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安徽省阜阳市第三中学2015-2016学年高二上学期第二次调研考试文数试题


安徽省阜阳三中 2015-2016 学年度高二年级第二次调研考试 数学(文科)
时间:120 分钟 总分 150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1.在“世界读书日”前夕,为了了解某学校 4000 名学生某天的阅读时间,从中抽取了 200 名 学生的阅读时间进

行统计分析.在这个问题中 4000 名学生的阅读时间的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 2.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分 段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 3. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过点 (?1,1) ,则抛物线焦点坐标为( A. (?1, 0) B. (1, 0) C. (0, ?1) D. (0,1) )

4. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.为了解它 们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中 从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 5.下列说法正确的是( ) A. 命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” B. “ a ? 1 ”是“ f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件 C. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件 D. 命题 p: “ ?x ? R,n i s ,则 ? p 是真命题 x?c o s x? 2” )

6.椭圆 x2 ? my 2 ? 1的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,则实数 m=( A.
1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4 )

7.若 A,B 是一次试验的两个事件,则“事件 A,B 对立”是“事件 A,B 互斥”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品,现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品 的概率为( A.0.4 ) B.0.6 C.0.8 D.1

9. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销 售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 y i

(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图。根据散点图判断下面四个选 项中哪一个最适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型( )

A. y ? a ? bx

B. y ? a ? b x

C. y ? a ?

b x

D. y ? a ? ebx 频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 96 98 100 102 104 106 克 第 10 题图

10.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( A.45 B.60 ). C. 75 D.90

11.在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,使 sin x ? ?0, ? 的概率为( 2 A.

? 1? ? ?

).

2

?

B.

1

?

C.

2 3

D.

1 3

x2 y 2 12.如图,已知 F 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点,P 是椭圆上一点,PF⊥x a b
轴,OP∥AB(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率是( A. B. C. D. )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上
2 2 13.命题:若 a ? b 则 a ? b 的否命题为_____.

14.某市即将申报“全国卫生文明城市” ,相关部门对该市的 200 家饭店进行卫生检查,先从 这 200 家饭店抽取 5 家大致了解情况,然后对全市饭店逐一检查,为了进行第一步抽查工作, 相关部门先将这 200 家饭店按 001-200 编号,并打算按随机数表法抽取 5 家饭店,根据下面 的随机数表,要求从本数表的第 5 列开始顺次向后读数,则这 5 开始 个号码中的第二个号码是 ________. 随机数表:84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
S ? 0, n ? 0
n ? 2015?

15.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为




S ? S ? sin(

n? ) 3

输出 S

16. 已知椭圆 C1 与抛物线 C2:y =4x 有相同的焦点 F, 它们在第一象限内的交点为 M,若椭圆的长轴长为 焦距的 2 倍,则|MF|=________.

2

三、解答题:共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17. (本小题满分 10 分)已知 a ? 0 ,设 P:函数 y ? a x 在 R 上单调递减,Q:关于 x 的不等 式 ax2 ? x ? a ? 0 的解集为 R。 (1)如果“P 且 Q”为真,求 a 的取值范围. (2)如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 为了了解某次考试 A,B 两个班的数学成绩的情况,现分别从 A,B 班各抽取 20 位同学的数学成 绩(满分 100 分)进行研究,得到茎叶图如下图所示

(1)比较 A,B 两个班的数学成绩的平均水平和差异程度(不用计算,直接回答结论) (2)现将 A,B 班的学生成绩按 ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 分成 5 组,分 别列出频率分布表并完成频率分布直方图 19. (本小题满分 12 分) 随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长,设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底 余额)如下表: 年份 2010 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10 时间代号 x 1 储蓄存款 y (千亿元) 5

? ?a ?; (1)求 y 关于 x 的回归方程 y ? bx
(2)用所求回归方程预测该地区 2015 年 ? x ? 6 ? 的人民币储蓄存款.

? x y ? nx y ? x y ? x y ? .... ? x y ? ? nxy ? ? ? ? ? y ? bx ? 中, b ? ? ,a 附:方程 y ? bx ? a x ? x ? .... ? x ? nx ? ? ? x ? nx
i ?1 n i i 1 1 2 2 n n 2 2 i ?1 i 2 1 2 2 2 2 n

n

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 方程:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,其长轴长为 4, M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点, a2 b2

F1 (?c,0), F2 ? c,0? 是椭圆的左右焦点.
(1)若 M 位于椭圆短轴的顶点时, ?MF 1 F2 为正三角形,求椭圆 C 的方程. (2)证明: MF2 ? 2 ?

c x0 ; 2

21. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次函数 f ? x ? ? ax ? 4bx ? 1
2

(1)若 a , b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次朝上的面的点 数,求满足函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点 ? a, b ? 是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增 ?y ? 0 ?
函数的概率;

22. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证 明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

2015-2016 学年度阜阳三中高二年级上学期第二次调研考试 数学(文科)参考答案
一、选择题: ACBDB AABBD DA 068 15. 0 16.
2 2 二、填空题: 13. 若 a ? b 则 a ? b 14.

5 3

三、解答题: 17. (本小题满分 10 分)

由题意知:P : 0 ? a ? 1, Q : a ?

1 2 1 ? a ?1 2 1 或a ? 1 2

(1) 当“P 且 Q”为真时,即 P 为真,Q 为真,所以

(2) 当 P 和 Q 有且仅有一个正确时,即 P 真 Q 假或 P 假 Q 真,所以 0 ? a ?

18. (本小题满分 12 分) (1)A 班的数学平均成绩要高于 B 班的数学平均成绩,但 B 班的数学成绩差异度要小。 (2)A、B 班数学成绩的频率分布表和频率分布直方图如下: 分组 A 班 频 数 1 4 4 6 5 频 率 0.05 0.2 0.2 0.3 0.25 频率/组 距 0.005 0.02 0.02 0.03 0.025 分组 B 班 频数 1 9 7 2 1 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 频率/组 距 0.005 0.045 0.035 0.01 0.005

?50,60?

?50,60?
?60,70?

?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100?

?70,80? ?80,90? ?90,100?

19.(本小题满分 12 分) (1)由题意列表如下:

i
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

xi

yi
5 6 7 8 10 36

xi 2
1 4 9 16 25 55

xi yi
5 12 21 32 50 120

?
5

15

?? b

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

?x
i ?1

?

120 ? 5 ? 3 ?

2

i

? 5x

2

36 5 ? 1.2 , a ? ? 36 ? 6 ? 3 ? 3.6 ? ? y ? bx 5 5 55 ? 5 ? 9

故所求回归方程为 y ? 1.2 x ? 3.6 (2)将 x ? 6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 10.8(千亿元) 20. (本小题满分 12 分) (1)因为长轴长为 4,所以 a ? 2 , M 位于椭圆短轴的顶点时, ?MF 1 F2 为正三角形,所以

a ? 2c ,即 c ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为
(2)证明:因为长轴长为 4,所以 a=2 ∵ M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点∴

x2 y 2 ? ?1 4 3

x0 2 y0 2 b2 ? 2 ? 1 , ∴ y0 2 ? b 2 ? x0 2 4 b 4

∴ MF2 ? ( x0 ? c) ? y0 ? (1 ?
2 2

b2 2 ) x0 ? 2cx0 ? c 2 ? b2 4
∵ ?2 ? x0 ? 2且c ? 2

?

c2 2 c x0 ? 2cx0 ? 4 ? ( x0 ? 2)2 , 4 2
∴ MF2 ? 2 ?

c x0 2

21. (本小题满分 12 分) (1)函数 f ? x ? ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 ?1, ?? ? 上为增函数,当且仅当 a ? 0 且

2b ? 1 ,即 a

2b ? a
基本事件有 36 个,所求事件包含基本事件: ? 2,1? , ? 3,1? , ? 4,1? , ? 5,1? , ? 6,1? , ? 4, 2 ? ,

? 5, 2 ? , ? 6, 2 ? , ? 6,3? .共 9 个

,所以所求事件发生的概率为

9 1 ? 36 4

(2)由(1)知当且仅当 a ? 0 且 2b ? a 时,函数 f ? x ? ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 ?1, ?? ? 上为增 函数,

?a ? b ? 8 ? 0 ? 依据题意可知实验的全部结果所构成的区域为: ? a ? 0 ,该区域的面积为 ?b ? 0 ?

?a ? b ? 8 ? 0 ?a ? 0 1 1 8 32 ? ? 8 ? 8 ? 32 ,所求事件构成的区域为 ? ,该区域的面积为 ? 8 ? ? 2 2 3 3 ?b ? 0 ? ?2b ? a 32 1 由几何概型知:所求事件发的概率为 P ? 3 ? 32 3
22. (本小题满分 12 分) (1)由题意知

c 2 ? , b ? 1 ,由 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 , a 2
x2 ? y2 ? 1 ; 2

所以椭圆的方程为

(2)设 P ? x1y1 ? ,Q ?x 2 y 2 ? , x1 x2 ? 0 由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,

? x2 2 ? ? y ?1 联立方程组 ? 2 化简得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 , ? y ? k ? x ? 1? ? 1 ?
则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? ,并且 ? ? 0 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

因为直线 AP 与 AQ 的斜率之和 k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

化简得 k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )

4k ? k ? 1? x1 ? x2 = 2k ? ? 2 ? k ? ? 2k ? 2 ? k ? 1? ? 2 x1 x2 2k ? k ? 2 ?


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