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢?

0

x

思考
( 1 )对于某函数,若在区间 (0 , +∞) 上, 当x=1时, y=1;当 x=2时,y=3 ,能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
y
3 1

0

1

2

x

(2)若x=1,2,3,4,时,相应地 y=1,3,4,6,能否说在区间(0,+∞) 上,y 随x 的增大而增大呢?
y

0 1 2 3 4

x

(3)若有n个正数x1< x2<x3<· · · · · · < xn,它 们的函数值满足: y1< y2<y3<· · · · · · < yn.能否 就说在区间(0,+∞) 上y随着x的增大,而增 大呢? 若x取无数个呢?
y
yn

y3 y2 y1 0 x1 x2 x3 xn

x

问题4 如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢?
Y
f(X2) f(X1)

0

X1

X2

X

X不断增大,f(x)也不断增大

y y=f(x)

f(x1)
O x1

f(x2) x2 x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,
区间I ? A. 如果对于区间I内的任意两个值
x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.

问题5

如何定义一个函数是单调减函数?

y

f(x1)

f(x2)
x2

0 x1

x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,
区间I ? A. 如果对于区间I内的任意两个值 x1,x2,当 x 1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)

那么就说y= f(x)在区间I上是单调减函数.

单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.

例1 根据图象说出函数的单调区间.
θ/?C
10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

y=f(x),x∈[0,24]

t/h

[0,4]

[4,14]

[14,24]

例2 画出下列函数图象,并写出单调区间:

(1) y ? ? x ? 2
2

y

2

单调增区间为? ??,0?

1
-2 -1
O

单调减区间为?0, ???

1

2

x

1 (2) y ? ( x ? 0) x
两个单调减区间? ??,0? 和? 0, ? ??

y x2
O

? ? ?? 能否写成 ?? ?,0? ? ?0,
两区间之间用和或用逗号隔开.

x1

x

例3

1 求证:函数 f ( x) ? ? ? 1 在区间 x

0? 上是单调增函数. ? ??,

(1)怎样证明?
a (2) 若f ( x) ? ? ? 1(a ? 0)呢 ? x

练习:填表
函数

y ? kx+b(k ? 0)
k >0 k <0

k y ? (k ? 0) x

k >0

k <0

单调区间 (??, ??)

(??, ??)(??, 0), (0, ??) (??, 0), (0, ??)

增函数 减函数 单调性

减函数

增函数

练习2:填表(二)
y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)
函数
a?0 a?0
b (??, ? ) 2a
(? b , ??) 2a

单调区间

( ??, ?

b ) (? b , ??) 2a 2a

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数

回顾小结
本节课主要学习了以下内容: 1.单调函数的图象特征; 2.函数单调性的定义; 3.判断单调性的方法:图象、定义; 4.证明函数单调性的步骤.

布置作业
必做: P43 习题 2.1(3) 1、4、7

选做(1)判断函数

ax f ( x) ? 2 (a ? 0) x ?1

在区间 (?1,1)上的单调性.

并给出证明,试求出该函数的值域.

4 (2) 研究 y ? x ? x 的单调性,

证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意
两个实数,且 x1 ? x2 .
1 1 1 1 x1 ? x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? ? 1) ? (? ? 1) ? ? ? x1 x2 x2 x1 x1 x2

? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 故 f ( x) ? ? ? 1在区间? 0, ? ? ? 上是单调增函数. x

小结

创设情景

发现数学问题

自主探究、合作交流

发现数学规律

应用规律、解决问题

七、小结回顾
1.函数单调性是对定义域的某个区间而言的, 反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的 性质.
2.判断函数单调性的方法: (1)利用图象: 在单调区间上,增函数图象从左向右是 上升的,减函数图象是下降的. (2)利用定义: 用定义证明函数单调性的一般步骤: 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

练习1

证明函数 f ( x) ? x ? 2x
2

在区间? ??,1?上是减函数.

证明: 设x1, x2是区间? -?,1? 上任意两实数,且x1 ? x2 .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 2 x1 ) ? ( x2 ? 2 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2)
2 2 2 2

(设量) (比较)

? x1 ? x2 ? 1, ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (定号) 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) (结论) 故函数f ( x) ? x 2 ? 2x在区间?? ?,1?上是减函数 .

这节课主要学习了函数的单调性.通过 本节课的学习,同学们要知道什么是增函 数,什么是减函数,以及单调函数和单调 区间的概念,如何从图象判断一个函数在 它的定义域内的某区间上的增减性,如何 从理论上去证明等等.


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